Бозе-газ - Bose gas

Идеальный Бозе-газ квантово-механический фаза материи, аналог классического идеальный газ. Он состоит из бозоны, которые имеют целое значение спина и подчиняются Статистика Бозе – Эйнштейна. Статистическая механика бозонов была развита Сатьендра Нат Бос для фотонный газ, и распространен на массивные частицы Альберт Эйнштейн который понял, что идеальный газ бозонов будет образовывать конденсат при достаточно низкой температуре, в отличие от классического идеального газа. Этот конденсат известен как Конденсат Бозе – Эйнштейна.

Введение и примеры

Бозоны находятся квантово-механический частицы, которые следуют Статистика Бозе – Эйнштейна, или, что эквивалентно, имеют целое число вращение. Эти частицы можно отнести к разряду элементарных: это бозон Хиггса, то фотон, то глюон, то W / Z и гипотетический гравитон; или составной, как атом водород, атом ¹⁶О, ядро дейтерий, мезоны и т.д. Кроме того, некоторые квазичастицы в более сложных системах также можно рассматривать бозоны, подобные плазмоны (кванты волны зарядовой плотности ).

Первой моделью, которая рассматривала газ с несколькими бозонами, была модель фотонный газ, газ фотонов, разработанный Bose. Эта модель позволяет лучше понять Закон планка и излучение черного тела. Фотонный газ можно легко расширить до любого ансамбля безмассовых невзаимодействующих бозонов. В фонон газ, также известный как Дебая модель, это пример, когда нормальные режимы колебаний кристаллической решетки металла, можно рассматривать как эффективные безмассовые бозоны. Питер Дебай использовали модель фононного газа, чтобы объяснить поведение теплоемкость металлов при низкой температуре.

Интересным примером бозе-газа является ансамбль гелий-4 атомы. Когда система ⁴Атомы He охлаждают до температуры около абсолютный ноль, присутствует много квантово-механических эффектов. Ниже 2,17 кельвины, ансамбль начинает вести себя как сверхтекучий, жидкость с почти нулевым вязкость. Бозе-газ - наиболее простая количественная модель, объясняющая это. фаза перехода. В основном, когда газ бозонов охлаждается, он образует Конденсат Бозе – Эйнштейна, состояние, в котором большое количество бозонов занимает самую низкую энергию, основное состояние, а квантовые эффекты макроскопически видны как волновая интерференция.

Теория конденсатов Бозе-Эйнштейна и бозе-газов также может объяснить некоторые особенности сверхпроводимость куда носители заряда пара в парах (Куперовские пары ) и ведут себя как бозоны. В результате сверхпроводники ведут себя как не имеющие удельное электрическое сопротивление при низких температурах.

Эквивалентная модель для полуцелых частиц (например, электроны или гелий-3 атомов), которые следуют Статистика Ферми – Дирака, называется Ферми газ (ансамбль невзаимодействующих фермионы ). При достаточно низком уровне частиц числовая плотность и высокой температуре, как ферми-газ, так и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ.^[1]

Макроскопический предел

Термодинамику идеального бозе-газа лучше всего рассчитать с помощью большой канонический ансамбль. Большой большой потенциал для бозе-газа определяется как:

{ displaystyle Omega = - ln ({ mathcal {Z}}) = sum _ {i} g_ {i} ln left (1-ze ^ {- beta epsilon _ {i}} верно).}

где каждый член в произведении соответствует определенному одночастичному уровню энергии ε_я; грамм_я это количество состояний с энергией ε_я; z это абсолютная активность (или «летучесть»), которая также может быть выражена в терминах химический потенциал μ путем определения:

{ Displaystyle г ( бета, му) = е ^ { бета му}}

и β определяется как:

{ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}} T}}}

куда k_B является Постоянная Больцмана и Т это температура. Все термодинамические величины могут быть выведены из большого потенциала, и мы будем рассматривать все термодинамические величины как функции только трех переменных. z, β (или же Т), и V. Все частные производные берутся по одной из этих трех переменных, а две другие остаются постоянными.

Допустимый диапазон z - от отрицательной бесконечности до +1, так как любое значение сверх этого приведет к тому, что бесконечное число частиц перейдет в состояния с уровнем энергии 0 (предполагается, что уровни энергии смещены, так что самый низкий уровень энергии равен 0).

Макроскопический предел, результат для неконденсированной фракции

Кривые зависимости давления от температуры классических и квантовых идеальных газов (Ферми газ, Бозе-газ ) в трех измерениях. Давление бозе-газа ниже, чем у эквивалентного классического газа, особенно ниже критической температуры (отмеченной знаком ★), при которой частицы начинают массово перемещаться в конденсированную фазу с нулевым давлением.

Следуя процедуре, описанной в газ в коробке статью, мы можем применить Приближение Томаса – Ферми который предполагает, что средняя энергия велика по сравнению с разностью энергий между уровнями, так что вышеуказанная сумма может быть заменена интегралом. Эта замена дает макроскопическую большую потенциальную функцию ${ displaystyle Omega _ {m}}$ , что близко к ${ displaystyle Omega}$ :

{ Displaystyle Omega _ { rm {m}} = int _ {0} ^ { infty} ln left (1-ze ^ {- beta E} right) , dg приблизительно Omega .}

Вырождение dg для многих различных ситуаций может быть выражена общей формулой:

{ displaystyle dg = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} , { frac {E ^ {, alpha -1}} {E _ { rm {c}} ^ { alpha }}} ~ dE}

куда α константа, E_c это критический энергия и Γ это Гамма-функция. Например, для массивного бозе-газа в коробке α= 3/2, а критическая энергия определяется выражением:

{ displaystyle { frac {1} {( beta E _ { rm {c}}) ^ { alpha}}} = { frac {Vf} { Lambda ^ {3}}}}

куда Λ это длина тепловой волны. Для массивного Bose газ в ловушке гармоник у нас будет α= 3, а критическая энергия определяется выражением:

{ displaystyle { frac {1} {( beta E_ {c}) ^ { alpha}}} = { frac {f} {( hbar omega beta) ^ {3}}}}

куда V (г) = mω²р²/2 - гармонический потенциал. Видно, что E_c зависит только от громкости.

Это интегральное выражение для большого потенциала оценивается как:

{ displaystyle Omega _ { rm {m}} = - { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha +1} (z)} { left ( beta E_ {c} right) ^ { alpha}}},}

где Ли_s(Икс) это полилогарифм функция.

Проблема с этим приближением континуума для бозе-газа состоит в том, что основное состояние фактически игнорируется, что дает нулевое вырождение для нулевой энергии. Эта неточность становится серьезной при работе с Конденсат Бозе – Эйнштейна и будут рассмотрены в следующих разделах. Как будет видно, даже при низких температурах вышеупомянутый результат по-прежнему полезен для точного описания термодинамики только неконденсированной части газа.

Ограничение количества частиц в неконденсированной фазе, критическая температура

Общая количество частиц находится из великого потенциала

{ displaystyle N _ { rm {m}} = - z { frac { partial Omega _ {m}} { partial z}} = { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} {( beta E_ {c}) ^ { alpha}}}.}.

Это монотонно возрастает с увеличением z (до максимума z = +1). Поведение при приближении z = 1, однако, существенно зависит от значения α (т.е. в зависимости от того, является ли газ одномерным, двухмерным или трехмерным, находится ли он в плоской или гармонической потенциальной яме).

За α > 1 количество частиц увеличивается только до конечного максимального значения, т.е. ${ displaystyle N _ { rm {m}}}$ конечно в z = 1:

{ displaystyle N _ { rm {m, max}} = { frac { zeta ( alpha)} {( beta E _ { rm {c}}) ^ { alpha}}},}

куда ζ(α) это Дзета-функция Римана (используя Ли_α(1) = ζ(α)). Таким образом, для фиксированного числа частиц ${ displaystyle N}$ , максимально возможное значение, которое β может иметь критическое значение β_c. Это соответствует критической температуре Т_c=1/k_Bβ_c, ниже которого приближение Томаса – Ферми нарушается (континуум состояний просто не может больше поддерживать такое количество частиц при этой температуре). Приведенное выше уравнение может быть решено для критической температуры:

{ displaystyle T _ { rm {c}} = left ({ frac {N} { zeta ( alpha)}} right) ^ {1 / alpha} { frac {E _ { rm {c }}} {k _ { rm {B}}}}}

Например, для трехмерного бозе-газа в коробке ( ${ Displaystyle альфа = 3/2}$ и используя указанное выше значение ${ textstyle E _ { rm {c}}}$ ) мы получили:

{ displaystyle T _ { rm {c}} = left ({ frac {N} {Vf zeta (3/2)}} right) ^ {2/3} { frac {h ^ {2} } {2 pi mk _ { rm {B}}}}}

За α ≤ 1, верхнего предела на количество частиц нет ( ${ displaystyle N _ { rm {m}}}$ расходится как z приближается к 1), и, например, для газа в одномерном или двумерном ящике ( ${ Displaystyle альфа = 1/2}$ и ${ Displaystyle альфа = 1}$ соответственно) критической температуры нет.

Включение основного состояния

Вышеупомянутая проблема поднимает вопрос о α > 1: что происходит, если бозе-газ с фиксированным числом частиц опускается ниже критической температуры? Проблема в том, что приближение Томаса – Ферми установило вырождение основного состояния равным нулю, что неверно. Нет основного состояния, которое могло бы принять конденсат, и поэтому частицы просто «исчезают» из континуума состояний. Оказывается, однако, что макроскопическое уравнение дает точную оценку числа частиц в возбужденных состояниях, и это неплохое приближение, чтобы просто "прицепить" член основного состояния, чтобы принять частицы, которые выпадают из континуум:

{ displaystyle N = N_ {0} + N _ { rm {m}} = N_ {0} + { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} {( beta E_ { rm {c}}) ^ { alpha}}}}

куда N₀ - количество частиц в конденсате основного состояния.

Таким образом, в макроскопическом пределе, когда Т < Т_c, значение z закреплен на 1 и N₀ забирает остаток частиц. За Т > Т_c есть нормальное поведение, с N₀ = 0. Такой подход дает долю конденсированных частиц в макроскопическом пределе:

{ displaystyle { frac {N_ {0}} {N}} = { begin {case} 1- left ({ frac {T} {T _ { rm {c}}}} right) ^ { alpha} & { mbox {if}} alpha> 1 { mbox {and}} T

Примерное поведение в малых бозе-газах

Рисунок 1: Различные параметры бозе-газа в зависимости от нормализованной температуры τ. Значение α составляет 3/2. Сплошные линии соответствуют N = 10 000, пунктирные линии - N = 1000. Черные линии - это фракция возбужденных частиц, синие - фракция конденсированных частиц. Отрицательное значение химического потенциала μ показано красным цветом, а зеленые линии представляют собой значения z. Предполагалось, что k = ε_c=1.

Для меньшего, мезоскопический, систем (например, только с тысячами частиц), член основного состояния может быть более явно аппроксимирован добавлением фактического дискретного уровня с энергией ε= 0 в большом потенциале:

{ Displaystyle Omega = g_ {0} ln (1-z) + Omega _ { rm {m}}}

что дает вместо ${ displaystyle N_ {0} = { frac {g_ {0} , z} {1-z}}}$ . Теперь поведение плавное при переходе через критическую температуру, и z очень близко подходит к 1, но не достигает его.

Теперь это можно решить вплоть до абсолютного нуля температуры. На рис.1 показаны результаты решения этого уравнения для α= 3/2, с k=ε_c= 1, что соответствует газ бозонов в ящике. Сплошная черная линия - доля возбужденных состояний. 1-N₀/ N за N= 10 000, а черная пунктирная линия - решение для N= 1000. Синие линии - это доля конденсированных частиц. N₀/ N Красные линии - значения отрицательного химического потенциала μ, а зеленые линии - соответствующие значения z. По горизонтальной оси отложена нормализованная температура τ, определяемая как

{ displaystyle tau = { frac {T} {T _ { rm {c}}}}}

Видно, что каждый из этих параметров становится линейным по τ^α в пределе низких температур и, кроме химического потенциала, линейного по 1 / τ^α в пределе высокой температуры. По мере увеличения числа частиц конденсированная и возбужденная фракции стремятся к разрыву при критической температуре.

Уравнение для числа частиц можно записать в терминах нормированной температуры как:

{ displaystyle N = { frac {g_ {0} , z} {1-z}} + N ~ { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} { zeta ( alpha)}} ~ tau ^ { alpha}}

Для данного N и τ, это уравнение можно решить относительно τ^α а затем серийное решение для z можно найти методом инверсия ряда, либо в полномочиях τ^α или как асимптотическое разложение по обратным степеням τ^α. По этим разложениям мы можем определить поведение газа вблизи Т = 0 а в теории Максвелла – Больцмана как Т приближается к бесконечности. В частности, нас интересует предел как N стремится к бесконечности, которую легко определить из этих разложений.

Однако такой подход к моделированию малых систем может быть нереалистичным, так как разброс числа частиц в основном состоянии очень велик, равный числу частиц. Напротив, дисперсия числа частиц в нормальном газе - это всего лишь квадратный корень из числа частиц, поэтому обычно им можно пренебречь. Такая высокая дисперсия обусловлена выбором использования большого канонического ансамбля для всей системы, включая состояние конденсата.^[2]

Термодинамика малых газов

В раскрытом виде большой потенциал:

{ displaystyle Omega = g_ {0} ln (1-z) - { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha +1} (z)} { left ( beta E _ { rm {c}} right) ^ { alpha}}}}

Все термодинамические свойства могут быть вычислены из этого потенциала. В следующей таблице перечислены различные термодинамические величины, рассчитанные в пределе низкой и высокой температуры, а также в пределе бесконечного числа частиц. Знак равенства (=) указывает на точный результат, в то время как символ приближения указывает, что только первые несколько членов ряда в ${ Displaystyle тау ^ { альфа}}$ Показано.

Количество	Общее	${ displaystyle T ll T_ {c} ,}$	${ displaystyle T gg T_ {c} ,}$
${ displaystyle z}$		${ Displaystyle приблизительно { гидроразрыва { zeta ( alpha)} { tau ^ { alpha}}} - { frac { zeta ^ {2} ( alpha)} {2 ^ { alpha} тау ^ {2 alpha}}}}$	${ Displaystyle = 1 ,}$
Паровая фракция ${ displaystyle 1 - { frac {N_ {0}} {N}} ,}$	${ displaystyle = { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} { zeta ( alpha)}} , tau ^ { alpha}}$	${ Displaystyle = тау ^ { альфа} ,}$	${ Displaystyle = 1 ,}$
Уравнение состояния ${ displaystyle { frac {PV beta} {N}} = - { frac { Omega} {N}} ,}$	${ displaystyle = { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha ! + ! 1} (z)} { zeta ( alpha)}} , tau ^ { alpha}}$	${ displaystyle = { frac { zeta ( alpha ! + ! 1)} { zeta ( alpha)}} , tau ^ { alpha}}$	${ Displaystyle приблизительно 1 - { гидроразрыва { zeta ( alpha)} {2 ^ { alpha ! + ! 1} tau ^ { alpha}}}}$
Свободная энергия Гиббса ${ Displaystyle G = пер (г) ,}$	${ Displaystyle = пер (г) ,}$	${ displaystyle = 0 ,}$	${ displaystyle приблизительно ln left ({ frac { zeta ( alpha)} { tau ^ { alpha}}} right) - { frac { zeta ( alpha)} {2 ^ { alpha} tau ^ { alpha}}}}$

Видно, что все величины приближаются к значениям классического идеальный газ в пределе большой температуры. Приведенные выше значения можно использовать для расчета других термодинамических величин. Например, соотношение между внутренней энергией и произведением давления на объем такое же, как и для классических общих температур идеального газа:

{ Displaystyle U = { frac { partial Omega} { partial beta}} = alpha PV}

Аналогичная ситуация имеет место для теплоемкости при постоянном объеме

{ Displaystyle C_ {V} = { frac { partial U} { partial T}} = k _ { rm {B}} ( alpha +1) , U beta}

Энтропия определяется как:

{ Displaystyle TS = U + PV-G ,}

Обратите внимание, что в пределе высокой температуры мы имеем

{ displaystyle TS = ( alpha +1) + ln left ({ frac { tau ^ { alpha}} { zeta ( alpha)}} right)}

который для α= 3/2 - это просто повторение Уравнение Сакура – Тетрода. В одномерном случае бозоны с дельта-взаимодействием ведут себя как фермионы, они подчиняются Принцип исключения Паули. В одномерном бозе-газе с дельта-взаимодействием можно точно решить Бете анзац. Объемная свободная энергия и термодинамические потенциалы рассчитывались по формуле Чен-Нин Ян. В одномерном случае также оценивались корреляционные функции.^[3] В одном измерении бозе-газ эквивалентен квантовому нелинейное уравнение Шредингера.