K-теория категории - Википедия - K-theory of a category

В алгебраический K-теория, то K-теория категория C (обычно снабженный какими-то дополнительными данными) представляет собой последовательность абелевы группы Kя(C) связанный с ним. Если C является абелева категория, нет необходимости в дополнительных данных, но в целом имеет смысл говорить о K-теории только после указания C структура точная категория, или Категория Вальдхаузена, или dg-категория, а возможно и другие варианты. Таким образом, существует несколько конструкций этих групп, соответствующих разного рода сооружениям, надетым на них. C. Традиционно K-теория C является определенный быть результатом подходящей конструкции, но в некоторых контекстах есть более концептуальные определения. Например, K-теория - это «универсальный аддитивный инвариант» dg-категорий[1] и маленький стабильные ∞-категории.[2]

Мотивация для этого понятия исходит из алгебраическая K-теория из кольца. Для кольца р Дэниел Квиллен в Квиллен (1973) представил два эквивалентных способа найти высшую K-теорию. В плюс строительство выражает Kя(р) с точки зрения р напрямую, но сложно доказать свойства результата, в том числе такие базовые, как функториальность. Другой способ - рассмотреть точную категорию проективный модули над р и установить Kя(р) быть K-теорией этой категории, определенной с помощью Q-конструкция. Этот подход оказался более полезным, и его можно было применить и к другим точным категориям. Потом Фридхельм Вальдхаузен в Вальдхаузен (1985) еще больше расширил понятие K-теории до самых разных категорий, включая категорию топологические пространства.

K-теория категорий Вальдхаузена

В алгебре S-конструкция это конструкция в алгебраическая K-теория который создает модель, которую можно использовать для определения высших K-групп. Это связано с Фридхельм Вальдхаузен и относится к категории с кофибрациями и слабыми эквивалентностями; такая категория называется Категория Вальдхаузена и обобщает точная категория. Кофибрацию можно рассматривать как аналог мономорфизм, а категория с корасслоениями - это категория, в которой, грубо говоря, мономорфизмы устойчивы относительно выталкивания.[3] По словам Вальдхаузена, буква «S» была выбрана для обозначения Грэм Б. Сигал.[4]

в отличие от Q-конструкция, которая дает топологическое пространство, S-конструкция дает симплициальный набор.

Подробности

В категория стрелки категории C - категория, объекты которой являются морфизмами в C и морфизмами которых являются квадраты в C. Пусть конечное упорядоченное множество рассматриваться как категория обычным образом.

Позволять C - категория с кофибрациями и пусть быть категорией, объекты которой являются функторами такой, что для , , кофибрация, и это вытеснение и . Категория определенная таким образом, сама по себе является категорией с кофибрациями. Следовательно, можно повторить построение, образуя последовательность. Эта последовательность представляет собой спектр называется K-теория спектр из C.

Теорема аддитивности

Большинство основных свойств алгебраической K-теории категорий являются следствием следующей важной теоремы.[5] Во всех доступных настройках есть его версии. Вот утверждение для категорий Вальдхаузена. Примечательно, что он используется, чтобы показать, что последовательность пространств, полученная повторной S-конструкцией, является Ω-спектр.

Позволять C быть Категория Вальдхаузена. Категория расширений имеет в качестве объектов последовательности в C, где первая карта - кофибрация, а факторное отображение, т.е. выталкивание первой по нулевой карте А0. Эта категория имеет естественную структуру Вальдхаузена, и забывчивый функтор из к C × C уважает это. В теорема аддитивности говорит, что индуцированное отображение на пространствах K-теории является гомотопической эквивалентностью.[6]

За dg-категории заявление аналогично. Позволять C - небольшая предтриангулированная dg-категория с полуортогональное разложение . Тогда отображение спектров K-теории K (C) → K (C1) ⊕ K (C2) является гомотопической эквивалентностью.[7] Фактически K-теория - это универсальный функтор, удовлетворяющий этому свойству аддитивности и Инвариантность Мориты.[1]

Категория конечных множеств

Рассмотрим категорию заостренный конечные множества. В этой категории есть объект для каждого натуральное число k, а морфизмами в этой категории являются функции которые сохраняют нулевой элемент. Теорема о Баррат, Придди и Квиллен говорит, что алгебраическая K-теория этой категории является сферический спектр.[4]

Разное

В более общем плане в абстрактной теории категорий K-теория категории - это тип декатегоризация в котором набор создается из класса эквивалентности объектов в стабильной (∞, 1) -категории, где элементы набора наследуют Абелева группа структура из точные последовательности в категории.[8]

Групповой метод завершения

В Группа Гротендик конструкция является функтором из категории колец в категорию абелевых групп. Выше K-теория должна быть функтором из категории колец, но из категории более высоких объектов, таких как симплициальные абелевы группы.

Топологические гомологии Хохшильда

Вальдхаузен ввел идею отображения следов из алгебраической K-теория кольца к своему Гомологии Хохшильда; с помощью этой карты можно получить информацию о K-теория из гомологии Хохшильда. Бёкстедт факторизовал это отображение следов, что привело к идее функтора, известного как топологические гомологии Хохшильда кольца Спектр Эйленберга – Маклейна.[9]

K-теория симплициального кольца

Если р - постоянное симплициальное кольцо, то это то же самое, что K-теория кольца.


Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б Табуада, Гонсало (2008). "Выше K-теория через универсальные инварианты ». Математический журнал герцога. 145 (1): 121–206. arXiv:0706.2420. Дои:10.1215/00127094-2008-049.
  2. ^ *Блумберг, Эндрю Дж; Гепнер, Дэвид; Табуада, Гонсало (18 апреля 2013 г.). «Универсальная характеристика высшей алгебраической K-теории». Геометрия и топология. 17 (2): 733–838. arXiv:1001.2282. Дои:10.2140 / gt.2013.17.733. ISSN  1364-0380.
  3. ^ Боярченко, Митя (4 ноября 2007 г.). "K-теория категории Вальдхаузена как симметричный спектр » (PDF).
  4. ^ а б Дандас, Бьёрн Ян; Goodwillie, Thomas G .; Маккарти, Рэнди (06.09.2012). Локальная структура алгебраической K-теории. Springer Science & Business Media. ISBN  9781447143932.
  5. ^ Стаффельдт, Росс (1989). «Об основных теоремах алгебраической K-теории». K-теория. 2 (4): 511–532. Дои:10.1007 / bf00533280.
  6. ^ Вейбель, Чарльз (2013). "Глава V: Основные теоремы высшей K-теории". K-книга: введение в алгебраическую K-теорию. Аспирантура по математике. 145. AMS.
  7. ^ Табуада, Гонсало (2005). "Добавочные инварианты dg-категорий". Уведомления о международных математических исследованиях. 2005 (53): 3309–3339. arXiv:математика / 0507227. Bibcode:2005математика ...... 7227T. Дои:10.1155 / IMRN.2005.3309.
  8. ^ «К-теория в nLab». ncatlab.org. Получено 22 августа 2017.
  9. ^ Schwänzl, R .; Vogt, R.M .; Вальдхаузен, Ф. (октябрь 2000 г.). "Топологические гомологии Хохшильда". Журнал Лондонского математического общества. 62 (2): 345–356. CiteSeerX  10.1.1.1020.4419. Дои:10,1112 / с0024610700008929. ISSN  1469-7750.

Рекомендации


дальнейшее чтение

О недавнем подходе к ∞-категориям см.

  • Дикерхофф, Тобиас; Капранов, Михаил (2012-12-14). «Высшие пространства Сигала I». arXiv:1212.3563 [math.AT ].