Оператор Орнштейна – Уленбека - Ornstein–Uhlenbeck operator

В математика, то Оператор Орнштейна – Уленбека является обобщением Оператор Лапласа к бесконечномерному урегулированию. Оператор Орнштейна – Уленбека играет важную роль в Исчисление Маллявэна.

Введение: конечномерная картина

Лапласиан

Рассмотрим градиент оператор ∇, действующий на скалярные функции ж : рп → р; градиент скалярной функции - это векторное поле v = ∇ж : рп → рп. В расхождение оператор div, действующий на векторные поля для создания скалярных полей, является сопряженный оператор к ∇. Тогда оператор Лапласа Δ является сочинение операторов дивергенции и градиента:

,

действуя на скалярные функции для создания скалярных функций. Обратите внимание, что А = −Δ - положительный оператор, а Δ - диссипативный оператор.

С помощью спектральная теория, можно определить квадратный корень (1 - Δ)1/2 для оператора (1 - Δ). Этот квадратный корень удовлетворяет следующему соотношению, включающему Соболев ЧАС1-норма и L2-норма для подходящих скалярных функций ж:

Оператор Орнштейна – Уленбека.

Часто при работе над рп, один работает относительно Мера Лебега, который имеет много хороших свойств. Однако помните, что цель - работать в бесконечный-мерные пространства, и это факт, что не существует бесконечномерной меры Лебега. Вместо этого, если кто-то изучает отделяемый Банахово пространство E, что имеет смысл, так это понятие Гауссова мера; в частности, абстрактное винеровское пространство конструкция имеет смысл.

Чтобы получить некоторое представление о том, чего можно ожидать в бесконечномерном пространстве, рассмотрим стандартную гауссовскую меру γп на рп: для борелевских подмножеств А из рп,

Это делает (рпB(рп), γп) в вероятностное пространство; E будет обозначать ожидание относительно γп.

В оператор градиента Действует на (дифференцируемую) функцию φ : рп → р дать векторное полеφ : рп → рп.

В оператор дивергенции δ (точнее, δп, поскольку он зависит от размера) теперь определяется как прилегающий ∇ в Гильбертово пространство смысле, в гильбертовом пространстве L2(рпB(рп), γпр). Другими словами, δ действует на векторное поле v : рп → рп дать скалярную функцию δv : рп → р, и удовлетворяет формуле

Слева произведение - поточечное евклидово скалярное произведение двух векторных полей; справа это просто поточечное умножение двух функций. С помощью интеграция по частям, можно проверить, что δ действует на векторное поле v с компонентами vя, я = 1, ..., п, следующее:

Изменение обозначения с «div» на «δ»По двум причинам: во-первых, δ - это обозначение, используемое в бесконечных измерениях (исчисление Маллявэна); во-вторых, δ действительно отрицательный обычного расхождения.

(Конечномерный) Оператор Орнштейна – Уленбека L (или, точнее, Lм) определяется

с полезной формулой, которая для любого ж и грамм достаточно гладко, чтобы все термины имели смысл,

Оператор Орнштейна – Уленбека. L связана с обычным лапласианом Δ соотношением

Оператор Орнштейна – Уленбека для сепарабельного банахова пространства.

Рассмотрим теперь абстрактное винеровское пространство E с гильбертовым пространством Камерона-Мартина ЧАС и мера Винера γ. Обозначим через D Производная Маллявэна. Производная Маллявэна D является неограниченный оператор из L2(Eγр) в L2(EγЧАС) - в некотором смысле, он измеряет «насколько случайна» функция на E является. Область D - это не все L2(Eγр), но является плотный линейное подпространство, пространство Ватанабэ-Соболева, часто обозначаемое (когда-то дифференцируемая в смысле Маллявэна, с производной в L2).

Опять таки, δ определяется как сопряженный к оператору градиента (в этом случае производная Маллявэна играет роль оператора градиента). Оператор δ также известен Скороход интеграл, что является ожидаемым стохастический интеграл; именно такая установка дает начало лозунгу «стохастические интегралы - это расходимости». δ удовлетворяет личность

для всех F в и v в области δ.

Тогда Оператор Орнштейна – Уленбека за E оператор L определяется

Рекомендации

  • Оконе, Дэниел Л. (1988). «Руководство по стохастическому вариационному исчислению». Стохастический анализ и связанные темы (Силиври, 1986). Конспект лекций по математике. 1316. Берлин: Springer. С. 1–79. МИСТЕР953793
  • Санс-Соле, Марта (2008). «Применение исчисления Маллявэна к стохастическим дифференциальным уравнениям с частными производными (лекции, прочитанные в Имперском колледже Лондона, 7–11 июля 2008 г.)» (PDF). Получено 2008-07-09.