Анализ напряженно-деформированного состояния - Stress–strain analysis

Анализ напряженно-деформированного состояния (или же анализ напряжения) является инженерное дело дисциплина, использующая множество методов для определения подчеркивает и напряжения в материалах и конструкциях, подверженных силы. В механика сплошной среды, стресс - это физическое количество что выражает внутренний силы что соседний частицы из непрерывный материал действуют друг на друга, а деформация - это мера деформации материала.

Проще говоря, мы можем определить напряжение как силу сопротивления на единицу площади, оказываемую телом против деформации. Напряжение - это отношение силы к площади (S = F / A, где S - напряжение, F - внешняя сила или нагрузка, а A - площадь поперечного сечения). Деформация - это отношение изменения длины к исходной длине, когда данное тело подвергается некоторой внешней силе (деформация = изменение длины ÷ исходная длина).

Анализ стресса - первоочередная задача для гражданский, механический и аэрокосмические инженеры участвует в проектировании конструкций любых размеров, таких как туннели, мосты и плотины, самолет и ракета тела, механические части и даже пластиковые столовые приборы и скобы. Анализ напряжений также используется при обслуживании таких конструкций и для исследования причин разрушения конструкций.

Обычно отправной точкой для анализа напряжений являются геометрический описание конструкции, свойств материалов, используемых для ее частей, способа соединения частей, а также максимальных или типичных сил, которые, как ожидается, будут приложены к конструкции. Выходные данные обычно представляют собой количественное описание того, как прилагаемые силы распространяются по конструкции, что приводит к напряжениям, деформациям и прогибам всей конструкции и каждого компонента этой конструкции. В анализе могут учитываться силы, которые меняются со временем, например: двигатель вибрации или нагрузка движущихся транспортных средств. В этом случае напряжения и деформации также будут функциями времени и пространства.

В инженерии анализ напряжений часто является инструментом, а не самоцелью; конечной целью является проектирование структур и артефактов, которые могут выдерживать заданную нагрузку, с использованием минимального количества материала или удовлетворяющих какому-либо другому критерию оптимальности.

Анализ напряжений может быть выполнен с помощью классических математических методов, аналитического математического моделирования или компьютерного моделирования, экспериментальных испытаний или комбинации методов.

Термин «анализ напряжений» используется в этой статье для краткости, но следует понимать, что деформации и прогибы конструкций имеют одинаковое значение, и на самом деле анализ конструкции может начинаться с расчета прогибов или деформаций. и закончим расчетом напряжений.

Объем

Общие принципы

Анализ напряжений особенно касается твердых объектов. Изучение напряжений в жидкостях и газах является предметом механика жидкости.

При анализе напряжений используется макроскопический вид материалов, характерный для механика сплошной среды, а именно, что все свойства материалов однородны на достаточно малых масштабах. Таким образом, даже самые маленькие частица при анализе напряжений все еще содержит огромное количество атомов, и его свойства являются средними значениями свойств этих атомов.

При анализе напряжений обычно не учитывают физические причины сил или точную природу материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с напряжение материала известных основные уравнения.

От Законы движения Ньютона, любые внешние силы, действующие на систему, должны уравновешиваться силами внутреннего противодействия,^[1] или вызвать ускорение частиц в пораженной части. В твердом объекте все частицы должны двигаться практически согласованно, чтобы сохранить общую форму объекта. Отсюда следует, что любая сила, приложенная к одной части твердого объекта, должна вызывать внутренние силы реакции, которые распространяются от частицы к частице по протяженной части системы. За очень редкими исключениями (например, ферромагнитный материалы или тела планетарного масштаба), внутренние силы возникают из-за очень короткодействующих межмолекулярных взаимодействий и, следовательно, проявляются как силы поверхностного контакта между соседними частицами, то есть как напряжение.^[2]

Основная проблема

Фундаментальная проблема анализа напряжений - определить распределение внутренних напряжений по системе с учетом действующих на нее внешних сил. В принципе, это означает определение, неявно или явно, Тензор напряжений Коши в каждой точке.

Внешние силы могут быть силы тела (например, гравитация или магнитное притяжение), которые действуют во всем объеме материала;^[3] или сосредоточенные нагрузки (например, трение между осью и несущий, или вес колеса поезда на рельсе), которые, как предполагается, действуют в двухмерной области, вдоль линии или в одной точке. Одна и та же чистая внешняя сила будет по-разному влиять на локальное напряжение в зависимости от того, концентрируется оно или распространяется.

Типы конструкций

В гражданском строительстве обычно считается, что конструкции находятся в статическое равновесие: то есть либо не меняются со временем, либо меняются достаточно медленно для вязкие напряжения быть неважным (квазистатическим). Однако в машиностроении и аэрокосмической технике анализ напряжений часто должен выполняться на деталях, которые далеки от равновесия, таких как вибрирующие пластины или быстро вращающиеся колеса и оси. В таких случаях уравнения движения должны включать члены, которые учитывают ускорение частиц. При проектировании конструкций обычно стараются обеспечить, чтобы напряжения везде были значительно ниже предел текучести материала. В случае динамических нагрузок усталость материала также необходимо учитывать. Однако эти опасения выходят за рамки собственно анализа напряжений и рассматриваются в материаловедение под именами сопротивление материалов, усталость анализ, стресс-коррозия, слизняк моделирование и др.

Экспериментальные методы

Анализ напряжений может быть выполнен экспериментально путем приложения усилий к испытываемому элементу или конструкции и последующего определения результирующего напряжения с помощью датчики. В этом случае процесс более правильно был бы известен как тестирование (разрушительный или же неразрушающий ). Экспериментальные методы могут использоваться в случаях, когда математические подходы являются громоздкими или неточными. Для приложения статической или динамической нагрузки используется специальное оборудование, соответствующее экспериментальному методу.

Существует ряд экспериментальных методов, которые можно использовать:

Испытание на растяжение фундаментальный материаловедение испытание, в котором образец подвергается одноосное растяжение до отказа. Результаты теста обычно используются для выбора материала для применения, например контроль качества, или предсказать, как материал будет реагировать на другие типы сил. Свойства, которые непосредственно измеряются с помощью испытания на растяжение, являются предел прочности на растяжение, максимальное удлинение и уменьшение поперечное сечение площадь. По этим измерениям такие свойства, как Модуль для младших, Коэффициент Пуассона, предел текучести, а деформационное упрочнение характеристики образца могут быть определены.
Тензодатчики может использоваться для экспериментального определения деформации физической части. Обычно используемый тип тензодатчика - тонкий плоский резистор который прикреплен к поверхности детали и измеряет деформацию в заданном направлении. Измеряя деформацию поверхности в трех направлениях, можно рассчитать напряженное состояние, развившееся в детали.
Дифракция нейтронов - это метод, который можно использовать для определения подповерхностной деформации детали.

Причины напряжения в пластиковом транспортире двулучепреломление.

В фотоупругий метод полагается на то, что некоторые материалы демонстрируют двулучепреломление от приложения напряжения, а величина показателей преломления в каждой точке материала напрямую связана с напряженным состоянием в этой точке. Напряжения в конструкции можно определить, сделав модель конструкции из такого фотоупругого материала.
Динамический механический анализ (DMA) - это метод, используемый для изучения и характеристики вязкоупругий материалы, особенно полимеры. Вязкоупругие свойства полимера изучаются с помощью динамического механического анализа, при котором к материалу прикладывается синусоидальная сила (напряжение) и измеряется результирующее смещение (деформация). Для идеально эластичного твердого тела результирующие деформации и напряжения будут идеально совпадать по фазе. Для чисто вязкой жидкости фазовая задержка деформации по отношению к напряжению будет составлять 90 градусов. Вязкоупругие полимеры обладают промежуточными характеристиками, когда во время испытаний прямого доступа к памяти возникает некоторое отставание по фазе.

Математические методы

Хотя экспериментальные методы широко используются, большая часть анализа напряжений выполняется математическими методами, особенно во время проектирования.

Дифференциальная формулировка

Основная задача анализа напряжений может быть сформулирована следующим образом: Уравнения движения Эйлера для сплошных тел (которые являются следствием Законы Ньютона для сохранения линейный импульс и угловой момент ) и Принцип напряжений Эйлера-Коши вместе с соответствующими определяющими уравнениями.

Эти законы образуют систему уравнения в частных производных связывающие поле тензора напряжений с тензор деформации поле как неизвестные функции, подлежащие определению. Решение любого из них затем позволяет решить одно для другого с помощью другой системы уравнений, называемых материальными уравнениями. Поля тензора напряжений и деформаций обычно имеют вид непрерывный внутри каждой части системы, и эту часть можно рассматривать как непрерывную среду с плавно изменяющимися определяющими уравнениями.

Внешние объемные силы появятся как независимый член («правая часть») в дифференциальных уравнениях, а сосредоточенные силы появятся как граничные условия. Внешняя (приложенная) поверхностная сила, такая как окружающее давление или трение, может быть включена в качестве наложенного значения тензора напряжений на этой поверхности. Внешние силы, которые указаны как линейные нагрузки (например, тяговые усилия) или точечные нагрузки (например, вес человека, стоящего на крыше), вносят сингулярности в поле напряжений и могут быть введены, если предположить, что они распределены по небольшому объему или площадь поверхности. Таким образом, основная проблема анализа напряжений - это краевая задача.

Упругие и линейные случаи

Система называется эластичный если какие-либо деформации, вызванные приложенными силами, спонтанно и полностью исчезнут после устранения приложенных сил. Расчет напряжений (анализ напряжений), возникающих в таких системах, основан на теория упругости и теория бесконечно малых деформаций. Когда приложенные нагрузки вызывают остаточную деформацию, необходимо использовать более сложные определяющие уравнения, которые могут учитывать вовлеченные физические процессы (пластический поток, перелом, изменение фазы, так далее.)

Инженерные конструкции обычно проектируются так, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находились в пределах допустимого диапазона. линейная эластичность (обобщение Закон Гука для сплошных сред) поведение материала, из которого будет построена конструкция. То есть деформации, вызванные внутренними напряжениями, линейно связаны с приложенными нагрузками. В этом случае дифференциальные уравнения, определяющие тензор напряжений, также являются линейными. Линейные уравнения понимаются намного лучше, чем нелинейные; во-первых, их решение (расчет напряжения в любой желаемой точке конструкции) также будет линейной функцией приложенных сил. Для достаточно малых приложенных нагрузок даже нелинейные системы обычно можно считать линейными.

Встроенное напряжение (предварительно загруженное)

Пример поля гиперстатического напряжения.

Предварительно нагруженная конструкция представляет собой конструкцию, в которой внутренние силы, напряжения и деформации передаются различными способами до приложения внешних сил. Например, в конструкции могут быть стянутые кабели, вызывающие развитие сил в конструкции до приложения любых других нагрузок. Закаленное стекло является часто встречающимся примером предварительно нагруженной конструкции, которая имеет растягивающие силы и напряжения, которые действуют в плоскости стекла и в центральной плоскости стекла, что заставляет силы сжатия действовать на внешние поверхности этого стекла.

Представленная математическая задача обычно некорректно потому что у него есть бесконечное множество решений. Фактически, в любом трехмерном твердом теле может быть бесконечно много (и бесконечно сложных) ненулевых полей тензора напряжений, которые находятся в устойчивом равновесии даже в отсутствие внешних сил. Эти поля напряжений часто называют полями гиперстатических напряжений.^[4] и они сосуществуют с полями напряжений, которые уравновешивают внешние силы. В случае линейной упругости их присутствие требуется для удовлетворения требований совместимости деформации / смещения, а при анализе предельных значений их присутствие требуется для максимизации несущей способности конструкции или компонента.

Пример поля гиперстатического момента.

Такой встроенный стресс может возникнуть по многим физическим причинам либо во время производства (в таких процессах, как экструзия, Кастинг или же холодная обработка ) или постфактум (например, из-за неравномерного нагрева, изменения влажности или химического состава). Однако, если можно предположить, что система ведет себя линейно по отношению к нагрузке и отклику системы, то влияние предварительной нагрузки можно учесть, добавив результаты предварительно нагруженной конструкции и той же самой конструкции без предварительной нагрузки.

Однако, если нельзя предположить линейность, любое встроенное напряжение может повлиять на распределение внутренних сил, вызванных приложенными нагрузками (например, изменяя эффективную жесткость материала), или даже вызвать неожиданное разрушение материала. По этим причинам был разработан ряд методов, позволяющих избежать или уменьшить встроенный стресс, например: отжиг холоднодеформированного стекла и металлических деталей, компенсаторы в зданиях и роликовые шарниры для мостов.

Упрощения

Упрощенное моделирование фермы одномерными элементами в условиях одноосного равномерного напряжения.

Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одно- или двумерную. При расчете моста его трехмерная структура может быть идеализирована как единая плоская конструкция, если все силы действуют в плоскости ферм моста. Кроме того, каждый элемент ферменной конструкции может затем рассматриваться как одномерный элемент с силами, действующими вдоль оси каждого элемента. В этом случае дифференциальные уравнения сводятся к конечной системе уравнений с конечным числом неизвестных.

Если можно предположить, что распределение напряжений является однородным (или предсказуемым, или несущественным) в одном направлении, то можно использовать допущение плоское напряжение и плоская деформация Тогда поведение и уравнения, описывающие поле напряжений, являются функцией только двух координат, а не трех.

Даже в предположении линейного упругого поведения материала связь между тензорами напряжений и деформаций обычно выражается четвертым порядком тензор жесткости с 21 независимым коэффициентом (симметричная матрица жесткости 6 × 6). Эта сложность может потребоваться для обычных анизотропных материалов, но для многих распространенных материалов ее можно упростить. За ортотропные материалы например, древесина, чья жесткость симметрична относительно каждой из трех ортогональных плоскостей, девяти коэффициентов достаточно, чтобы выразить зависимость напряжения от деформации. Для изотропных материалов эти коэффициенты уменьшаются до двух.

Можно априори определить, что в некоторых частях системы напряжение будет определенного типа, например одноосное. напряжение или же сжатие, просто срезать, изотропное сжатие или растяжение, кручение, изгиб и т. д. В этих частях поле напряжений может быть представлено менее чем шестью числами и, возможно, только одним.

Решение уравнений

В любом случае для двух- или трехмерных областей необходимо решать систему уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Аналитические (замкнутые) решения дифференциальных уравнений могут быть получены, когда геометрия, определяющие соотношения и граничные условия достаточно просты. Для более сложных задач обычно приходится прибегать к численным приближениям, таким как метод конечных элементов, то метод конечных разностей, а метод граничных элементов.

Фактор безопасности

Конечная цель любого анализа - позволить сравнить возникающие напряжения, деформации и прогибы с теми, которые допускаются критериями проектирования. Очевидно, что все конструкции и их компоненты должны быть спроектированы таким образом, чтобы они обладали большей мощностью, чем та, которая, как ожидается, разовьется во время использования конструкции для предотвращения разрушения. Напряжение, которое рассчитывается для развития в элементе, сравнивается с прочностью материала, из которого он изготовлен, путем вычисления отношения прочности материала к расчетному напряжению. Соотношение, очевидно, должно быть больше 1.0, чтобы элемент не вышел из строя. Однако отношение допустимого напряжения к развиваемому напряжению должно быть больше 1,0, поскольку коэффициент безопасности (расчетный коэффициент) будет указан в проектных требованиях к конструкции. Все конструкции рассчитаны на превышение нагрузки, которую эти конструкции могут испытать во время эксплуатации. Расчетный коэффициент (число больше 1,0) представляет степень неопределенности в значении нагрузок, прочности материала и последствий отказа. Предполагаемое напряжение (или нагрузка, или прогиб) конструкции известно как рабочее, расчетное или предельное напряжение. Например, предельное напряжение выбирается равным некоторой доле от предел текучести материала, из которого сделана конструкция. Отношение предельной прочности материала к допустимому напряжению определяется как коэффициент безопасности против окончательного разрушения.

Лабораторные испытания обычно проводятся на образцах материалов, чтобы определить предел текучести и предел прочности этих материалов. Статистический анализ прочности многих образцов материала выполняется для расчета конкретной прочности материала этого материала. Анализ позволяет использовать рациональный метод определения прочности материала и дает значение, меньшее, например, 99,99% значений из испытанных образцов. С помощью этого метода в некотором смысле был применен отдельный коэффициент безопасности сверх расчетного коэффициента безопасности, применяемого к конкретной конструкции, в которой используется указанный материал.

Целью сохранения запаса прочности по пределу текучести является предотвращение вредных деформаций, которые могут ухудшить использование конструкции. Самолет с постоянно изогнутым крылом может быть не в состоянии перемещать свои управляющие поверхности и, следовательно, он неработоспособен. Хотя податливость материала конструкции может сделать конструкцию непригодной для использования, это не обязательно приведет к разрушению конструкции. Фактор безопасности по пределу прочности на растяжение заключается в предотвращении внезапного разрушения и обрушения, которые могут привести к большим экономическим потерям и возможным гибели людей.

Крыло самолета может быть спроектировано с запасом прочности 1,25 по пределу текучести крыла и коэффициентом безопасности 1,5 по пределу прочности. Испытательные приспособления, которые прикладывают эти нагрузки к крылу во время испытания, могут быть спроектированы с коэффициентом прочности 3,0 по пределу прочности, в то время как конструкция, которая укрывает испытательное приспособление, может иметь предельный коэффициент безопасности, равный десяти. Эти значения отражают степень уверенности ответственных органов в их понимании условий нагрузки, их уверенность в прочности материалов, точность аналитических методов, используемых в анализе, ценность конструкций, ценность срока службы тех, кто летающие, находящиеся рядом с испытательными приборами и находящиеся внутри здания.

Коэффициент запаса прочности используется для расчета максимально допустимого напряжения:

{ displaystyle { text {максимально допустимое напряжение}} = { frac { text {предел прочности на растяжение}} { text {коэффициент безопасности}}}}

Передача нагрузки

Оценка нагрузок и напряжений внутри конструкций направлена на определение пути передачи нагрузки. Нагрузки будут передаваться при физическом контакте между различными составными частями и внутри конструкций. Передача нагрузки может быть идентифицирована визуально или с помощью простой логики для простых конструкций. Для более сложных структур более сложные методы, например теоретические механика твердого тела или могут потребоваться численные методы. Численные методы включают метод прямой жесткости который также называют метод конечных элементов.

Задача состоит в том, чтобы определить критические напряжения в каждой детали и сравнить их с прочностью материала (см. сопротивление материалов ).

Для деталей, вышедших из строя в процессе эксплуатации, судебная экспертиза или же анализ отказов выполняется для выявления слабых мест, где сломанные части анализируются на предмет причины или причин отказа. Этот метод направлен на определение самого слабого компонента на пути загрузки. Если это та часть, которая действительно вышла из строя, то это может подтвердить независимое свидетельство отказа. Если нет, то следует искать другое объяснение, например, дефектную деталь с более низким предел прочности чем он должен например.

Одноосное напряжение

Линейный элемент конструкции является по существу одномерным и часто подвергается только осевой нагрузке. Когда элемент конструкции подвергается растяжению или сжатию, его длина будет иметь тенденцию к удлинению или укорачиванию, а его площадь поперечного сечения изменяется на величину, которая зависит от Коэффициент Пуассона материала. В инженерных приложениях конструктивные элементы испытывают небольшие деформации, и уменьшение площади поперечного сечения очень мало, и им можно пренебречь, т.е. площадь поперечного сечения считается постоянной во время деформации. В этом случае напряжение называется инженерное напряжение или же номинальное напряжение и рассчитывается с использованием исходного поперечного сечения.

{ displaystyle sigma _ { mathrm {e}} = { tfrac {P} {A_ {o}}}}

где P - приложенная нагрузка, а Ao - исходная площадь поперечного сечения.

В некоторых других случаях, например, эластомеры и пластик материалов изменение площади поперечного сечения значительно. Для материалов, объем которых сохраняется (т. Е. Коэффициент Пуассона = 0,5), если настоящий стресс желательно, она должна быть рассчитана с использованием истинной площади поперечного сечения вместо начальной площади поперечного сечения, как:

{ displaystyle sigma _ { mathrm {true}} = (1+ varepsilon _ { mathrm {e}}) ( sigma _ { mathrm {e}}) , !}

,

куда

{ Displaystyle varepsilon _ { mathrm {e}} , !}

номинальная (инженерная) напряжение, и

{ Displaystyle sigma _ { mathrm {e}} , !}

- номинальное (инженерное) напряжение.

Связь между истинной деформацией и инженерной деформацией определяется выражением

{ displaystyle varepsilon _ { mathrm {true}} = ln (1+ varepsilon _ { mathrm {e}}) , !}

.

Тогда при одноосном растяжении истинное напряжение больше номинального. Обратное верно при сжатии.

Графическое представление напряжения в точке

Круг Мора, Эллипсоид напряжений Ламе (вместе с поверхность директора напряжений), и Квадрика напряжений Коши являются двумерными графическими представлениями состояние стресса в точке. Они позволяют графически определять величину тензора напряжений в данной точке для всех плоскостей, проходящих через эту точку. Круг Мора - наиболее распространенный графический метод.

Круг Мора, названный в честь Кристиан Отто Мор, - это геометрическое место точек, которые представляют состояние напряжения на отдельных плоскостях при всех их ориентациях. В абсцисса, ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {п}} , !}$ , и ордината, ${ Displaystyle тау _ { mathrm {п}} , !}$ , каждой точки на круг - компоненты нормального напряжения и напряжения сдвига, соответственно, действующие на конкретную плоскость разреза с единичный вектор ${ Displaystyle mathbf {п} , !}$ с компонентами ${ displaystyle left (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3} right) , !}$ .

Эллипсоид напряжений Ламе

Поверхность эллипсоида представляет собой геометрическое место конечных точек всех векторов напряжений, действующих на всех плоскостях, проходящих через данную точку континуального тела. Другими словами, конечные точки всех векторов напряжений в данной точке континуального тела лежат на поверхности эллипсоида напряжений, т. Е. Радиус-вектор от центра эллипсоида, расположенного в рассматриваемой материальной точке, до точки на поверхность эллипсоида равна вектору напряжений на некоторой плоскости, проходящей через точку. В двух измерениях поверхность представлена эллипс (Рисунок приближается).

Квадрика напряжений Коши

Траектории напряжений в пластинчатой мембране

Квадрика напряжений Коши, также называемая поверхность напряжения, - поверхность второго порядка, отслеживающая изменение вектора нормальных напряжений ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {п}} , !}$ при изменении ориентации плоскостей, проходящих через данную точку.

Полное состояние напряжений в теле при определенной деформированной конфигурации, то есть в конкретный момент времени во время движения тела, предполагает знание шести независимых компонент тензора напряжений ${ displaystyle ( sigma _ {11}, sigma _ {22}, sigma _ {33}, sigma _ {12}, sigma _ {23}, sigma _ {13}) , ! }$ , или три главных напряжения ${ Displaystyle ( sigma _ {1}, sigma _ {2}, sigma _ {3}) , !}$ , в каждой материальной точке тела в это время.Однако численный анализ и аналитические методы позволяют вычислить тензор напряжений только в определенном количестве дискретных материальных точек. Чтобы графически представить в двух измерениях эту частичную картину поля напряжений, различные наборы контурные линии может быть использован:^[5]

Изобары кривые, вдоль которых происходит главное напряжение, например ${ Displaystyle sigma _ {1} , !}$ постоянно.
Изохроматика кривые, вдоль которых максимальное напряжение сдвига постоянно. Эти кривые определяются непосредственно с использованием методов фотоупругости.
Изопахи кривые, вдоль которых средний нормальный стресс постоянно
Изостатика или же траектории напряжений^[6] представляют собой систему кривых, которые в каждой материальной точке касаются главных осей напряжения - см. рисунок ^[7]
Изоклиники - это кривые, на которых главные оси образуют постоянный угол с заданным фиксированным опорным направлением. Эти кривые также можно получить непосредственно методами фотоупругости.
Линии скольжения - кривые, на которых напряжение сдвига максимально.