Метод граничных элементов - Boundary element method

В метод граничных элементов (БЭМ) - численно-вычислительный метод решения линейных уравнения в частных производных которые были сформулированы как интегральные уравнения (т.е. в граничный интеграл форма). включая механика жидкости, акустика, электромагнетизм (Метод моментов),[1] механика разрушения,[2] и контактная механика.[3][4]

Математическая основа

Интегральное уравнение можно рассматривать как точное решение основного дифференциального уравнения в частных производных. Метод граничного элемента пытается использовать данный граничные условия чтобы вписать граничные значения в интегральное уравнение, а не значения во всем пространстве, определяемом уравнением в частных производных. Как только это будет сделано, на этапе постобработки интегральное уравнение можно снова использовать для численного расчета решения непосредственно в любой желаемой точке внутри области решения.

БЭМ применим к задачам, для которых Функции Грина можно рассчитать. Обычно это поля в линейный однородный средства массовой информации. Это накладывает значительные ограничения на круг и общность задач, к которым могут быть с успехом применены граничные элементы. Нелинейности могут быть включены в формулировку, хотя обычно они вводят объемные интегралы, которые затем требуют, чтобы объем был дискретизированный прежде, чем можно будет попытаться решить эту проблему, устраняя одно из наиболее часто упоминаемых преимуществ БЭМ[нужна цитата ]. Полезным методом обработки интеграла объема без его дискретизации является метод двойной взаимности. Метод аппроксимирует часть подынтегрального выражения, используя радиальные базисные функции (локальные интерполирующие функции) и преобразует интеграл объема в интеграл границы после совмещения в выбранных точках, распределенных по всей области объема (включая границу). В BEM с двойной взаимностью, хотя нет необходимости разбивать объем на ячейки, неизвестные в выбранных точках внутри области решения участвуют в линейных алгебраических уравнениях, приближающих рассматриваемую задачу.

Функциональные элементы Грина, соединяющие пары участков источника и поля, определенные сеткой, образуют матрицу, которая решается численно. Если функция Грина не работает должным образом, по крайней мере, для пар пятен рядом друг с другом, функция Грина должна быть интегрирована как по исходному, так и по полю. Форма метода, в котором интегралы по участкам источника и поля совпадают, называется "Метод Галеркина ". Метод Галеркина - очевидный подход к проблемам, которые являются симметричными относительно обмена точками источника и поля. В электромагнетизме частотной области это обеспечивается за счет электромагнитная взаимность. Стоимость вычислений, связанных с наивными реализациями Галеркина, обычно довольно высока. Нужно перебрать каждую пару элементов (так что мы получаем n2 взаимодействия) и для каждой пары элементов мы перебираем Точки Гаусса в элементах, производящих мультипликативный коэффициент, пропорциональный квадрату числа точек Гаусса. Кроме того, требуемые вычисления функций обычно довольно дороги, включая вызовы тригонометрических / гиперболических функций. Тем не менее, основным источником вычислительных затрат является этот двойной цикл по элементам, создающий полностью заполненную матрицу.

В Функции Грина, или же фундаментальные решения, часто бывает проблематично интегрировать, поскольку они основаны на решении уравнений системы, подверженных сингулярной нагрузке (например, электрическому полю, возникающему от точечного заряда). Интегрировать такие особые поля непросто. Для простой геометрии элементов (например, плоских треугольников) можно использовать аналитическое интегрирование. Для более общих элементов можно разработать чисто численные схемы, которые адаптируются к сингулярности, но с большими вычислительными затратами. Конечно, когда исходная точка и целевой элемент (где выполняется интегрирование) находятся далеко друг от друга, нет необходимости точно определять локальный градиент, окружающий точку, и становится возможным легко интегрировать из-за плавного затухания фундаментального решения. Именно эта функция обычно используется в схемах, предназначенных для ускорения расчетов задач граничных элементов.

Вывод функций Грина в замкнутой форме представляет особый интерес в методе граничных элементов, особенно в электромагнетизме. В частности, при анализе слоистых сред, вывод функции Грина в пространственной области требует обращения аналитически выводимой функции Грина в спектральной области через интеграл по путям Зоммерфельда. Этот интеграл не может быть оценен аналитически, а его численное интегрирование является дорогостоящим из-за его колебательного и медленно сходящегося поведения. Для надежного анализа пространственные функции Грина аппроксимируются как комплексные экспоненты с помощью таких методов, как Метод Прони или же обобщенный пучок функций, а интеграл вычисляется с помощью Зоммерфельд идентичность.[5][6][7][8] Этот метод известен как метод дискретного комплексного изображения.[7][8]

Сравнение с другими методами

Метод граничных элементов часто более эффективен, чем другие методы, включая методы конечных элементов, с точки зрения вычислительных ресурсов для задач, в которых отношение поверхности к объему небольшое.[9] Концептуально это работает путем построения "сетка "по моделируемой поверхности. Однако для многих задач методы граничных элементов значительно менее эффективны, чем методы объемной дискретизации (метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов ). Хорошим примером применения метода граничных элементов является эффективный расчет собственные частоты из плескание жидкости в танках.[10][11][12] Метод граничных элементов - один из самых эффективных методов численного моделирования контактных задач,[13] в частности для моделирования клеевых контактов.[14]

Формулировки граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к хранилищу и время вычислений будут расти пропорционально квадрату размера проблемы. В отличие от этого, матрицы конечных элементов обычно имеют ленточную структуру (элементы связаны только локально), а требования к хранению для системных матриц обычно растут довольно линейно с размером проблемы. Методы сжатия (например, мультипольные разложения или адаптивная перекрестная аппроксимация /иерархические матрицы ) можно использовать для решения этих проблем, хотя и за счет дополнительной сложности, и с вероятностью успеха, которая сильно зависит от природы решаемой проблемы и геометрии.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ В электромагнетизме более традиционный термин «метод моментов» часто используется, хотя и не всегда, как синоним «метода граничных элементов»: см. (Уолтон 2008 ) для получения дополнительной информации по этому вопросу.
  2. ^ Метод граничных элементов хорошо подходит для анализа трещин в твердых телах. Существует несколько подходов к решению задач с использованием граничных элементов. Один из таких подходов состоит в том, чтобы сформулировать условия на трещинах в терминах гиперсингулярных граничных интегральных уравнений, см. (Анг 2013 ).
  3. ^ Pohrt, R .; Ли, К. (2014-10-01). «Полная формулировка граничных элементов для нормальных и касательных контактных задач». Физическая мезомеханика. 17 (4): 334–340. Дои:10.1134 / S1029959914040109. ISSN  1029-9599.
  4. ^ "Учебное пособие по расчету контактного давления на основе БЭМ". www.tribonet.org.
  5. ^ Чоу, Ю.Л .; Yang, J. J .; Fang, D.G .; Ховард, Г. Э. (март 1991 г.). «Замкнутая пространственная функция Грина для толстой микрополосковой подложки». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. 39 (3): 588–592. Дои:10.1109/22.75309.
  6. ^ Аксун М. И. (февраль 2003 г.). «Робастный подход для вывода замкнутых функций Грина». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. 44 (5): 651–658. Дои:10.1109/22.493917. HDL:11693/10779.
  7. ^ а б Тео, Суи-Энн (2000). «Метод дискретного комплексного изображения для функций Грина общих многослойных сред». Письма с волноводом в микроволновом диапазоне IEEE. 10 (10): 400–402. Дои:10.1109/75.877225.
  8. ^ а б Тео, Сви-Энн; Чу, Сиу-Тек; Леонг, Мук-Сен (февраль 2003 г.). «Анализ ошибок метода дискретных сложных изображений и извлечения полюсов». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. 51 (2): 406–412. Дои:10.1109 / TMTT.2002.807834.
  9. ^ Видеть (Кацикаделис 2002 ).
  10. ^ Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (01.09.2015). «Трехмерное динамическое выплескивание жидкости в частично заполненных горизонтальных резервуарах при одновременном продольном и поперечном возбуждении». Европейский журнал механики B. 53: 251–263. Bibcode:2015EJMF ... 53..251K. Дои:10.1016 / j.euromechflu.2015.06.001.
  11. ^ Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (31 января 2015 г.). «Комбинированный мультимодальный метод и метод граничных элементов для анализа противоскользящей эффективности частичных перегородок в частично заполненном контейнере». Компьютеры и жидкости. 107: 43–58. Дои:10.1016 / j.compfluid.2014.10.013.
  12. ^ Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (14 ноября 2014 г.). Том 4A: динамика, вибрация и управление. стр. V04AT04A067. Дои:10.1115 / IMECE2014-37271. ISBN  978-0-7918-4647-6.
  13. ^ Попов, Валентин (2017). Контактная механика и трение - Физические принципы и (Глава 19). Springer. С. 337–341. ISBN  9783662530801.
  14. ^ Похрт, Роман; Попов, Валентин Л. (09.04.2015). «Моделирование адгезионного контакта упругих тел с использованием критерия локального отрыва от сетки в методе граничных элементов». Facta Universitatis, Серия: Машиностроение. 13 (1): 3–10.

Библиография

дальнейшее чтение

  • Констанда, Кристиан; Доти, Дейл; Хэмилл, Уильям (2016). Методы граничных интегральных уравнений и численные решения: тонкие пластины на упругом основании. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-3-319-26307-6.

внешняя ссылка

Бесплатно программное обеспечение

  • Бембель Трехмерное, изогеометрическое, БЭМ-программное обеспечение более высокого порядка с открытым исходным кодом для задач Лапласа, Гельмгольца и Максвелла, использующее метод быстрого мультиполя для сжатия и снижения вычислительных затрат.
  • border-element-method.com БЭМ-программа с открытым исходным кодом для решения задач акустики / Гельмгольца и Лапласа
  • Пума-ЭМ Открытая и высокопроизводительная параллельная программа Method of Moments / Multilevel Fast Multipole Method
  • АкуСТО Acoustics Simulation TOol, бесплатный параллельный БЭМ-решатель с открытым исходным кодом для интегрального уравнения Кирхгофа-Гельмгольца (KHIE)
  • FastBEM Бесплатные быстрые многополюсные программы граничных элементов для решения 2D / 3D задач, связанных с потенциалом, упругостью, стоксовым потоком и акустическими проблемами.
  • ParaFEM Включает бесплатный параллельный БЭМ-решатель с открытым исходным кодом для проблем эластичности, описанный в Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser, Метод граничных элементов с программированием: для инженеров и ученых, Спрингер, ISBN  978-3-211-71574-1 (2008)
  • Библиотека шаблонов граничных элементов (BETL) Программная библиотека C ++ общего назначения для дискретизации граничных интегральных операторов.
  • Немох Программное обеспечение BEM для гидродинамики с открытым исходным кодом, предназначенное для расчета волновых нагрузок первого порядка на морские конструкции (добавленная масса, радиационное демпфирование, дифракционные силы)
  • Bempp, БЭМ-программа с открытым исходным кодом для трехмерных задач Лапласа, Гельмгольца и Максвелла
  • МНПБЭМ, Набор инструментов Matlab с открытым исходным кодом для решения уравнений Максвелла для наноструктур произвольной формы.
  • Симулятор контактной механики и трибологии, Бесплатное программное обеспечение на основе БЭМ