Группа мясников - Butcher group

В математика, то Группа мясников, названный в честь новозеландского математика Джон С. Батчер к Хайрер и Ваннер (1974), является бесконечномерным Группа Ли^[1] впервые представлен в числовой анализ изучать решения нелинейных обыкновенные дифференциальные уравнения посредством Метод Рунге – Кутты. Он возник на основе алгебраического формализма, включающего укоренившиеся деревья что обеспечивает формальный степенной ряд решения дифференциального уравнения, моделирующего течение векторное поле. Это было Кэли (1857), побуждаемый работой Сильвестр по замене переменных в дифференциальное исчисление, который первым заметил, что производные композиции функций удобно выразить в терминах корневых деревьев и их комбинаторики.

Конн и Краймер (1999) указал, что группа Мясника - это группа персонажей Алгебра Хопфа корневых деревьев, которые возникли независимо в ходе их собственной работы над перенормировка в квантовая теория поля и Конн 'работать с Московичи на местном индексные теоремы. Эта алгебра Хопфа, часто называемая Алгебра Конна-Креймера, по существу эквивалентна группе Бутчера, поскольку ее двойник можно отождествить с универсальная обертывающая алгебра из Алгебра Ли группы Мясников.^[2] Как они прокомментировали:

Мы рассматриваем работу Бутчера по классификации методов численного интегрирования как впечатляющий пример того, что конкретная проблемно-ориентированная работа может привести к далеко идущим концептуальным результатам.

Дифференциалы и корневые деревья

Деревья с корнями и двумя, тремя и четырьмя узлами из оригинальной статьи Кэли.

Укоренившееся дерево - это график с выделенным узлом, называемым корень, в котором каждый другой узел соединен с корнем уникальным путем. Если корень дерева т удаляется, и узлы, связанные с исходным узлом одинарной связью, принимаются как новые корни, дерево т распадается на деревья с корнями т₁, т₂, ... Обращение этого процесса к новому дереву т = [т₁, т₂, ...] можно построить, соединив корни деревьев с новым общим корнем. Количество узлов в дереве обозначается |т|, А упорядочивание кучи корневого дерева т представляет собой размещение чисел от 1 до |т| к узлам так, чтобы числа увеличивались на любом пути, уходящем от корня. Два порядка кучи: эквивалент, если есть автоморфизм корневых деревьев, отображающих одно из них на другом. Количество классы эквивалентности порядков кучи на конкретном дереве обозначается через α (т) и может быть вычислен по формуле Мясника:^[3]^[4]

{displaystyle displaystyle альфа (т) = {| т |! над t! | S_ {t} |},}

где S_т обозначает группа симметрии из т а факториал дерева определяется рекурсивно как

{displaystyle [t_ {1}, dots, t_ {n}]! = | [t_ {1}, dots, t_ {n}] | cdot t_ {1}! cdots t_ {n}!}

с факториалом дерева изолированного корня, определенным как 1

{displaystyle ullet! = 1.}

Обыкновенное дифференциальное уравнение для потока векторное поле на открытом подмножестве U из р^N можно написать

{displaystyle displaystyle {dx (s) over ds} = f (x (s)) ,,, x (0) = x_ {0},}

где Икс(s) принимает значения в U, ж является гладкой функцией из U к р^N и Икс₀ это начальная точка потока во время s = 0.

Кэли (1857) дал метод для вычисления производных высшего порядка Икс^(м)(s) с точки зрения корневых деревьев. Его формулу удобно выразить с помощью элементарные дифференциалы представленный Мясником. Они определяются индуктивно

{displaystyle delta _ {ullet} ^ {i} = f ^ {i} ,,,, delta _ {[t_ {1}, dots, t_ {n}]} ^ {i} = sum _ {j_ {1} , точки, j_ {n} = 1} ^ {N} (delta _ {t_ {1}} ^ {j_ {1}} cdots delta _ {t_ {n}} ^ {j_ {n}}) частично _ { j_ {1}} cdots частично _ {j_ {n}} f ^ {i}.}

С этой записью

{displaystyle {d ^ {m} x over ds ^ {m}} = sum _ {| t | = m} alpha (t) delta _ {t},}

давая расширение степенного ряда

{displaystyle displaystyle x (s) = x_ {0} + sum _ {t} {s ^ {| t |} over | t |!} альфа (t) дельта _ {t} (0).}

В качестве примера, когда N = 1, так что Икс и ж являются действительными функциями одной действительной переменной, формула дает

{displaystyle x ^ {(4)} = f ^ {простое простое число} f ^ {3} + 3f ^ {простое число} f ^ {простое число} f ^ {2} + f ^ {простое число} f ^ {простое число } f ^ {2} + (f ^ {prime}) ^ {3} f,}

где четыре члена соответствуют четырем корневым деревьям слева направо на Рисунке 3 выше.

В одной переменной эта формула совпадает с Формула Фаа ди Бруно 1855 г .; однако в нескольких переменных его следует записать более тщательно в виде

{displaystyle x ^ {(4)} = f ^ {простое простое число} (f, f, f) + 3f ^ {простое число} (f, f ^ {простое число} (f)) + f ^ {простое число} ( f ^ {простое число} (f, f)) + f ^ {простое число} (f ^ {простое число} (f ^ {число} (f))),}

где древовидная структура имеет решающее значение.

Определение корневых деревьев с помощью алгебры Хопфа

В Алгебра Хопфа ЧАС корневых деревьев был определен Конн и Креймер (1998) в связи с Креймер предыдущая работа над перенормировка в квантовая теория поля. Позже было обнаружено, что алгебра Хопфа является двойственной алгебре Хопфа, определенной ранее формулой Гроссман и Ларсен (1989) в другом контексте. Персонажи ЧАС, т.е. гомоморфизмы основной коммутативной алгебры в р, образуют группу, называемую Группа мясников. Это соответствует формальная группа структура обнаружена в числовой анализ к Мясник (1972).

В Алгебра Хопфа корневых деревьев ЧАС определяется как кольцо многочленов в переменных т, где т проходит сквозь коренные деревья.

это коумножение ${displaystyle Delta: Hightarrow Hotimes H}$ определяется

{displaystyle Delta (t) = totimes I + Iotimes t + sum _ {ssubset t} sotimes [t ackslash s],}

где сумма берется по всем правильным корневым поддеревьям s из т; ${displaystyle [t ackslash s]}$ - моном, задаваемый произведением переменных т_я образованные корневыми деревьями, которые возникают при стирании всех узлов s и связанные ссылки из т. Количество таких деревьев обозначено п(тs).

это графство является гомоморфизмом ε ЧАС в р отправка каждой переменной т до нуля.
это антипод S можно определить рекурсивно по формуле

{displaystyle S (t) = - t-sum _ {ssubset t} (- 1) ^ {n (t ackslash s)} S ([t ackslash s]) s ,,,, S (ullet) = - ullet. }

В Группа мясников определяется как множество гомоморфизмов алгебр φ ЧАС в р с групповой структурой

{displaystyle varphi _ {1} star varphi _ {2} (t) = (varphi _ {1} otimes varphi _ {2}) Delta (t).}

Обратное в группе Мясника дается формулой

{displaystyle varphi ^ {- 1} (t) = varphi (St)}

и тождество счетчиком ε.

Используя комплексные коэффициенты при построении алгебры Хопфа корневых деревьев, получаем комплексную алгебру Хопфа корневых деревьев. C-значные символы образуют группу, называемую комплексная группа мясников G_C. Комплекс мясника группы грамм_C является бесконечномерной комплексной группой Ли^[1] который появляется как игрушечная модель в § Перенормировка квантовых теорий поля.

Серия Мясника и метод Рунге – Кутты

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение

{displaystyle {dx (s) over ds} = f (x (s)) ,,,, x (0) = x_ {0},}

можно приблизительно решить Метод Рунге-Кутты. Эта итерационная схема требует м Икс м матрица

{displaystyle A = (a_ {ij})}

и вектор

{displaystyle b = (b_ {i})}

с м составные части.

Схема определяет векторы Икс_п сначала найдя решение Икс₁, ... , Икс_м из

{displaystyle X_ {i} = x_ {n-1} + hsum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} f (X_ {j})}

а затем установив

{displaystyle x_ {n} = x_ {n-1} + hsum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} f (x_ {j}).}

Мясник (1963) показал, что решение соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений

{displaystyle X_ {i} (s) = x_ {0} + ssum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} f (X_ {j} (s)) ,,,, x (s) = x_ {0} + ssum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} f (X_ {j} (s))}

имеет расширение степенного ряда

{displaystyle X_ {i} (s) = x_ {0} + sum _ {t} {s ^ {| t |} over | t |!} альфа (t) t! sum _ {j = 1} ^ {m } a_ {ij} varphi _ {j} (t) delta _ {t} (0) ,,,,, x (s) = x_ {0} + sum _ {t} {s ^ {| t |} сверх | t |!} альфа (t) t! varphi (t) delta _ {t} (0),}

где φ_j и φ определяются рекурсивно

{displaystyle varphi _ {j} (ullet) = 1. ,,, varphi _ {i} ([t_ {1}, cdots, t_ {k}]) = sum _ {j_ {1}, dots, j_ {k }} a_ {ij_ {1}} точки a_ {ij_ {k}} varphi _ {j_ {1}} (t_ {1}) точки varphi _ {j_ {k}} (t_ {k})}

и

{displaystyle varphi (t) = sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} varphi _ {j} (t).}

Вышеуказанные степенные ряды называются B-серия или Мясник серии.^[3]^[5] Соответствующее присвоение φ является элементом группы Бутчера. Гомоморфизм, соответствующий реальному потоку, имеет

{displaystyle Phi (t) = {1 больше t!}.}

Бутчер показал, что метод Рунге-Кутты дает паппроксимация фактического потока в порядке при условии, что φ и Φ согласованы на всех деревьях с п узлов или меньше. Более того, Мясник (1972) показал, что гомоморфизмы, определенные методом Рунге-Кутты, образуют плотную подгруппу группы Бутчера: фактически он показал, что для данного гомоморфизма ф 'существует гомоморфизм Рунге-Кутты ф, согласованный с ф' для порядка п; и что если даны гомоморфимы φ и φ ', соответствующие данным Рунге-Кутты (А, б) и (А ' , б ' ) гомоморфизм произведения ${displaystyle varphi star varphi ^ {prime}}$ соответствует данным

{displaystyle {egin {pmatrix} A & 0 0 & A ^ {prime} end {pmatrix}} ,,, (b, b ^ {prime}).}

Хайрер и Ваннер (1974) доказано, что группа Бутчера естественным образом действует на функциях ж. Действительно, установка

{displaystyle varphi circ f = 1 + sum _ {t} {s ^ {| t |} over | t |!} alpha (t) t! varphi (t) delta _ {t} (0),}

они доказали, что

{displaystyle varphi _ {1} circ (varphi _ {2} circ f) = (varphi _ {1} star varphi _ {2}) circ f.}

Алгебра Ли

Конн и Краймер (1998) показал, что связан с группой Мясника грамм является бесконечномерной алгеброй Ли. Существование этой алгебры Ли предсказывается теорема из Милнор и Мур (1965): коммутативность и естественная градуировка на ЧАС следует, что градуированная двойственная ЧАС* можно идентифицировать с универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ . Конн и Краймер явно идентифицируют ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ с пространством производные θ из ЧАС в р, т.е. линейные отображения такие, что

{displaystyle heta (ab) = varepsilon (a) heta (b) + heta (a) varepsilon (b),}

формальное касательное пространство грамм в единице ε. Это образует алгебру Ли со скобкой Ли

{displaystyle [heta _ {1}, heta _ {2}] (t) = (heta _ {1} otimes heta _ {2} - heta _ {2} otimes heta _ {1}) Delta (t).}

${displaystyle {mathfrak {g}}}$ порождается дифференцированием θ_т определяется

{displaystyle heta _ {t} (t ^ {prime}) = delta _ {tt ^ {prime}},}

за каждое укоренившееся дерево т.

Бесконечномерная алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ из Конн и Креймер (1998) и алгебра Ли L (G) группы Бутчера как бесконечномерной группы Ли не совпадают. Алгебра Ли L (G) можно отождествить с алгеброй Ли всех дифференцирований в двойственном к ЧАС (т.е. пространство всех линейных отображений из ЧАС к р), в то время как ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ получается из градуированного дуального. Следовательно ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ оказывается (строго меньшей) подалгеброй Ли в L (G).^[1]

Перенормировка

Конн и Креймер (1998) предоставил общий контекст для использования Алгебраический Хопфа методы дать простую математическую формулировку перенормировка в квантовая теория поля. Перенормировка интерпретировалась как Факторизация Биркгофа петель в группе характеров ассоциированной алгебры Хопфа. Модели, рассмотренные Креймер (1999) имел алгебру Хопфа ЧАС и группа персонажей грамм, группа мясников. Броудер (2000) дал отчет об этом процессе перенормировки с точки зрения данных Рунге-Кутты.

В этой упрощенной настройке перенормируемая модель имеет две части входных данных:^[6]

набор Правила Фейнмана заданный гомоморфизмом алгебр Φ ЧАС в алгебру V из Серия Laurent в z с полюсами конечного порядка;
а схема перенормировки заданный линейным оператором р на V такой, что р удовлетворяет Рота-Бакстер идентичность

{Displaystyle R (fg) + R (f) R (g) = R (fR (g)) + R (R (f) g)}

и образ р – я бы лежит в алгебре V₊ из степенной ряд в z.

Обратите внимание, что р удовлетворяет тождеству Рота-Бакстера тогда и только тогда, когда я бы – р делает. Важным примером является схема минимального вычитания

{displaystyle displaystyle R (sum _ {n} a_ {n} z ^ {n}) = sum _ {n <0} a_ {n} z ^ {n}.}

Вдобавок есть проекция п из ЧАС на идеальное увеличение ker ε задано формулой

{displaystyle displaystyle P (x) = x-varepsilon (x) 1.}

Чтобы определить перенормированные правила Фейнмана, обратите внимание, что антипод S удовлетворяет

{displaystyle mcirc (Sotimes {m {id}}) Delta (x) = varepsilon (x) 1}

так что

{displaystyle S = -mcirc (Sotimes P) Delta,}

В перенормированные правила Фейнмана задаются гомоморфизмом ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R}}$ из ЧАС в V полученный скручиванием гомоморфизма Φ • S. Гомоморфизм ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R}}$ однозначно определяется

{displaystyle Phi _ {S} ^ {R} = - m (Sotimes Phi _ {S} ^ {R} circ P) Дельта.}

Благодаря точному виду Δ это дает рекурсивную формулу для ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R}}$ .

Для схемы минимального вычитания этот процесс можно интерпретировать в терминах факторизации Биркгофа в комплексной группе Бутчера. Φ можно рассматривать как отображение γ единичной окружности в комплексификацию грамм_C из грамм (отображается в C вместо того р). Таким образом, он имеет факторизацию Биркгофа.

{displaystyle displaystyle gamma (z) = gamma _ {-} (z) ^ {- 1} gamma _ {+} (z),}

где γ₊ является голоморфный внутри замкнутого единичного диска и γ_– голоморфна на своем дополнении в Сфера Римана C ${displaystyle cup {infty}}$ с γ_–(∞) = 1. Петля γ₊ соответствует перенормированному гомоморфизму. Оценка на z = 0 из γ₊ или перенормированный гомоморфизм дает размерно регуляризованный значения для каждого корневого дерева.

Например, правила Фейнмана зависят от дополнительного параметра μ, «единицы массы». Конн и Креймер (2001) показало, что

{displaystyle partial _ {mu} gamma _ {mu -} = 0,}

так что γ_μ– не зависит от μ.

Комплексная группа Бутчера имеет естественную однопараметрическую группу λ_ш автоморфизмов, двойственных автоморфизмов на ЧАС

{displaystyle lambda _ {w} (t) = w ^ {| t |} t}

за ш ≠ 0 дюйм C.

Петли γ_μ и λ_ш · Γ_μ имеют такую же отрицательную часть и, для т настоящий,

{displaystyle displaystyle F_ {t} = lim _ {z = 0} gamma _ {-} (z) lambda _ {tz} (gamma _ {-} (z) ^ {- 1})}

определяет однопараметрическую подгруппу комплексной группы Бутчера грамм_C называется поток ренормгруппы (RG).

Его инфинитезимальная образующая β является элементом алгебры Ли грамм_C и определяется

{displaystyle eta = partial _ {t} F_ {t} | _ {t = 0}.}

Это называется бета-функция модели.

В любой данной модели обычно имеется конечномерное пространство комплексных констант связи. Комплексная группа Бутчера действует на этом пространстве диффеоморфизмами. В частности, ренормализационная группа определяет поток в пространстве констант связи, при этом бета-функция задает соответствующее векторное поле.

Более общие модели в квантовой теории поля требуют замены корневых деревьев на Диаграммы Фейнмана с вершинами, украшенными символами из конечного набора индексов. Конн и Креймер также определили алгебры Хопфа в этом контексте и показали, как их можно использовать для систематизации стандартных вычислений в теории перенормировок.

пример

Креймер (2007) дал "игрушечную модель" с участием размерная регуляризация за ЧАС и алгебра V. Если c положительное целое число и q_μ = q / μ - безразмерная константа, правила Фейнмана могут быть определены рекурсивно с помощью

{displaystyle displaystyle Phi ([t_ {1}, dots, t_ {n}]) = int {Phi (t_ {1}) cdots Phi (t_ {n}) над | y | ^ {2} + q_ {mu} ^ {2}} (| y | ^ {2}) ^ {- z ({c больше 2} -1)}, d ^ {D} y,}

где z = 1 – D/ 2 - параметр регуляризации. Эти интегралы могут быть явно вычислены в терминах Гамма-функция используя формулу

{displaystyle displaystyle int {(| y | ^ {2}) ^ {- u} над | y | ^ {2} + q_ {mu} ^ {2}}, d ^ {D} y = pi ^ {D / 2} (q_ {mu} ^ {2}) ^ {- zu} {Gamma (-u + D / 2) Gamma (1 + uD / 2) over Gamma (D / 2)}.}.}

Особенно

{displaystyle displaystyle Phi (ullet) = pi ^ {D / 2} (q_ {mu} ^ {2}) ^ {- zc / 2} {Гамма (1 + cz) над cz}.}

Принимая схему перенормировки р минимального вычитания перенормированные величины ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R} (t)}$ находятся многочлены в ${журнал displaystyle q_ {mu} ^ {2}}$ при оценке на z = 0.

Примечания

^ ^а ^б ^c Bogfjellmo & Schmeding 2015
^ Броудер 2004
^ ^а ^б Мясник 2008
^ Brouder 2000
^ Джексон, К. Р .; Kværnø, A .; Норсетт, С.П. (1994), "Использование рядов Бутчера в анализе ньютоновских итераций в формулах Рунге-Кутты", Прикладная вычислительная математика, 15 (3): 341–356, CiteSeerX 10.1.1.42.8612, Дои:10.1016 / 0168-9274 (94) 00031-X (Специальный выпуск в честь шестидесятилетия профессора Дж. К. Бутчера)
^ Краймер 2007