Теорема Фугледеса - Википедия - Fugledes theorem

В математика, Теорема Фугледе это результат теория операторов, названный в честь Бент Фугледе.

Результат

Теорема (Фугледе) Позволять Т и N - ограниченные операторы в комплексном гильбертовом пространстве с N существование нормальный. Если TN = NT, тогда TN * = N * T, куда N * обозначает прилегающий из N.

Нормальность N необходимо, как видно, взяв Т=N. Когда Т является самосопряженным, утверждение тривиально независимо от того, N это нормально:

${ Displaystyle TN ^ {*} = (NT) ^ {*} = (TN) ^ {*} = N ^ {*} T. ,}$

Предварительное доказательство: Если основное гильбертово пространство конечномерно, спектральная теорема Говорит, что N имеет форму

${ Displaystyle N = сумма _ {я} лямбда _ {я} P_ {я} ,}$

куда п_я являются попарно ортогональными проекциями. Ожидается, что TN = NT если и только если TP_я = P_яТДействительно, это можно доказать элементарными аргументами (например, можно показать, что все п_я представлены в виде многочленов от N и по этой причине, если Т ездит с N, он должен добираться до п_я...). Следовательно Т должен также добираться до

${ displaystyle N ^ {*} = sum _ {i} {{ bar { lambda}} _ {i}} P_ {i}.}$

В общем случае, когда гильбертово пространство не конечномерно, нормальный оператор N рождает проекционно-оценочная мера п по его спектру, σ(N), который задает проекцию п_Ω каждому борелевскому подмножеству σ(N). N можно выразить как

${ Displaystyle N = int _ { sigma (N)} lambda dP ( lambda). ,}$

В отличие от конечномерного случая отнюдь не очевидно, что TN = NT подразумевает TP_Ω = п_ΩТ. Таким образом, не так очевидно, что Т также коммутирует с любой простой функцией вида

${ displaystyle rho = sum _ {i} { bar { lambda}} P _ { Omega _ {i}}.}$

Действительно, следуя построению спектрального разложения для ограниченного нормального несамосопряженного оператора Т, видно, что для проверки того, что Тездит с ${ displaystyle P _ { Omega _ {i}}}$, наиболее простой способ - предположить, что Т ездит с обоими N и N *, порождая замкнутый круг!

В этом актуальность теоремы Фугледе: последняя гипотеза на самом деле не нужна.

Обобщение Патнэма

Ниже приводится частный случай результата Фугледе. Изображенное ниже доказательство Розенблюма - это как раз доказательство, представленное Фугледе для его теоремы в предположении N = M.

Теорема (Кальвин Ричард Патнэм) Позволять Т, M, N быть линейные операторы на комплексе Гильбертово пространство, и предположим, что M и N находятся нормальный, M ограничена и MT = TN. потом M*Т = TN*.

Первое доказательство (Марвин Розенблюм): По индукции из предположения следует, что M^kТ = TN^k для всех k. Таким образом, для любого λ из ${ Displaystyle mathbb {C}}$,

${ displaystyle e ^ {{ bar { lambda}} M} T = Te ^ {{ bar { lambda}} N}.}$

Рассмотрим функцию

${ displaystyle F ( lambda) = e ^ { lambda M ^ {*}} Te ^ {- lambda N ^ {*}}.}$

Это равно

${ displaystyle e ^ { lambda M ^ {*}} left [e ^ {- { bar { lambda}} M} Te ^ {{ bar { lambda}} N} right] e ^ { - lambda N ^ {*}} = U ( lambda) TV ( lambda) ^ {- 1}}$,

куда ${ displaystyle U ( lambda) = e ^ { lambda M ^ {*} - { bar { lambda}} M}}$ потому что ${ displaystyle M}$ нормально, и аналогично ${ displaystyle V ( lambda) = e ^ { lambda N ^ {*} - { bar { lambda}} N}}$. Однако у нас есть

${ Displaystyle U ( lambda) ^ {*} = е ^ {{ bar { lambda}} M- lambda M ^ {*}} = U ( lambda) ^ {- 1}}$

поэтому U унитарен и, следовательно, имеет норму 1 для всех λ; то же самое верно для V(λ), поэтому

${ Displaystyle | F ( lambda) | leq | T | forall lambda.}$

Так F является ограниченной аналитической векторнозначной функцией и, следовательно, постоянна и равна F(0) = Т. Рассматривая члены первого порядка в разложении для малых λ, мы должны иметь M * T = TN *.

Оригинальная статья Фугледе появилась в 1950 году; он был расширен до указанной выше формы Патнэмом в 1951 году. Приведенное выше краткое доказательство было впервые опубликовано Розенблюмом в 1958 году; оно очень элегантно, но менее общее, чем исходное доказательство, которое также рассматривало случай неограниченных операторов. Другое простое доказательство теоремы Патнэма выглядит следующим образом:

Второе доказательство: Рассмотрим матрицы

${ displaystyle T '= { begin {bmatrix} 0 & 0 T & 0 end {bmatrix}} quad { mbox {and}} quad N' = { begin {bmatrix} N & 0 0 & M end {bmatrix }}.}$

Оператор N ' нормально и по предположению T 'N' = N 'T' . По теореме Фугледе

${ Displaystyle T '(N') ^ {*} = (N ') ^ {*} T'. ,}$

Затем сравнение записей дает желаемый результат.

Из обобщения Патнэма можно вывести следующее:

Следствие Если два нормальных оператора M и N подобны, то они унитарно эквивалентны.

Доказательство: Предполагать MS = SN куда S - ограниченный обратимый оператор. Результат Патнэма подразумевает РС = SN *, т.е.

${ Displaystyle S ^ {- 1} M ^ {*} S = N ^ {*}. ,}$

Возьмем сопряженное к приведенному выше уравнению, и мы имеем

${ Displaystyle S ^ {*} M (S ^ {- 1}) ^ {*} = N. ,}$

Так

${ Displaystyle S ^ {*} M (S ^ {- 1}) ^ {*} = S ^ {- 1} MS quad Rightarrow quad SS ^ {*} M (SS ^ {*}) ^ { -1} = M.}$

Позволять S * = VR, с V унитарная (поскольку S обратима) и р положительный квадратный корень из SS*. В качестве р является пределом многочленов на SS*, из сказанного выше следует, что р ездит с M. Он также обратим. потом

${ displaystyle N = S ^ {*} M (S ^ {*}) ^ {- 1} = VRMR ^ {- 1} V ^ {*} = VMV ^ {*}.}$

Следствие Если M и N - нормальные операторы, а MN = NM, тогда MN тоже нормально.

Доказательство: Аргумент использует только теорему Фугледе. Можно напрямую вычислить

${ Displaystyle (MN) (MN) ^ {*} = MN (NM) ^ {*} = MNM ^ {*} N ^ {*}. ,}$

По Фугледе это становится

${ displaystyle = MM ^ {*} NN ^ {*} = M ^ {*} MN ^ {*} N. ,}$

Но M и N нормальные, так что

${ Displaystyle = M ^ {*} N ^ {*} MN = (MN) ^ {*} MN. ,}$

C *-алгебры

Теорема может быть перефразирована как утверждение об элементах C * -алгебры.

Теорема (Фугледе-Патнам-Розенблюм) Позволять х, у быть двумя нормальными элементами C *-алгебра А иz такой, что xz = zy. Тогда следует, что х * г = г у *.

Рекомендации

• Фугледе, Бент. Теорема о коммутативности для нормальных операторов - PNAS
• Бербериан, Стерлинг К. (1974), Лекции по функциональному анализу и теории операторов, Тексты для выпускников по математике, 15, Нью-Йорк-Гейдельберг-Берлин: Springer-Verlag, стр. 274, г. ISBN  0-387-90080-2, МИСТЕР  0417727.
• Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  9780070542259.