Настоящее закрытое кольцо - Real closed ring

В математика, а настоящее закрытое кольцо это коммутативное кольцо А это подкольцо из товар из настоящие закрытые поля, который закрыт под непрерывный полуалгебраический функции, определенные над целые числа.

Примеры реальных замкнутых колец

Поскольку строгое определение реального замкнутого кольца носит технический характер, удобно сначала просмотреть список известных примеров. Следующие кольца являются настоящими замкнутыми кольцами:

настоящие закрытые поля. Это и есть настоящие замкнутые кольца, поля.
кольцо всего действительные непрерывные функции на полностью регулярное пространство Икс. Также кольцо всех ограниченный настоящий -значные непрерывные функции на Икс реально закрыто.
выпуклые подкольца вещественно замкнутых полей. Это как раз те настоящие замкнутые кольца, которые тоже оценочные кольца и первоначально были изучены Черлином и Дикманном (они использовали термин «реальное замкнутое кольцо» для того, что сейчас называется «реальным замкнутым кольцом оценки»).
кольцо А всех непрерывных полуалгебраические функции на полуалгебраический набор реального закрытого поля (со значениями в этом поле). Кроме того, подкольцо всех ограниченных (в любом смысле) функций в А реально закрыто.
(обобщая предыдущий пример) кольцо всех (ограниченных) непрерывных определяемые функции на определяемый набор S произвольного первого порядка расширение M реального замкнутого поля (со значениями в M). Кроме того, кольцо всех (ограниченных) определимых функций ${ displaystyle S to M}$ реально закрыто.
Настоящие замкнутые кольца - это в точности кольца глобальные разделы аффинных вещественных замкнутых пространств (обобщение полуалгебраические пространства ), и в этом контексте они были изобретены Нильсом Шварцем в начале 1980-х годов.

Определение

Вещественное замкнутое кольцо - это редуцированное коммутативное кольцо с единицей А который имеет следующие свойства:

Набор квадратов А - множество неотрицательных элементов частичного порядка ≤ на А и (А, ≤) является кольцо.
Условие выпуклости: Для всех а, б в А, если 0 ≤ а ≤ б тогда б | а².
Для каждого главный идеал п из А, то кольцо класса остатка А/п является целиком закрытый и это поле дробей это настоящее закрытое поле.

Ссылка на определение в начале статьи дается в разделе, посвященном алгебраическим свойствам, ниже.

Действительное замыкание коммутативного кольца

Каждое коммутативное кольцо с единицей р имеет так называемый реальное закрытие rcl (р) и это уникально с точностью до уникального кольцевой гомоморфизм над р. Это означает, что rcl (р) является вещественным замкнутым кольцом и существует (не обязательно инъективный ) гомоморфизм колец ${ displaystyle r: R to rcl (R)}$ такое, что для любого гомоморфизма колец ${ displaystyle f: R to A}$ в какое-то другое настоящее замкнутое кольцо Асуществует единственный кольцевой гомоморфизм ${ displaystyle g: rcl (R) to A}$ с ${ displaystyle f = g circ r}$ .

Например, реальное закрытие кольцо многочленов ${ displaystyle mathbb {R} [T_ {1}, ..., T_ {n}]}$ кольцо непрерывных полуалгебраических функций ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ .

Произвольное кольцо р является полуреальным (т.е. −1 не является суммой квадратов в р) тогда и только тогда, когда действительное закрытие р не является нулевым кольцом.

Настоящее закрытие упорядоченное поле в целом нет реальное закрытие основного поля. Например, реальное закрытие упорядоченный подполе ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ из ${ Displaystyle mathbb {R}}$ это поле ${ displaystyle mathbb {R} _ {alg}}$ настоящих алгебраические числа, а реальное закрытие поля ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ кольцо ${ Displaystyle mathbb {R} _ {alg} times mathbb {R} _ {alg}}$ (соответствует двум порядкам ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ ). В более общем смысле реальное закрытие поля F является некоторым подпрямым произведением реальных замыканий упорядоченных полей (F,п), куда п проходит через заказы F.

Алгебраические свойства

В категория RCR вещественных замкнутых колец, у которого есть действительные замкнутые кольца как объекты и гомоморфизмы колец как морфизмы обладает следующими свойствами:

Произвольный товары, прямые пределы и обратные пределы (в категории коммутативных колец с единицей) вещественных замкнутых колец снова являются вещественно замкнутыми. В сумма клетчатки двух настоящих замкнутых колец B,C над каким-то настоящим замкнутым кольцом А существует в RCR и это настоящее закрытие тензорное произведение из B и C над А.
RCR произвольно пределы и копределы.
RCR это разнообразие в смысле универсальная алгебра (но не подмногообразие коммутативных колец).

Для настоящего замкнутого кольца А, естественный гомоморфизм А к продукту всех его поля остатков является изоморфизм на подкольцо этого продукта, замкнутое при непрерывном полуалгебраический функции, определенные над целыми числами. И наоборот, каждое подкольцо продукта реальных замкнутых полей с этим свойством действительно замкнуто.
Если я это радикальный идеал настоящего замкнутого кольца А, то и кольцо класса остатка А/я реально закрыто. Если я и J радикальные идеалы замкнутого вещественного кольца, то сумма я + J снова радикальный идеал.
Все классические локализации S⁻¹А настоящего замкнутого кольца А действительно закрыты. Эпиморфная оболочка и полное кольцо частных вещественного замкнутого кольца снова являются вещественно замкнутыми.
(Настоящее) кольцо голоморфности ЧАС(А) реального замкнутого кольца А снова действительно закрыто. По определению, ЧАС(А) состоит из всех элементов ж в А с собственностью −N ≤ ж ≤ N для некоторых натуральное число N. Применительно к приведенным выше примерам это означает, что все кольца ограниченных (полуалгебраических / определимых) непрерывных функций являются вещественно замкнутыми.
Карта поддержки от реальный спектр настоящего замкнутого кольца к его Спектр Зарисского, который отправляет заказ п к его поддержке ${ Displaystyle P cap -P}$ это гомеоморфизм. В частности, спектр Зарисского каждого вещественного замкнутого кольца А корневая система (в смысле теория графов ) и поэтому А также является кольцом Гельфанда (т. е. каждое главный идеал из А содержится в уникальном максимальный идеал из А). Сравнение спектра Зарисского А со спектром Зарисского ЧАС(А) приводит к гомеоморфизму между максимальными спектрами этих колец, обобщая теорему Гельфанда-Колмогорова для колец вещественнозначных непрерывных функций.
Естественная карта р из произвольного кольца р к его действительному закрытию rcl (р), как объяснено выше, индуцирует гомеоморфизм из вещественного спектра rcl (р) к реальному спектру р.
Обобщая и значительно усиливая два предыдущих свойства, верно следующее: естественная карта р из произвольного кольца р к его действительному закрытию rcl (р) индуцирует отождествление аффинная схема из rcl (р) с аффинным вещественным замкнутым пространством р.
Каждое локальное действительное замкнутое кольцо является Гензельское кольцо (но в общем случае локальные действительные замкнутые области не являются оценочными кольцами).

Теоретические свойства модели

Класс действительных замкнутых колец есть первый заказ аксиоматизируемый и неразрешимый. Класс всех реальных замкнутых колец оценки равен разрешимый (по Черлину-Дикманну) и класс всех вещественных замкнутых полей разрешим (по Тарскому). После обозначения определимого радикального отношения вещественные замкнутые кольца имеют модель компаньона, а именно фон Нейман регулярный настоящие замкнутые кольца.

Сравнение с характеристиками реальных замкнутых полей

Есть много разных характеристик действительно закрыто поля. Например, с точки зрения максимальности (по отношению к алгебраическим расширениям): вещественное замкнутое поле является максимально упорядочиваемым полем; или действительное замкнутое поле (вместе с его уникальным порядком) является максимально упорядоченным полем. Другая характеристика говорит, что теорема о промежуточном значении выполняется для всех многочленов от одной переменной над (упорядоченным) полем. В случае коммутативных колец все эти свойства могут быть (и анализируются) в литературе. Все они приводят к разным классам колец, которые, к сожалению, также называют «реально замкнутыми» (поскольку определенная характеристика реальных замкнутых полей была распространена на кольца). Никто из них ведут к классу вещественных замкнутых колец, и ни одно из них не позволяет дать удовлетворительное представление об операции замыкания. Центральным моментом в определении вещественных замкнутых колец является глобализация понятия вещественного замкнутого поля на кольца, когда эти кольца представлены как кольца функций на некотором пространстве (обычно, реальный спектр кольца).