Архимедово упорядоченное векторное пространство - Archimedean ordered vector space

В математике, особенно в теория порядка, а бинарное отношение ≤ на векторное пространство Икс над действительными или комплексными числами называется Архимедов если для всех Икс в Икс, когда есть некоторые y в Икс такой, что nx ≤ y для всех положительных целых чисел п, то обязательно Икс ≤ 0. An Архимедово (пред) упорядоченное векторное пространство это (до)упорядоченное векторное пространство чей орден Архимедов.[1] Предварительноупорядоченное векторное пространство Икс называется почти архимедов если для всех Икс в Икс, когда существует y в Икс такой, что -п−1у ≤ Икс ≤ п−1y для всех положительных целых чисел п, тогда Икс = 0.[2]

Характеристики

Предварительноупорядоченное векторное пространство (Икс, ≤) с единица заказа ты является архимедовым предзаказом тогда и только тогда, когда п х ≤ ты для всех неотрицательных целых чисел п подразумевает Икс ≤ 0.[3]

Характеристики

Позволять Икс быть упорядоченное векторное пространство над вещественными числами, что конечномерно. Тогда порядок Икс архимедово тогда и только тогда, когда положительный конус Икс замкнута для уникальной топологии, при которой Икс является ТВС Хаусдорфа.[4]

Норма единицы заказа

Предполагать (Икс, ≤) - упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единица заказа ты чей порядок архимедов и пусть U = [-ты, ты]. Тогда Функционал Минковского пU из U (определяется ) - норма, называемая норма единицы заказа. Это удовлетворяет пU(ты) = 1 и замкнутый единичный шар, определяемый пU равно [-ты, ты] (т.е. [-ты, ты] = \{ Икс в Икс : пU(Икс) ≤ 1 \}.[3]

Примеры

Пространство пространство l∞(S, ℝ) ограниченных вещественнозначных отображений на множестве S с точечным порядком упорядочен по Архимеду с порядковой единицей ты : = 1 (т.е. функция, которая тождественно 1 на S). Порядковая единица нормы на l∞(S, ℝ) идентична обычной sup norm: .[3]

Примеры

Каждый заказ завершен векторная решетка - это приказ Архимеда.[5] Конечномерная векторная решетка размерности п упорядочен по архимеду тогда и только тогда, когда он изоморфен с его каноническим порядком.[5] Однако полностью упорядоченный векторный порядок размерности> 1 не может быть упорядочен по Архимеду.[5] Существуют упорядоченные векторные пространства, которые почти архимедовы, но не архимедовы.

В Евклидово пространство над реалами с лексикографический порядок является нет Архимед приказал с р(0, 1) ≤ (1, 1) для каждого р > 0, но (0, 1) ≠ (0, 0).[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Шефер и Вольф, 1999 г. С. 204–214.
  2. ^ Шефер и Вольф, 1999 г., п. 254.
  3. ^ а б c d Наричи 2011, стр. 139-153.
  4. ^ Шефер и Вольф, 1999 г. С. 222–225.
  5. ^ а б c Шефер и Вольф, 1999 г. С. 250–257.

Источники

  • Наричи, Лоуренс (2011). Топологические векторные пространства. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  1-58488-866-0. OCLC  144216834.
  • Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.CS1 maint: ref = harv (связь)