Уравнение Больцмана - Boltzmann equation

Место кинетического уравнения Больцмана на ступенях модельной редукции от микроскопической динамики к макроскопической континуальной динамике (иллюстрация к содержанию книги^[1])

В Уравнение Больцмана или Уравнение переноса Больцмана (BTE) описывает статистическое поведение термодинамическая система не в состоянии равновесие, разработанный Людвиг Больцманн в 1872 г.^[2]Классическим примером такой системы является жидкость с участием градиенты температуры в космосе, вызывая перетекание тепла из более горячих регионов в более холодные за счет случайного, но смещенного переноса частицы составляя эту жидкость. В современной литературе термин уравнение Больцмана часто используется в более общем смысле, имея в виду любое кинетическое уравнение, которое описывает изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.

Уравнение возникает не из анализа индивидуального позиции и импульсы каждой частицы в жидкости, а рассматривая распределение вероятностей для положения и импульса типичной частицы, то есть вероятность что частица занимает данную очень маленький область пространства (математически элемент объема ${ displaystyle mathrm {d} ^ {3} { bf {r}}}$) с центром в позиции ${ displaystyle { bf {r}}}$, и имеет импульс, почти равный заданному вектору импульса ${ displaystyle { bf {p}}}$ (таким образом занимая очень небольшую область импульсное пространство ${ displaystyle mathrm {d} ^ {3} { bf {p}}}$), в момент времени.

Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, например высокая температура энергия и импульс, когда жидкость находится в транспорте. Можно также получить другие свойства, характерные для жидкостей, такие как вязкость, теплопроводность, и электрическая проводимость (рассматривая носители заряда в материале как газ).^[2] Смотрите также уравнение конвекции – диффузии.

Уравнение представляет собой нелинейный интегро-дифференциальное уравнение, а неизвестная функция в уравнении представляет собой функцию плотности вероятности в шестимерном пространстве положения и импульса частицы. Проблема существования и уникальности решений до сих пор полностью не решена, но некоторые недавние результаты весьма многообещающие.^[3][4]

Обзор

Фазовое пространство и функция плотности

Набор всех возможных позиций р и импульсы п называется фазовое пространство системы; другими словами набор из трех координаты для каждой координаты позиции х, у, г, и еще по три для каждой компоненты импульса п_Икс, п_у, п_z. Всего 6-размерный: точка в этом пространстве (р, п) = (х, у, г, р_Икс, п_у, п_z), и каждая координата равна параметризованный по времени т. Небольшой объем («дифференциал элемент объема ") написано

${ displaystyle { text {d}} ^ {3} mathbf {r} , { text {d}} ^ {3} mathbf {p} = { text {d}} x , { текст {d}} y , { text {d}} z , { text {d}} p_ {x} , { text {d}} p_ {y} , { text {d} } p_ {z}.}$

Поскольку вероятность N молекулы, которые все имеют р и п в пределах ${ displaystyle mathrm {d} ^ {3} { bf {r}}}$ ${ displaystyle mathrm {d} ^ {3} { bf {p}}}$ под вопросом, в основе уравнения лежит величина ж который дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства, или вероятность на единицу длины в кубе на единицу количества движения в кубе, в момент времени т. Это функция плотности вероятности: ж(р, п, т), определенная так, что,

${ Displaystyle { текст {d}} N = е ( mathbf {r}, mathbf {p}, t) , { text {d}} ^ {3} mathbf {r} , { текст {d}} ^ {3} mathbf {p}}$

количество молекул, которые все иметь позиции, лежащие внутри элемента объема ${ displaystyle d ^ {3} { bf {r}}}$ около р и импульсы, лежащие в импульсное пространство элемент ${ displaystyle mathrm {d} ^ {3} { bf {p}}}$ около п, вовремя т.^[5] Интеграция по области позиционного пространства и импульсного пространства дает общее количество частиц, которые имеют позиции и импульсы в этой области:

${ displaystyle { begin {align} N & = int limits _ { mathrm {импульсы}} { text {d}} ^ {3} mathbf {p} int limits _ { mathrm {позиции} } { text {d}} ^ {3} mathbf {r} , f ( mathbf {r}, mathbf {p}, t) [5pt] & = iiint limits _ { mathrm {импульсы}} quad iiint limits _ { mathrm {position}} f (x, y, z, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}, t) , { text {d }} x , { text {d}} y , { text {d}} z , { text {d}} p_ {x} , { text {d}} p_ {y} , { text {d}} p_ {z} end {align}}}$

который является 6-кратный интеграл. В то время как ж связано с рядом частиц, фазовое пространство для одной частицы (не для всех из них, что обычно имеет место с детерминированный многотельный систем), поскольку только одна р и п под вопросом. Это не часть анализа для использования р₁, п₁ для частицы 1, р₂, п₂ для частицы 2 и т. д. до р_N, п_N для частицы N.

Предполагается, что частицы в системе идентичны (таким образом, каждая имеет идентичный масса м). Для смеси более чем одного химические вещества, для каждого требуется одно распределение, см. ниже.

Основное заявление

Тогда общее уравнение можно записать как^[6]

${ displaystyle { frac {df} {dt}} = left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { text {force}} + left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { text {diff}} + left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { text {coll}} ,}$

где термин "сила" соответствует силам, действующим на частицы внешним воздействием (а не самими частицами), термин "diff" представляет собой распространение частиц, а "coll" - столкновение термин - учет сил, действующих между частицами при столкновении. Выражения для каждого члена с правой стороны приведены ниже.^[6]

Обратите внимание, что некоторые авторы используют скорость частицы v вместо импульса п; они связаны в определении импульса соотношением п = мv.

Условия силы и диффузии

Рассмотрим частицы, описываемые ж, каждый испытывает внешний сила F не из-за других частиц (см. термин столкновения для последней трактовки).

Предположим во время т некоторое количество частиц все имеют положение р внутри элемента ${ displaystyle d ^ {3} { bf {r}}}$ и импульс п в пределах ${ displaystyle d ^ {3} { bf {p}}}$. Если сила F мгновенно действует на каждую частицу, а затем на время т + Δт их позиция будет р + Δр = р + пΔт/м и импульс п + Δп = п + FΔт. Тогда при отсутствии коллизий ж должен удовлетворить

${ displaystyle f left ( mathbf {r} + { frac { mathbf {p}} {m}} , Delta t, mathbf {p} + mathbf {F} , Delta t, t + Delta t right) , d ^ {3} mathbf {r} , d ^ {3} mathbf {p} = f ( mathbf {r}, mathbf {p}, t) , д ^ {3} mathbf {r} , d ^ {3} mathbf {p}}$

Отметим, что мы использовали тот факт, что элемент объема фазового пространства ${ displaystyle d ^ {3} { bf {r}}}$ ${ displaystyle d ^ {3} { bf {p}}}$ является константой, которую можно показать с помощью Уравнения Гамильтона (см. обсуждение под Теорема Лиувилля ). Однако, поскольку столкновения действительно происходят, плотность частиц в объеме фазового пространства ${ displaystyle d ^ {3} { bf {r}}}$ '${ displaystyle d ^ {3} { bf {p}}}$ изменения, поэтому

${ displaystyle { begin {align} dN _ { mathrm {coll}} & = left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { mathrm {coll}} Delta td ^ {3} mathbf {r} d ^ {3} mathbf {p} [5pt] & = f left ( mathbf {r} + { frac { mathbf {p}} {m}} Delta t, mathbf {p} + mathbf {F} Delta t, t + Delta t right) d ^ {3} mathbf {r} d ^ {3} mathbf {p} -f ( mathbf {r}, mathbf {p}, t) , d ^ {3} mathbf {r} , d ^ {3} mathbf {p} [5pt] & = Delta f , d ^ {3} mathbf {r} , d ^ {3} mathbf {p} end {align}}}$

(1)

где Δж это Всего изменение в ж. Разделение (1) от ${ displaystyle d ^ {3} { bf {r}}}$ ${ displaystyle d ^ {3} { bf {p}}}$ Δт и переходя в пределы Δт → 0 и Δж → 0 имеем

${ displaystyle { frac {df} {dt}} = left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { mathrm {coll}}}$

(2)

Общая дифференциал из ж является:

${ displaystyle { begin {align} df & = { frac { partial f} { partial t}} , dt + left ({ frac { partial f} { partial x}} , dx + { frac { partial f} { partial y}} , dy + { frac { partial f} { partial z}} , dz right) + left ({ frac { partial f} { partial p_ {x}}} , dp_ {x} + { frac { partial f} { partial p_ {y}}} , dp_ {y} + { frac { partial f} { partial p_ { z}}} , dp_ {z} right) [5pt] & = { frac { partial f} { partial t}} dt + nabla f cdot d mathbf {r} + { frac { partial f} { partial mathbf {p}}} cdot d mathbf {p} [5pt] & = { frac { partial f} { partial t}} dt + nabla f cdot { frac { mathbf {p}} {m}} dt + { frac { partial f} { partial mathbf {p}}} cdot mathbf {F} , dt end {align}}}$

(3)

где ∇ - градиент оператор · это скалярное произведение,

${ displaystyle { frac { partial f} { partial mathbf {p}}} = mathbf { hat {e}} _ {x} { frac { partial f} { partial p_ {x} }} + mathbf { hat {e}} _ {y} { frac { partial f} { partial p_ {y}}} + mathbf { hat {e}} _ {z} { frac { partial f} { partial p_ {z}}} = nabla _ { mathbf {p}} f}$

является сокращением для импульсного аналога ∇, и ê_Икс, ê_у, ê_z находятся Декартово единичные векторы.

Заключительное заявление

Разделение (3) от dt и подставив в (2) дает:

${ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} + { frac { mathbf {p}} {m}} cdot nabla f + mathbf {F} cdot { frac { partial f} { partial mathbf {p}}} = left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { mathrm {coll}}}$

В контексте, F(р, т) это силовое поле действуя на частицы в жидкости, и м это масса частиц. Термин справа добавлен для описания эффекта столкновения между частицами; если он равен нулю, то частицы не сталкиваются. Бесстолкновительное уравнение Больцмана, в котором отдельные столкновения заменяются агрегированными взаимодействиями на большие расстояния, например Кулоновские взаимодействия, часто называют Уравнение Власова.

Это уравнение более полезно, чем основное, приведенное выше, но все же неполное, поскольку ж не может быть решен, если член коллизии в ж известен. Этот термин не может быть найден так же легко и обобщенно, как другие - это статистический термин, представляющий столкновения частиц, и требует знания статистики, которой подчиняются частицы, например Максвелл – Больцманн, Ферми – Дирак или Бозе-Эйнштейн раздачи.

Термин столкновения (Stosszahlansatz) и молекулярный хаос

Термин столкновения двух тел

Ключевой вывод, сделанный Больцман должен был определить член столкновения, возникающий исключительно из-за столкновений двух тел между частицами, которые, как предполагается, не коррелировали до столкновения. Это предположение Больцман назвал "Stosszahlansatz"и также известен как"молекулярный хаос предположение ". В этом предположении член столкновения может быть записан как интеграл импульсного пространства по произведению одночастичных функций распределения:^[2]

${ displaystyle left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { text {coll}} = iint gI (g, Omega) [f ( mathbf {r}, mathbf {p '} _ {A}, t) f ( mathbf {r}, mathbf {p'} _ {B}, t) -f ( mathbf {r}, mathbf {p} _ { A}, t) f ( mathbf {r}, mathbf {p} _ {B}, t)] , d Omega , d ^ {3} mathbf {p} _ {A} , d ^ {3} mathbf {p} _ {B},}$

где п_А и п_B - импульсы любых двух частиц (обозначенных как А и B для удобства) перед столкновением, п'_А и п'_B импульсы после столкновения,

${ displaystyle g = | mathbf {p} _ {B} - mathbf {p} _ {A} | = | mathbf {p '} _ {B} - mathbf {p'} _ {A} | }$

- величина относительных импульсов (см. относительная скорость подробнее об этой концепции), и я(г, Ω) - это дифференциальное сечение столкновения, при котором относительные импульсы сталкивающихся частиц превращаются на угол θ в элемент телесный угол dΩ из-за столкновения.

Упрощения термина столкновения

Поскольку большая часть проблемы при решении уравнения Больцмана возникает из-за сложного члена столкновения, были предприняты попытки «смоделировать» и упростить член столкновения. Наиболее известное модельное уравнение принадлежит Бхатнагару, Гроссу и Круку.^[7] В приближении BGK предполагается, что эффект молекулярных столкновений должен заставить неравновесную функцию распределения в точке физического пространства вернуться к максвелловской равновесной функции распределения и что скорость, с которой это происходит, пропорциональна частоте столкновений молекул. . Таким образом, уравнение Больцмана модифицируется к форме BGK:

${ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} + { frac { mathbf {p}} {m}} cdot nabla f + mathbf {F} cdot { frac { partial f} { partial mathbf {p}}} = nu (f_ {0} -f),}$

где ${ displaystyle nu}$ - частота столкновений молекул, а ${ displaystyle f_ {0}}$ - локальная максвелловская функция распределения при заданной температуре газа в этой точке пространства.

Общее уравнение (для смеси)

Для смеси химических веществ, помеченных индексами я = 1, 2, 3, ..., п уравнение для видов я является^[2]

${ displaystyle { frac { partial f_ {i}} { partial t}} + { frac { mathbf {p} _ {i}} {m_ {i}}} cdot nabla f_ {i} + mathbf {F} cdot { frac { partial f_ {i}} { partial mathbf {p} _ {i}}} = left ({ frac { partial f_ {i}} { частичный t}} right) _ { text {coll}},}$

где ж_я = ж_я(р, п_я, т), а член коллизии

${ displaystyle left ({ frac { partial f_ {i}} { partial t}} right) _ { mathrm {coll}} = sum _ {j = 1} ^ {n} iint g_ {ij} I_ {ij} (g_ {ij}, Omega) [f '_ {i} f' _ {j} -f_ {i} f_ {j}] , d Omega , d ^ {3 } mathbf {p '},}$

где f ′ = f ′(п'_я, т) величина относительных импульсов равна

${ displaystyle g_ {ij} = | mathbf {p} _ {i} - mathbf {p} _ {j} | = | mathbf {p '} _ {i} - mathbf {p'} _ { j} |,}$

и я_ij - дифференциальное сечение, как и прежде, между частицами я и j. Интегрирование ведется по компонентам импульса в подынтегральном выражении (помечены как я и j). Сумма интегралов описывает вход и выход частиц вида я в элементе фазового пространства или вне его.

Приложения и расширения

Уравнения сохранения

Уравнение Больцмана может использоваться для вывода законов сохранения гидродинамики для массы, заряда, импульса и энергии.^{[8]:стр.163} Для жидкости, состоящей только из частиц одного вида, плотность числа п дан кем-то

${ displaystyle n = int f , d ^ {3} p.}$

Среднее значение любой функции А является

${ displaystyle langle A rangle = { frac {1} {n}} int Af , d ^ {3} p.}$

Поскольку уравнения сохранения включают тензоры, будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании, когда повторяющиеся индексы в произведении указывают на суммирование по этим индексам. Таким образом ${ Displaystyle mathbf {x} mapsto x_ {i}}$ и ${ displaystyle mathbf {p} mapsto p_ {i} = mw_ {i}}$, где ${ displaystyle w_ {i}}$ - вектор скорости частицы. Определить ${ Displaystyle А (п_ {я})}$ как некоторая функция импульса ${ displaystyle p_ {i}}$ только, который сохраняется при столкновении. Предположим также, что сила ${ displaystyle F_ {i}}$ является функцией только позиции, и что ж равен нулю для ${ displaystyle p_ {i} to pm infty}$. Умножая уравнение Больцмана на А и интегрирование по импульсу дает четыре члена, которые, используя интегрирование по частям, можно выразить как

${ displaystyle int A { frac { partial f} { partial t}} , d ^ {3} p = { frac { partial} { partial t}} (п langle A rangle) ,}$

${ displaystyle int { frac {p_ {j} A} {m}} { frac { partial f} { partial x_ {j}}} , d ^ {3} p = { frac {1 } {m}} { frac { partial} { partial x_ {j}}} (n langle Ap_ {j} rangle),}$

${ displaystyle int AF_ {j} { frac { partial f} { partial p_ {j}}} , d ^ {3} p = -nF_ {j} left langle { frac { partial A} { partial p_ {j}}} right rangle,}$

${ displaystyle int A left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ { text {coll}} , d ^ {3} p = 0,}$

где последний член равен нулю, поскольку А сохраняется при столкновении. Сдача ${ displaystyle A = m}$, масса частицы, интегральное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения массы:^{[8]:12 168 стр.}

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} rho + { frac { partial} { partial x_ {j}}} ( rho V_ {j}) = 0,}$

где ${ displaystyle rho = mn}$ - массовая плотность, а ${ displaystyle V_ {i} = langle w_ {i} rangle}$ - средняя скорость жидкости.

Сдача ${ displaystyle A = p_ {i}}$, импульса частицы, интегральное уравнение Больцмана превращается в уравнение сохранения импульса:^{[8]:15 169 стр.}

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} ( rho V_ {i}) + { frac { partial} { partial x_ {j}}} ( rho V_ {i} V_ { j} + P_ {ij}) - nF_ {i} = 0,}$

где ${ Displaystyle P_ {ij} = rho langle (w_ {i} -V_ {i}) (w_ {j} -V_ {j}) rangle}$ - тензор давления ( тензор вязких напряжений плюс гидростатический давление ).

Сдача ${ displaystyle A = { frac {p_ {i} p_ {i}} {2m}}}$, кинетической энергии частицы, интегральное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения энергии:^{[8]:19 169 стр.}

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} (u + { tfrac {1} {2}} rho V_ {i} V_ {i}) + { frac { partial} { partial x_ {j}}} (uV_ {j} + { tfrac {1} {2}} rho V_ {i} V_ {i} V_ {j} + J_ {qj} + P_ {ij} V_ {i} ) -nF_ {i} V_ {i} = 0,}$

где ${ displaystyle u = { tfrac {1} {2}} rho langle (w_ {i} -V_ {i}) (w_ {i} -V_ {i}) rangle}$ - плотность кинетической тепловой энергии, а ${ displaystyle J_ {qi} = { tfrac {1} {2}} rho langle (w_ {i} -V_ {i}) (w_ {k} -V_ {k}) (w_ {k} - V_ {k}) rangle}$ - вектор теплового потока.

Гамильтонова механика

В Гамильтонова механика, уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде как

${ Displaystyle { шляпа { mathbf {L}}} [е] = mathbf {C} [f], ,}$

где L это Оператор Лиувилля (существует несовместимое определение между оператором Лиувилля, как определено здесь, и оператором в статье, ссылка на который есть), описывающим эволюцию объема фазового пространства и C - оператор столкновения. Нерелятивистская форма L является

${ displaystyle { hat { mathbf {L}}} _ { mathrm {NR}} = { frac { partial} { partial t}} + { frac { mathbf {p}} {m} } cdot nabla + mathbf {F} cdot { frac { partial} { partial mathbf {p}}} ,.}$

Квантовая теория и нарушение сохранения числа частиц

Можно записать релятивистские квантовые уравнения Больцмана для релятивистский квантовые системы, в которых число частиц не сохраняется при столкновениях. Это имеет несколько приложений в физическая космология,^[9] в том числе формирование легких элементов в Нуклеосинтез Большого взрыва, производство темная материя и бариогенез. Априори не ясно, может ли состояние квантовой системы характеризоваться классической фазовой пространственной плотностью ж. Однако для широкого класса приложений вполне определенное обобщение ж существует решение эффективного уравнения Больцмана, которое может быть получено из первых принципов квантовая теория поля.^[10]

Общая теория относительности и астрономия

Уравнение Больцмана полезно в галактической динамике. Галактика при определенных предположениях может быть представлена ​​как сплошная жидкость; его массовое распределение тогда представлено ж; в галактиках физические столкновения между звездами очень редки, и эффект гравитационные столкновения можно пренебречь гораздо дольше, чем возраст вселенной.

Его обобщение в общая теория относительности.^[11] является

${ displaystyle { hat { mathbf {L}}} _ { mathrm {GR}} = p ^ { alpha} { frac { partial} { partial x ^ { alpha}}} - Gamma ^ { alpha} {} _ { beta gamma} p ^ { beta} p ^ { gamma} { frac { partial} { partial p ^ { alpha}}},}$

где Γ^α_βγ это Символ Кристоффеля второго типа (это предполагает отсутствие внешних сил, так что частицы движутся по геодезическим в отсутствие столкновений), с важной тонкостью, заключающейся в том, что плотность является функцией смешанной контравариантно-ковариантной (Икс^я, п_я) фазовое пространство в отличие от полностью контравариантного (Икс^я, п^я) фазовое пространство.^[12][13]

В физическая космология полностью ковариантный подход был использован для изучения космического микроволнового фонового излучения.^[14] В более общем плане изучение процессов в ранняя вселенная часто пытаются учесть влияние квантовая механика и общая теория относительности.^[9] В очень плотной среде, образованной первичной плазмой после Большой взрыв, частицы непрерывно рождаются и уничтожаются. В такой среде квантовая когерентность и пространственное расширение волновая функция может повлиять на динамику, что ставит под сомнение то, что классическое распределение фазового пространства ж которое появляется в уравнении Больцмана, подходит для описания системы. Однако во многих случаях можно вывести эффективное уравнение Больцмана для обобщенной функции распределения из первых принципов квантовая теория поля.^[10] Это включает формирование световых элементов в Нуклеосинтез Большого взрыва, производство темная материя и бариогенез.

Решение уравнения

Доказано, что в некоторых случаях существуют точные решения уравнений Больцмана;^[15] этот аналитический подход обеспечивает понимание, но обычно не используется в практических задачах.

Вместо, численные методы (включая конечные элементы ) обычно используются для поиска приближенных решений различных форм уравнения Больцмана. Примеры приложений варьируются от гиперзвуковая аэродинамика в потоках разреженного газа^[16][17] плазменным потокам.^[18] Применение уравнения Больцмана в электродинамике - вычисление электропроводности - результат в первом порядке совпадает с полуклассическим результатом.^[19]

Рядом с локальное равновесие, решение уравнения Больцмана можно представить в виде асимптотическое разложение в полномочиях Число Кнудсена (в Чепмен-Энског расширение^[20]). Первые два члена этого разложения дают Уравнения Эйлера и Уравнения Навье-Стокса. У высших членов есть особенности. Проблема математического развития предельных процессов, которые ведут от атомистической точки зрения (представленной уравнением Больцмана) к законам движения сплошных сред, является важной частью Шестая проблема Гильберта.^[21]

Смотрите также

Примечания

использованная литература

• Харрис, Стюарт (1971). Введение в теорию уравнения Больцмана. Dover Книги. п. 221. ISBN  978-0-486-43831-3.. Очень недорогое введение в современный каркас (начиная с формального вывода из Лиувилля и иерархии Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона (BBGKY), в которую помещено уравнение Больцмана). Большинство учебников статистической механики, таких как Хуанг, по-прежнему рассматривают эту тему, используя оригинальные аргументы Больцмана. Чтобы вывести уравнение, в этих книгах используется эвристическое объяснение, которое не раскрывает диапазон применимости и характерные допущения, которые отличают уравнения Больцмана от других уравнений переноса, таких как Фоккер – Планк или Уравнения Ландау.

• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана часть I: Существование». Arch. Rational Mech. Анальный. 45 (1): 1–16. Bibcode:1972АрРМА..45 .... 1А. Дои:10.1007 / BF00253392. S2CID  117877311.
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть II: Полная начальная задача». Arch. Rational Mech. Анальный. 45 (1): 17–34. Bibcode:1972АрРМА..45 ... 17А. Дои:10.1007 / BF00253393. S2CID  119481100.
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана часть I: Существование». Arch. Rational Mech. Анальный. 45 (1): 1–16. Bibcode:1972АрРМА..45 .... 1А. Дои:10.1007 / BF00253392. S2CID  117877311.
• DiPerna, R.J .; Львов, П.-Л. (1989). «О задаче Коши для уравнений Больцмана: глобальное существование и слабая устойчивость». Анна. математики. 2. 130 (2): 321–366. Дои:10.2307/1971423. JSTOR  1971423.

внешние ссылки

• Уравнение переноса Больцмана Франца Веселы
• Больцмановское поведение газов решено