Причинная структура - Википедия - Causal structure

В математическая физика, то причинная структура из Лоренцево многообразие описывает причинно-следственные связи между точками коллектора.

Вступление

В современная физика (особенно общая теория относительности ) пространство-время представлен Лоренцево многообразие. Причинные отношения между точками в многообразии интерпретируются как описывающие, какие события в пространстве-времени могут влиять на другие события.

Пространство-время Минковского является простым примером лоренцево многообразия. Причинно-следственные связи между точками в пространстве-времени Минковского принимают особенно простую форму, поскольку пространство плоский. Видеть Причинная структура пространства-времени Минковского для дополнительной информации.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцевого многообразия усложняется наличием кривизна. Обсуждения причинной структуры таких многообразий должны быть сформулированы в терминах гладкий кривые соединение пар точек. Условия на касательные векторы кривых затем определяют причинно-следственные связи.

Касательные векторы

Если ${ Displaystyle , (М, г)}$ это Лоренцево многообразие (за метрика ${ displaystyle g}$ на многообразие ${ displaystyle M}$), то касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три различных типа. ${ displaystyle X}$ является

• подобный времени если ${ Displaystyle , г (Х, Х) <0}$
• ноль или же легкий если ${ Displaystyle , г (Х, Х) = 0}$
• космический если ${ Displaystyle , г (Х, Х)> 0}$

(Здесь мы используем ${ Displaystyle (-, +, +, +, cdots)}$ метрическая подпись ). Касательный вектор называется «непространственноподобным», если он нулевой или времениподобный.

Эти названия происходят от более простого случая пространства-времени Минковского (см. Причинная структура пространства-времени Минковского ).

Ориентация по времени

В каждой точке ${ displaystyle M}$ времениподобные касательные векторы в точке касательное пространство можно разделить на два класса. Для этого сначала определим отношение эквивалентности на парах времениподобных касательных векторов.

Если ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ два времениподобных касательных вектора в точке, мы говорим, что ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ эквивалентны (написано ${ displaystyle X sim Y}$) если ${ Displaystyle , г (X, Y) <0}$.

Тогда есть два классы эквивалентности которые между ними содержат все времениподобные касательные векторы в точке. Мы можем (произвольно) назвать один из этих классов эквивалентности «направленным в будущее», а другой - «направленным в прошлое». Физически такое обозначение двух классов времениподобных векторов, направленных в будущее и в прошлое, соответствует выбору стрела времени в точку. Обозначения, направленные в будущее и прошлое, могут быть расширены до нулевых векторов в точке по непрерывности.

А Лоренцево многообразие является ориентированный на время^[1] если непрерывное обозначение направленных в будущее и в прошлое для непространственноподобных векторов может быть сделано по всему многообразию.

Кривые

А дорожка в ${ displaystyle M}$ это непрерывный карта ${ displaystyle mu: Sigma to M}$ куда ${ displaystyle Sigma}$ является невырожденным интервалом (т. е. связным множеством, содержащим более одной точки) в ${ Displaystyle mathbb {R}}$. А гладкий путь имеет ${ displaystyle mu}$ дифференцируемые соответствующее количество раз (обычно ${ Displaystyle C ^ { infty}}$), а обычный path имеет отличную от нуля производную.

А изгиб в ${ displaystyle M}$ является изображением пути или, точнее, классом эквивалентности изображений пути, связанных с помощью повторной параметризации, т.е. гомеоморфизмы или же диффеоморфизмы из ${ displaystyle Sigma}$. Когда ${ displaystyle M}$ ориентируется во времени, кривая ориентированный если требуется изменение параметра монотонный.

Гладкие правильные кривые (или пути) в ${ displaystyle M}$ могут быть классифицированы в зависимости от их касательных векторов. Такая кривая

• хронологический (или же подобный времени), если касательный вектор во всех точках кривой времениподобен.
• ноль если касательный вектор равен нулю во всех точках кривой.
• космический если касательный вектор пространственноподобен во всех точках кривой.
• причинный (или же не космический) если касательный вектор времениподобный или же ноль во всех точках кривой.

Требования регулярности и невырожденности ${ displaystyle Sigma}$ убедитесь, что замкнутые причинные кривые (например, состоящие из одной точки) не допускаются автоматически для всех пространств-времени.

Если многообразие ориентируется во времени, то непространственноподобные кривые можно дополнительно классифицировать в зависимости от их ориентации во времени.

Хронологическая, нулевая или причинная кривая в ${ displaystyle M}$ является

• ориентированный на будущее если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в будущее.
• направленный в прошлое если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в прошлое.

Эти определения применимы только к причинным (хронологическим или нулевым) кривым, потому что только времениподобным или нулевым касательным векторам можно присвоить ориентацию по отношению ко времени.

• А замкнутая времениподобная кривая представляет собой замкнутую кривую, которая всюду направлена ​​в будущее, подобна времени (или везде направлена ​​в прошлое).
• А замкнутая нулевая кривая - это замкнутая кривая, которая всюду направлена ​​в будущее нулевым значением (или везде направлено в прошлое).
• В голономия отношения скорости изменения аффинного параметра вокруг замкнутой нулевой геодезической есть коэффициент красного смещения.

Причинно-следственные связи

Есть два типа причинных связи между точками ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в коллекторе ${ displaystyle M}$.

• ${ displaystyle x}$ хронологически предшествует ${ displaystyle y}$ (часто обозначается ${ Displaystyle , х ll у}$), если существует направленная в будущее хронологическая (времениподобная) кривая из ${ displaystyle x}$ к ${ displaystyle y}$.
• ${ displaystyle x}$ строго причинно предшествует ${ displaystyle y}$ (часто обозначается ${ Displaystyle х <у}$), если существует направленная в будущее причинная (непространственноподобная) кривая из ${ displaystyle x}$ к ${ displaystyle y}$.
• ${ displaystyle x}$ причинно предшествует ${ displaystyle y}$ (часто обозначается ${ Displaystyle х пре у}$ или же ${ displaystyle x leq y}$) если ${ displaystyle x}$ строго причинно предшествует ${ displaystyle y}$ или же ${ displaystyle x = y}$.
• ${ displaystyle x}$ Horismos (световой конус) ${ displaystyle y}$^[2] (часто обозначается ${ Displaystyle от х до у}$ или же ${ displaystyle x nearrow y}$) если ${ Displaystyle х пре у}$ и ${ displaystyle x not ll y}$, ${ displaystyle y ll z}$ подразумевает ${ displaystyle x ll z}$
• ${ Displaystyle , х пре Y}$, ${ Displaystyle , у Prec Z}$ подразумевает ${ Displaystyle , х пре г}$

и удовлетворить^[3]

• ${ Displaystyle х ll у}$ подразумевает ${ Displaystyle х пре у}$ (это тривиально следует из определения)
• ${ Displaystyle х ll у}$, ${ Displaystyle у пре г}$ подразумевает ${ displaystyle x ll z}$
• ${ Displaystyle х пре у}$, ${ displaystyle y ll z}$ подразумевает ${ displaystyle x ll z}$

Для точки ${ displaystyle x}$ в коллекторе ${ displaystyle M}$ мы определяем^[3]

• В хронологическое будущее из ${ displaystyle x}$, обозначенный ${ Displaystyle , я ^ {+} (х)}$, как множество всех точек ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle M}$ такой, что ${ displaystyle x}$ хронологически предшествует ${ displaystyle y}$:

${ Displaystyle , я ^ {+} (х) = {у в М | х ll у }}$

• В хронологическое прошлое из ${ displaystyle x}$, обозначенный ${ Displaystyle , я ^ {-} (х)}$, как множество всех точек ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle M}$ такой, что ${ displaystyle y}$ хронологически предшествует ${ displaystyle x}$:

${ displaystyle , I ^ {-} (x) = {y in M ​​| y ll x }}$

Аналогично определяем

• В причинное будущее (также называемый абсолютное будущее) из ${ displaystyle x}$, обозначенный ${ Displaystyle , J ^ {+} (х)}$, как множество всех точек ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle M}$ такой, что ${ displaystyle x}$ причинно предшествует ${ displaystyle y}$:

${ Displaystyle , J ^ {+} (х) = {у в М | х пре у }}$

• В причинное прошлое (также называемый абсолютное прошлое) из ${ displaystyle x}$, обозначенный ${ Displaystyle , J ^ {-} (х)}$, как множество всех точек ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle M}$ такой, что ${ displaystyle y}$ причинно предшествует ${ displaystyle x}$:

${ Displaystyle , J ^ {-} (х) = {у в М | у пре х }}$

Пункты, содержащиеся в ${ Displaystyle , я ^ {+} (х)}$, например, можно добраться из ${ displaystyle x}$ направленной в будущее времяподобной кривой. ${ displaystyle x}$ можно добраться, например, из точек, содержащихся в ${ Displaystyle , J ^ {-} (х)}$ направленной в будущее непространственной кривой.

В качестве простого примера в Пространство-время Минковского набор ${ Displaystyle , я ^ {+} (х)}$ это интерьер о будущем световой конус в ${ displaystyle x}$. Набор ${ Displaystyle , J ^ {+} (х)}$ это полный световой конус будущего на ${ displaystyle x}$, включая сам конус.

Эти наборы ${ displaystyle , I ^ {+} (x), I ^ {-} (x), J ^ {+} (x), J ^ {-} (x)}$определены для всех ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle M}$, вместе называются причинная структура из ${ displaystyle M}$.

За ${ displaystyle S}$ а подмножество из ${ displaystyle M}$ мы определяем^[3]

${ Displaystyle I ^ { pm} (S) = bigcup _ {x in S} I ^ { pm} (x)}$

${ Displaystyle J ^ { pm} (S) = bigcup _ {x in S} J ^ { pm} (x)}$

За ${ displaystyle S, T}$ два подмножества из ${ displaystyle M}$ мы определяем

• В хронологическое будущее ${ displaystyle S}$ относительно ${ displaystyle T}$, ${ Displaystyle I ^ {+} (S; T)}$, это хронологическое будущее ${ displaystyle S}$ рассматривается как подмногообразие ${ displaystyle T}$. Обратите внимание, что это совершенно другая концепция, чем ${ displaystyle I ^ {+} (S) cap T}$ что дает набор точек в ${ displaystyle T}$ которого можно достичь с помощью ориентированных в будущее времениподобных кривых, начиная с ${ displaystyle S}$. В первом случае кривые должны лежать в ${ displaystyle T}$ во втором случае их нет. См. Хокинга и Эллиса.
• В причинное будущее ${ displaystyle S}$ относительно ${ displaystyle T}$, ${ Displaystyle J ^ {+} (S; T)}$, это причинное будущее ${ displaystyle S}$ рассматривается как подмногообразие ${ displaystyle T}$. Обратите внимание, что это совсем другая концепция, чем ${ Displaystyle J ^ {+} (S) cap T}$ что дает набор точек в ${ displaystyle T}$ что может быть достигнуто с помощью ориентированных на будущее причинных кривых, начиная с ${ displaystyle S}$. В первом случае кривые должны лежать в ${ displaystyle T}$ во втором случае их нет. См. Хокинга и Эллиса.
• А будущий набор это набор, закрытый хронологическим будущим.
• А прошлый набор это набор, закрытый хронологическим прошлым.
• An неразложимое прошлое (IP) - это прошлый набор, который не является объединением двух различных открытых прошлых подмножеств.
• ${ Displaystyle I ^ {-} (х)}$ это правильный неразложимый прошлый набор (PIP).
• А конечный неразложимый набор прошедшего времени (TIP) - это IP-адрес, который не является PIP.
• Будущее Развитие Коши из ${ displaystyle S}$, ${ Displaystyle D ^ {+} (S)}$ это множество всех точек ${ displaystyle x}$ для которого каждое прошлое направляло непродолжительную причинную кривую через ${ displaystyle x}$ пересекает ${ displaystyle S}$ Хотя бы один раз. То же самое и с прошлой разработкой Коши. Разработка Коши - это объединение будущих и прошлых разработок Коши. Разработки Коши важны для изучения детерминизм.
• Подмножество ${ displaystyle S subset M}$ является ахрональный если не существует ${ displaystyle q, r in S}$ такой, что ${ Displaystyle г в I ^ {+} (д)}$, или, что то же самое, если ${ displaystyle S}$ не пересекается с ${ Displaystyle I ^ {+} (S)}$.
• А Поверхность Коши замкнутое ахрональное множество, развитие Коши которого ${ displaystyle M}$.
• Метрика глобально гиперболический если его можно расслоить на поверхности Коши.
• В набор нарушений хронологии - множество точек, через которые проходят замкнутые времениподобные кривые.
• В набор, нарушающий причинно-следственную связь - это множество точек, через которые проходят замкнутые причинные кривые.
• Для причинной кривой ${ displaystyle gamma}$, то причинный алмаз является ${ Displaystyle J ^ {+} ( gamma) cap J ^ {-} ( gamma)}$ (здесь мы используем более широкое определение «кривой», где это просто набор точек). На словах: причинный алмаз мировой линии частицы ${ displaystyle gamma}$ это набор всех событий, которые лежат как в прошлом некоторой точки в ${ displaystyle gamma}$ и будущее какой-то точки в ${ displaystyle gamma}$.

Характеристики

См. Penrose (1972), стр. 13.

• Точка ${ displaystyle x}$ в ${ Displaystyle , я ^ {-} (у)}$ если и только если ${ displaystyle y}$ в ${ Displaystyle , я ^ {+} (х)}$.
• ${ displaystyle x prec y подразумевает I ^ {-} (x) subset I ^ {-} (y)}$
• ${ displaystyle x prec y подразумевает I ^ {+} (y) subset I ^ {+} (x)}$
• ${ displaystyle I ^ {+} [S] = I ^ {+} [I ^ {+} [S]] subset J ^ {+} [S] = J ^ {+} [J ^ {+} [ S]]}$
• ${ displaystyle I ^ {-} [S] = I ^ {-} [I ^ {-} [S]] subset J ^ {-} [S] = J ^ {-} [J ^ {-} [ S]]}$
• Horismos генерируется нулевыми геодезическими конгруэнциями.

Топологический характеристики:

• ${ Displaystyle I ^ { pm} (х)}$ открыт для всех точек ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle M}$.
• ${ displaystyle I ^ { pm} [S]}$ открыто для всех подмножеств ${ displaystyle S subset M}$.
• ${ displaystyle I ^ { pm} [S] = I ^ { pm} [{ overline {S}}]}$ для всех подмножеств ${ displaystyle S subset M}$. Здесь ${ displaystyle { overline {S}}}$ это закрытие подмножества ${ displaystyle S}$.
• ${ Displaystyle I ^ { pm} [S] subset { overline {J ^ { pm} [S]}}}$

Конформная геометрия

Две метрики ${ displaystyle , g}$ и ${ displaystyle { hat {g}}}$ находятся конформно связанный^[4] если ${ displaystyle { hat {g}} = Omega ^ {2} g}$ для некоторой реальной функции ${ displaystyle Omega}$ называется конформный фактор. (Видеть конформная карта ).

Глядя на определения того, какие касательные векторы являются временноподобными, нулевыми и пространственноподобными, мы видим, что они остаются неизменными, если мы используем ${ displaystyle , g}$ или же ${ displaystyle { hat {g}}.}$ В качестве примера предположим ${ displaystyle X}$ является времениподобным касательным вектором относительно ${ displaystyle , g}$ метрика. Это означает, что ${ Displaystyle , г (Х, Х) <0}$. Тогда у нас есть это ${ displaystyle { hat {g}} (X, X) = Omega ^ {2} g (X, X) <0}$ так ${ displaystyle X}$ является времениподобным касательным вектором относительно ${ displaystyle { hat {g}}}$ тоже.

Из этого следует, что на причинную структуру лоренцевого многообразия не влияет конформное преобразование.

Смотрите также

• Причинно-динамическая триангуляция (CDT)
• Условия причинности
• Причинные множества
• Поверхность Коши
• Замкнутая времениподобная кривая
• Глобально гиперболическое многообразие
• Диаграмма Пенроуза
• Пространство-время

Примечания

Рекомендации

• Хокинг, С.; Эллис, Г.Ф.Р. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-20016-4
• Хокинг, С.; Израиль, W. (1979), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-22285-0
• Пенроуз, Р. (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности, СИАМ, ISBN  0898710057

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Причинные сети машины Тьюринга Энрике Зелени, Вольфрам Демонстрационный проект
• Вайсштейн, Эрик В. «Причинная сеть». MathWorld.