История кватернионов - History of quaternions

Кватернионная табличка на Мост Брум (Метла), Дублин, в котором говорится:

Здесь, проходя 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон во вспышке гения открыл фундаментальную формулу умножения кватернионов.

я² = j² = k² = ijk = −1

& вырезать его на камне этого моста.

В математика, кватернионы не являютсякоммутативный система счисления, расширяющая сложные числа. Кватернионы и их приложения к вращению были впервые описаны в печати Олинде Родригес во всем, кроме имени в 1840 году,^[1] но независимо открыл ирландский математик сэр Уильям Роуэн Гамильтон в 1843 г. и применительно к механике в трехмерном пространстве. Они находят применение как в теоретической, так и в прикладной математике, в частности, для расчетов с трехмерным вращением.

Открытие Гамильтона

В 1843 году Гамильтон знал, что сложные числа можно рассматривать как точки в самолет и что их можно складывать и умножать с помощью определенных геометрических операций. Гамильтон пытался найти способ сделать то же самое для очков в Космос. Точки в пространстве могут быть представлены их координатами, которые являются тройками чисел и имеют очевидное сложение, но Гамильтону было трудно определить подходящее умножение.

Согласно письму, которое позже Гамильтон написал своему сыну Арчибальду:

Каждое утро в начале октября 1843 года, когда я приходил завтракать, ваш брат Уильям Эдвин а ты сам меня спрашивал: «Ну что, папа, а можно тройки умножить?» На что я всегда был вынужден отвечать, грустно покачивая головой: «Нет, я могу только складывать и вычитать их».

16 октября 1843 года Гамильтон с женой совершили прогулку по Королевский канал в Дублин. Пока они шли по мосту Брумэн (сейчас Мост метлы ), решение внезапно пришло ему в голову. Хотя он не мог «умножить троек», он увидел способ сделать это для четверки. Используя три числа в четверке как точки координаты в пространстве, Гамильтон мог представлять точки в пространстве своей новой системой чисел. Затем он вырезал основные правила умножения на мостике:

я² = j² = k² = ijk = −1

Гамильтон назвал четверку с этими правилами умножения кватернион, и он посвятил остаток своей жизни их изучению и обучению. С 1844 по 1850 гг. Философский журнал передал экспозицию Гамильтона кватернионов.^[2] В 1853 г. он выпустил Лекции по кватернионам, всеобъемлющий трактат, в котором также описаны бикватернионы. Легкость алгебры в выражении геометрических соотношений привела к широкому признанию этого метода, нескольким сочинениям других авторов и стимулированию прикладной алгебры в целом. Поскольку с тех пор математическая терминология расширилась, а использование некоторых терминов изменилось, традиционные выражения называются классические гамильтоновы кватернионы.

Прекурсоры

Нововведение Гамильтона состояло в том, чтобы выразить кватернионы как алгебра над р. Формулы умножения кватернионов неявно присутствуют в формула четырех квадратов разработан Леонард Эйлер в 1748 г .; Олинде Родригес применил эту формулу для представления поворотов в 1840 году.^[3]:9

Ответ

Специальные утверждения кватернионов как алгебры четырехмерное пространство были оспорены Джеймс Кокл с его экспонатами 1848 и 1849 гг. тессарины и кокватернионы в качестве альтернативы. Тем не менее, эти новые алгебры Кокла на самом деле можно было найти внутри теории Гамильтона. бикватернионы. Из Италии, 1858 г. Джусто Беллавитис ответил^[4] связать векторную теорию Гамильтона с его теорией равноправие направленных отрезков.

Жюль Хойэль привел ответ из Франции в 1874 году с учебником по элементам кватернионов. Чтобы облегчить изучение версоры, он ввел «бирадиалы» для обозначения дуг большого круга на сфере. Тогда алгебра кватернионов послужила основой для сферическая тригонометрия введено в главе 9. Хуэль заменил базисные векторы Гамильтона я, j, k с я₁, я₂, и я₃.

Разнообразие доступных шрифтов привело Hoüel к еще одному нововведению в системе обозначений: А обозначает точку, а и а - алгебраические величины, а в уравнении для кватерниона

${ Displaystyle { mathcal {A}} = соз альфа + mathbf {A} sin alpha,}$

А вектор и α это угол. Этот стиль кватернионной экспозиции был увековечен Шарль-Анж Лезан^[5] и Александр Макфарлейн.^[6]

Уильям К. Клиффорд расширил виды бикватернионов и исследовал эллиптическое пространство, геометрия, в которой точки можно рассматривать как версоры. Увлечение кватернионами началось еще до того, как язык теория множеств и математические структуры был доступен. На самом деле было мало математическая запись перед Formulario mathematico. Кватернионы стимулировали эти достижения: например, идея векторное пространство позаимствовал термин Гамильтона, но изменил его значение. В современном понимании любой кватернион - это вектор в четырехмерном пространстве. (Векторы Гамильтона лежат в подпространстве со скалярной частью нуля.)

Поскольку кватернионы требуют от своих читателей вообразить четыре измерения, в их обращении есть метафизический аспект. Кватернионы - это философский объект. Установка кватернионов перед первокурсниками - студенты инженерных специальностей слишком многого требуют. Однако полезность точечные продукты и перекрестные продукты в трехмерное пространство для иллюстрации процессов требует использования этих операций, вырезанных из кватернионного продукта. Таким образом Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд сделал это приспособление из соображений прагматизма, чтобы избежать отвлекающей надстройки.^[7]

Для математиков структура кватернионов стала привычной и потеряла статус математически интересного. Так в Англии, когда Артур Буххайм подготовил статью о бикватернионах, она была опубликована в Американский журнал математики так как какая-то новизна в теме задержалась там. Исследования обратились к гиперкомплексные числа в более общем смысле. Например, Томас Киркман и Артур Кэли считалось, что количество уравнений между базисными векторами необходимо для определения уникальной системы. Широкий интерес, вызванный кватернионами во всем мире, привел к тому, что Общество Кватерниона. В современной математике делительное кольцо кватернионов является примером алгебра над полем.

Основные публикации

• 1853 Лекции по кватернионам^[8]
• 1866 Элементы кватернионов^[9]
• 1873 Элементарный трактат к Питер Гатри Тейт^[10]
• 1874 Жюль Хойэль: Éléments de la Théorie des Quaternions^[11]
• 1878 Эбботт Лоуренс Лоуэлл: Квадрики: Гарвардская диссертация:^[12]
• 1882 г. Тейт и Филип Келланд: Введение с примерами^[13]
• 1885 Артур Буххайм: Бикватернионы^[14]
• 1887 Валентин Бальбин: (испанский) Elementos de Calculo de los Cuaterniones, Буэнос айрес^[15]
• 1899 Чарльз Джаспер Джоли: Элементы Том 1, Том 2 1901^[16]
• 1901 Векторный анализ к Уиллард Гиббс и Эдвин Бидвелл Уилсон (идеи кватернионов без кватернионов)
• 1904 Каргилл Гилстон Нотт: третье издание учебника Келланда и Тэйта^[17]
• 1904 Библиография подготовлен к Общество Кватерниона к Александр Макфарлейн^[18]
• 1905 C.J. Joly's Руководство для кватернионов^[19]
• 1940 Джулиан Кулидж в История геометрических методов, стр. 261, использует безкоординатные методы операторов Гамильтона и цитирует работу А. Л. Лоуренса в Гарварде. Кулидж использует эти операторы в двойные кватернионы для описания перемещения винта в кинематика.

Октонионы

Октонионы были разработаны независимо Артур Кэли в 1845 г. ^[20] и Джон Т. Грейвс, друг Гамильтона. Грейвз заинтересовал Гамильтона алгеброй и ответил на его открытие кватернионов так: «Если с помощью своей алхимии вы можете сделать три фунта золота [три мнимые единицы], почему вы должны останавливаться на этом?»^[21]

Через два месяца после открытия Гамильтоном кватернионов Грейвз написал Гамильтону 26 декабря 1843 г., представив своего рода двойной кватернион.^[22] это называется октонион, и показали, что они были тем, что мы теперь называем нормированный алгебра с делением^{[нужна цитата ]}; Грейвс назвал их октавы. Гамильтону нужен был способ различать два разных типа двойных кватернионов: ассоциативный бикватернионы и октавы. Он рассказал о них Королевскому ирландскому обществу и поблагодарил своего друга Грейвза за открытие второго типа двойного кватерниона.^[23][24] заметил в ответ, что они не ассоциативный, что, возможно, было изобретением концепции. Он также обещал опубликовать работу Грейвса, но мало что сделал с этим; Кэли, работавший независимо от Грейвса, но вдохновленный публикацией Гамильтоном его собственной работы, опубликованной по октонионам в марте 1845 года - в качестве приложения к статье по другой теме. Гамильтон был уязвлен тем, что протестовал против приоритета Грейвса в области открытий, если не публикации; тем не менее, октонионы известны под названием, которое дал им Кэли, или как Числа Кэли.

Основным выводом из существования октонионов был теорема восьми квадратов, которое непосредственно следует из правила произведения октонионов, также было ранее открыто как чисто алгебраическое тождество Карл Фердинанд Деген в 1818 г.^[25] Это тождество суммы квадратов характерно для композиционная алгебра, особенность комплексных чисел, кватернионов и октонионов.

Математическое использование

Кватернионы продолжали оставаться хорошо изученными математический структура в двадцатом веке, как третий член в Конструкция Кэли-Диксона из гиперкомплексное число системы над реалами, а затем октонионы и седенионы; они также являются полезным инструментом в теория чисел, особенно при изучении представления чисел в виде суммы квадратов. Группа из восьми кватернионов основных единиц, положительных и отрицательных, группа кватернионов, также является простейшим некоммутативным Силовская группа.

Изучение интегральные кватернионы началось с Рудольф Липшиц в 1886 году, чья система позже была упрощена Леонард Юджин Диксон; но современная система была опубликована Адольф Гурвиц в 1919 году. Разница между ними состоит в том, какие кватернионы считаются целыми: Липшиц включил только те кватернионы с целыми координатами, но Гурвиц добавил эти кватернионы все четыре чьи координаты полуцелые числа. Обе системы замкнуты относительно вычитания и умножения и, следовательно, являются кольца, но система Липшица не допускает однозначной факторизации, в то время как система Гурвица допускает.^[26]

Кватернионы как вращения

Кватернионы - это краткий способ представления автоморфизмы трехмерных и четырехмерных пространств. У них есть техническое преимущество: кватернионы единиц сформировать односвязный покрытие пространства трехмерных вращений.^{[3]:ch 2}

По этой причине кватернионы используются в компьютерная графика,^[27] теория управления, робототехника,^[28] обработка сигналов, контроль отношения, физика, биоинформатика, и орбитальная механика. Например, для систем управления ориентацией космических аппаратов обычно используются кватернионы. Расхитительница гробниц (1996) часто называют первой компьютерной игрой для массового рынка, в которой кватернионы использовались для плавного вращения трехмерного изображения.^[29] Кватернионы получили дополнительный импульс от теория чисел из-за их отношения к квадратичные формы.

Мемориал

С 1989 г. на кафедре математики Национальный университет Ирландии, Мейнут организовал паломничество, в котором ученые (в том числе физики Мюррей Гелл-Манн в 2002, Стивен Вайнберг в 2005 году, Франк Вильчек в 2007 г. и математик Эндрю Уайлс в 2003) прогуляться от Дансинкская обсерватория к мосту через Королевский канал, где, к сожалению, не осталось следов резьбы Гамильтона.^[30]

Рекомендации

• Баэз, Джон К. (2002), «Octonions», Бюллетень Американского математического общества, Новая серия, 39 (2): 145–205, arXiv:математика / 0105155, Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X, МИСТЕР  1886087
• Г. Х. Харди и Э. М. Райт, Введение в теорию чисел. Многие издания.
• Йоханнес К. Фамильтон (2015) Кватернионы: история сложных некоммутативных групп вращения в теоретической физике, Кандидат наук. диссертация в Колумбийский университет Департамент математического образования.

Примечания