Полиномы Лежандра - Legendre polynomials

Шесть первых полиномов Лежандра.

В физике и математика, Полиномы Лежандра (названный в честь Адриан-Мари Лежандр, открывший их в 1782 г.) представляют собой систему полного и ортогональные многочлены, с огромным количеством математических свойств и многочисленными приложениями. Их можно определить по-разному, и различные определения подчеркивают различные аспекты, а также предлагают обобщения и связи с различными математическими структурами и физическими и численными приложениями.

С полиномами Лежандра тесно связаны ассоциированные полиномы Лежандра, Функции Лежандра, Функции Лежандра второго рода и связанные функции Лежандра.

Определение по построению как ортогональная система

В этом подходе полиномы определяются как ортогональная система относительно весовой функции ${ Displaystyle ш (х) = 1}$ за интервал ${ displaystyle [-1,1]}$. То есть, ${ Displaystyle P_ {п} (х)}$ является многочленом степени ${ displaystyle n}$, так что

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) , dx = 0 quad { text {if}} n neq m.}$

Это полностью определяет полиномы с точностью до общего масштабного коэффициента, который фиксируется стандартизацией.${ Displaystyle P_ {n} (1) = 1}$. То, что это конструктивное определение, видно так: ${ Displaystyle P_ {0} (х) = 1}$ является единственным правильно стандартизованным многочленом степени 0. ${ Displaystyle P_ {1} (х)}$ должен быть ортогонален ${ displaystyle P_ {0}}$, что приводит к ${ Displaystyle P_ {1} (х) = х}$, и ${ Displaystyle P_ {2} (х)}$ определяется требованием ортогональности к ${ displaystyle P_ {0}}$ и ${ displaystyle P_ {1}}$, и так далее. ${ displaystyle P_ {n}}$ фиксируется требованием ортогональности ко всем ${ displaystyle P_ {m}}$ с ${ Displaystyle м <п}$. Это дает ${ displaystyle n}$ условия, которые наряду со стандартизацией ${ Displaystyle P_ {n} (1) = 1}$ исправляет все ${ displaystyle n + 1}$ коэффициенты в ${ Displaystyle P_ {п} (х)}$. С помощью работы все коэффициенты каждого полинома могут быть систематически определены, что приводит к явному представлению в степенях ${ displaystyle x}$ приведен ниже.

Это определение ${ displaystyle P_ {n}}$самый простой. Это не апеллирует к теории дифференциальных уравнений. Во-вторых, полнота многочленов непосредственно следует из полноты степеней 1, ${ Displaystyle х, х ^ {2}, х ^ {3}, ldots}$. Наконец, определяя их через ортогональность относительно наиболее очевидной весовой функции на конечном интервале, он устанавливает полиномы Лежандра как один из трех классические ортогональные полиномиальные системы. Два других - это Полиномы Лагерра, ортогональные на полупрямой ${ displaystyle [0, infty)}$, а Полиномы Эрмита, ортогональные по всей линии ${ Displaystyle (- infty, infty)}$, с весовыми функциями, которые являются наиболее естественными аналитическими функциями, обеспечивающими сходимость всех интегралов.

Определение через производящую функцию

Многочлены Лежандра можно также определить как коэффициенты в формальном разложении по степеням ${ displaystyle t}$ из производящая функция^[1]

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} P_ {n} (x) t ^ {n } ,.}$

(2)

Коэффициент ${ Displaystyle т ^ {п}}$ является многочленом от ${ displaystyle x}$ степени ${ displaystyle n}$. Расширение до ${ displaystyle t ^ {1}}$ дает

${ Displaystyle P_ {0} (x) = 1 ,, quad P_ {1} (x) = x.}$

Расширение до более высоких порядков становится все более обременительным, но его можно проводить систематически и снова приводит к одной из явных форм, приведенных ниже.

Возможно получение более высокого ${ displaystyle P_ {n}}$однако, не прибегая к прямому расширению ряда Тейлора. Уравнение2 дифференцируется по т с обеих сторон и переставил, чтобы получить

${ displaystyle { frac {xt} { sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = left (1-2xt + t ^ {2} right) sum _ {n = 1} ^ { infty} nP_ {n} (x) t ^ {n-1} ,.}$

Замена частного квадратного корня его определением в формуле.2, и приравнивая коэффициенты полномочий т в полученном разложении дает Формула рекурсии Бонне

${ displaystyle (n + 1) P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) xP_ {n} (x) -nP_ {n-1} (x) ,.}$

Это соотношение вместе с первыми двумя многочленами п₀ и п₁, позволяет рекурсивно генерировать все остальное.

Подход производящей функции напрямую связан с мультипольное расширение в электростатике, как объясняется ниже, и именно так полиномы были впервые определены Лежандром в 1782 году.

Определение через дифференциальное уравнение

Третье определение относится к решениям Лежандра дифференциальное уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left [ left (1-x ^ {2} right) { frac {dP_ {n} (x)} {dx}} right] + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0 ,.}$

(1)

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в Икс = ±1 поэтому, если решение ищется с использованием стандартного Фробениус или же степенной ряд метод, ряд о происхождении будет сходиться только для |Икс| < 1 в целом. Когда п целое число, решение п_п(Икс) это регулярно в Икс = 1 также регулярно в Икс = −1, и ряд для этого решения обрывается (т.е. является многочленом). Ортогональность и полнота этих решений лучше всего видна с точки зрения Теория Штурма – Лиувилля. Перепишем дифференциальное уравнение как задачу на собственные значения:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ( left (1-x ^ {2} right) { frac {d} {dx}} right) P (x) = - lambda Р (х) ,,}$

с собственным значением ${ displaystyle lambda}$ вместо ${ Displaystyle п (п + 1)}$. Если мы потребуем, чтобы решение было регулярным при${ displaystyle x = pm 1}$, то дифференциальный оператор слева Эрмитский. Собственные значения имеют вид п(п + 1), с ${ Displaystyle п = 0,1,2, ldots}$, а собственные функции - это ${ Displaystyle P_ {п} (х)}$. Ортогональность и полнота этого набора решений сразу следует из более широких рамок теории Штурма – Лиувилля.

Дифференциальное уравнение допускает другое, неполиномиальное решение: Функции Лежандра второго рода ${ displaystyle Q_ {n}}$.Двухпараметрическое обобщение (Ур.1) называется Лежандровым Общее дифференциальное уравнение, решаемое Ассоциированные полиномы Лежандра. Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения Лежандра (обобщенными или нет) с нецелое число параметры.

В физических условиях дифференциальное уравнение Лежандра возникает естественным образом всякий раз, когда кто-то решает Уравнение Лапласа (и связанные уравнения в частных производных ) разделением переменных в сферические координаты. С этой точки зрения собственными функциями угловой части оператора Лапласа являются сферические гармоники, из которых полиномы Лежандра являются (с точностью до мультипликативной константы) подмножеством, которое остается инвариантным при поворотах вокруг полярной оси. Полиномы выглядят как ${ Displaystyle Р_ {п} ( соз тета)}$ куда ${ displaystyle theta}$ - полярный угол. Такой подход к полиномам Лежандра обеспечивает глубокую связь с вращательной симметрией. Многие из их свойств, которые кропотливо обнаруживаются с помощью методов анализа, например теорема сложения, легче обнаруживаются методами симметрии и теории групп и приобретают глубокий физический и геометрический смысл.

Ортонормальность и полнота

Стандартизация ${ Displaystyle P_ {n} (1) = 1}$ фиксирует нормализацию полиномов Лежандра (относительно L² норма на интервале −1 ≤ Икс ≤ 1). Поскольку они также ортогональный относительно одной и той же нормы, эти два утверждения могут быть объединены в одно уравнение,

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) , dx = { frac {2} {2n + 1}} delta _ {mn} ,}$

(куда δ_мин обозначает Дельта Кронекера, равный 1, если м = п и до 0 в противном случае). Эту нормализацию легче всего найти, используя Формула Родригеса, приведен ниже.

То, что многочлены полные, означает следующее. Для любой кусочно-непрерывной функции ${ displaystyle f (x)}$ с конечным числом разрывов на отрезке [−1,1] последовательность сумм

${ displaystyle f_ {n} (x) = sum _ { ell = 0} ^ {n} a _ { ell} P _ { ell} (x)}$

сходится в среднем к ${ displaystyle f (x)}$ в качестве ${ Displaystyle п к infty}$при условии, что мы возьмем

${ displaystyle a _ { ell} = { frac {2 ell +1} {2}} int _ {- 1} ^ {1} f (x) P _ { ell} (x) , dx. }$

Это свойство полноты лежит в основе всех расширений, обсуждаемых в этой статье, и часто выражается в форме

${ displaystyle sum _ { ell = 0} ^ { infty} { frac {2 ell +1} {2}} P _ { ell} (x) P _ { ell} (y) = delta (ху),}$

с −1 ≤ Икс ≤ 1 и −1 ≤ у ≤ 1.

Формула Родригеса и другие явные формулы

Особенно компактное выражение для полиномов Лежандра дает Формула Родригеса:

${ displaystyle P_ {n} (x) = { frac {1} {2 ^ {n} n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} (x ^ {2 } -1) ^ {n} ,.}$

Эта формула позволяет вывести большое количество свойств ${ displaystyle P_ {n}}$с. Среди них явные представления, такие как

${ displaystyle { begin {align} P_ {n} (x) & = { frac {1} {2 ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ^ {2} (x-1) ^ {nk} (x + 1) ^ {k}, P_ {n} (x) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} { binom {n + k} {k}} left ({ frac {x-1} {2}} right) ^ {k}, P_ {n } (x) & = { frac {1} {2 ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {[{ frac {n} {2}}]} (- 1) ^ {k } { binom {n} {k}} { binom {2n-2k} {n}} x ^ {n-2k}, P_ {n} (x) & = 2 ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} { binom {n} {k}} { binom { frac {n + k-1} {2}} {n}}, end {выровнено }}}$

где последний, который также непосредственно следует из формулы рекурсии, выражает многочлены Лежандра простыми одночленами и включает обобщенная форма биномиального коэффициента.

Первые несколько полиномов Лежандра:

${ displaystyle { begin {array} {r | r} n & P_ {n} (x) hline 0 & 1 1 & x 2 & { tfrac {1} {2}} left (3x ^ {2} -1 right) 3 & { tfrac {1} {2}} left (5x ^ {3} -3x right) 4 & { tfrac {1} {8}} left (35x ^ { 4} -30x ^ {2} +3 right) 5 & { tfrac {1} {8}} left (63x ^ {5} -70x ^ {3} + 15x right) 6 & { tfrac {1} {16}} left (231x ^ {6} -315x ^ {4} + 105x ^ {2} -5 right) 7 & { tfrac {1} {16}} left (429x ^ {7} -693x ^ {5} + 315x ^ {3} -35x right) 8 & { tfrac {1} {128}} left (6435x ^ {8} -12012x ^ {6} + 6930x ^ {4} -1260x ^ {2} +35 right) 9 & { tfrac {1} {128}} left (12155x ^ {9} -25740x ^ {7} + 18018x ^ {5} -4620x ^ {3} + 315x right) 10 & { tfrac {1} {256}} left (46189x ^ {10} -109395x ^ {8} + 90090x ^ {6} -30030x ^ {4} + 3465x ^ {2} -63 right) hline end {array}}}$

Графики этих многочленов (до п = 5) показаны ниже:

Приложения полиномов Лежандра

Расширение 1 /р потенциал

Полиномы Лежандра были впервые введены в 1782 г. Адриан-Мари Лежандр^[2] как коэффициенты в разложении Ньютоновский потенциал

${ displaystyle { frac {1} { left | mathbf {x} - mathbf {x} ' right |}} = { frac {1} { sqrt {r ^ {2} + {r' } ^ {2} -2r {r '} cos gamma}} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} { frac {{r'} ^ { ell}} {r ^ { ell +1}}} P _ { ell} ( cos gamma),}$

куда р и р′ - длины векторов Икс и Икс′ соответственно и γ угол между этими двумя векторами. Ряд сходится, когда р > р′. Выражение дает гравитационный потенциал связано с точечная масса или Кулоновский потенциал связано с точечный заряд. Расширение с использованием полиномов Лежандра может быть полезно, например, при интегрировании этого выражения по непрерывному распределению массы или заряда.

Многочлены Лежандра встречаются в решении Уравнение Лапласа статического потенциал, ∇² Φ (Икс) = 0, в свободной области пространства, используя метод разделение переменных, где граничные условия обладают осевой симметрией (нет зависимости от азимутальный угол ). Где ẑ ось симметрии и θ угол между положением наблюдателя и ẑ оси (зенитный угол), решение для потенциала будет

${ displaystyle Phi (r, theta) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} left (A _ { ell} r ^ { ell} + B _ { ell} r ^ {- ( ell +1)} right) P _ { ell} ( cos theta) ,.}$

А_л и B_л должны определяться в соответствии с граничным условием каждой задачи.^[3]

Они также появляются при решении Уравнение Шредингера в трех измерениях для центральной силы.

Многочлены Лежандра в мультипольных разложениях

Многочлены Лежандра также полезны при расширении функций формы (это то же самое, что и раньше, но написано немного иначе):

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1+ eta ^ {2} -2 eta x}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} eta ^ {k} P_ {k} (x),}$

которые естественно возникают в мультипольные разложения. Левая часть уравнения - это производящая функция для полиномов Лежандра.

Например, электрический потенциал Φ (р,θ) (в сферические координаты ) из-за точечный заряд расположен на z-ось на z = а (см. диаграмму справа) изменяется как

${ displaystyle Phi (r, theta) propto { frac {1} {R}} = { frac {1} { sqrt {r ^ {2} + a ^ {2} -2ar cos тета}}}.}$

Если радиус р точки наблюдения п больше, чем а, потенциал можно разложить по полиномам Лежандра

${ displaystyle Phi (r, theta) propto { frac {1} {r}} sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({ frac {a} {r}} справа) ^ {k} P_ {k} ( cos theta),}$

где мы определили η = а/р < 1 и Икс = cos θ. Это расширение используется для развития нормального мультипольное расширение.

И наоборот, если радиус р точки наблюдения п меньше чем а, потенциал все еще может быть расширен в полиномы Лежандра, как указано выше, но с а и р обменялись. Это расширение является основой внутреннее мультипольное расширение.

Многочлены Лежандра в тригонометрии

Тригонометрические функции потому что nθ, также обозначается как Полиномы Чебышева Т_п(потому что θ) ≡ cos nθ, также может быть мультипольным разложением полиномами Лежандра п_п(потому что θ). Первые несколько заказов следующие:

${ displaystyle { begin {align} T_ {0} ( cos theta) & = 1 && = P_ {0} ( cos theta), [4pt] T_ {1} ( cos theta) & = cos theta && = P_ {1} ( cos theta), [4pt] T_ {2} ( cos theta) & = cos 2 theta && = { tfrac {1} {3 }} { bigl (} 4P_ {2} ( cos theta) -P_ {0} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {3} ( cos theta) & = cos 3 theta && = { tfrac {1} {5}} { bigl (} 8P_ {3} ( cos theta) -3P_ {1} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {4} ( cos theta) & = cos 4 theta && = { tfrac {1} {105}} { bigl (} 192P_ {4} ( cos theta) - 80P_ {2} ( cos theta) -7P_ {0} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {5} ( cos theta) & = cos 5 theta && = { tfrac {1} {63}} { bigl (} 128P_ {5} ( cos theta) -56P_ {3} ( cos theta) -9P_ {1} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {6} ( cos theta) & = cos 6 theta && = { tfrac {1} {1155}} { bigl (} 2560P_ {6} ( cos theta) -1152P_ {4} ( cos theta) -220P_ {2} ( cos theta) -33P_ {0} ( cos theta) { bigr)}. end {align}}}$

Другое свойство - это выражение для грех (п + 1)θ, который

${ displaystyle { frac { sin (n + 1) theta} { sin theta}} = sum _ { ell = 0} ^ {n} P _ { ell} ( cos theta) P_ {n- ell} ( cos theta).}$

Полиномы Лежандра в рекуррентных нейронных сетях

А рекуррентная нейронная сеть который содержит d-мерный вектор памяти, ${ displaystyle mathbf {m} in mathbb {R} ^ {d}}$, можно оптимизировать так, чтобы его нейронная активность подчинялась линейная инвариантная во времени система дано следующими представление в пространстве состояний:

${ displaystyle theta { dot { mathbf {m}}} (t) = A mathbf {m} (t) + Bu (t)}$

${ displaystyle { begin {align} A & = left [a right] _ {ij} in mathbb {R} ^ {d times d} { text {,}} quad && a_ {ij} = left (2i + 1 right) { begin {case} -1 & i$

В этом случае скользящее окно ${ displaystyle u}$ через прошлое ${ displaystyle theta}$ единицы времени наилучшее приближение линейной комбинацией первых ${ displaystyle d}$ сдвинутые полиномы Лежандра, взвешенные вместе элементами ${ displaystyle mathbf {m}}$ вовремя ${ displaystyle t}$:

${ displaystyle u (t- theta ') приблизительно sum _ { ell = 0} ^ {d-1} { widetilde {P}} _ { ell} left ({ frac { theta' } { theta}} right) , m _ { ell} (t) { text {,}} quad 0 leq theta ' leq theta { text {.}}}$

В сочетании с глубокое обучение методы, эти сети могут быть обучены превосходить долговременная кратковременная память единиц и связанных архитектур, используя при этом меньше вычислительных ресурсов.^[4]

Дополнительные свойства полиномов Лежандра

Многочлены Лежандра имеют определенную четность. То есть они четным или нечетным,^[5] в соответствии с

${ Displaystyle P_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} P_ {n} (x) ,.}$

Еще одно полезное свойство -

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} P_ {n} (x) , dx = 0 { text {for}} n geq 1,}$

что следует из рассмотрения соотношения ортогональности с ${ Displaystyle P_ {0} (х) = 1}$. Это удобно, когда серия Legendre ${ Displaystyle сумма _ {я} а_ {я} Р_ {я}}$ используется для аппроксимации функции или экспериментальных данных: средний серии на интервале [−1, 1] просто дается ведущим коэффициентом расширения ${ displaystyle a_ {0}}$.

Поскольку дифференциальное уравнение и свойство ортогональности не зависят от масштабирования, определения полиномов Лежандра «стандартизированы» (иногда называемые «нормализацией», но фактическая норма не равна 1) путем масштабирования таким образом, чтобы

${ Displaystyle P_ {п} (1) = 1 ,.}$

Производная в конечной точке определяется выражением

${ Displaystyle P_ {n} '(1) = { frac {n (n + 1)} {2}} ,.}$

В Неравенство Аски – Гаспера для полиномов Лежандра читается

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {n} P_ {j} (x) geq 0 , quad { text {for}} x geq -1 ,.}$

Многочлены Лежандра скалярное произведение из единичные векторы может быть расширен с помощью сферические гармоники с помощью

${ displaystyle P _ { ell} left (r cdot r ' right) = { frac {4 pi} {2 ell +1}} sum _ {m = - ell} ^ { ell } Y _ { ell m} ( theta, varphi) Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', varphi') ,,}$

где единичные векторы р и р′ имеют сферические координаты (θ,φ) и (θ′,φ′), соответственно.

Повторяющиеся отношения

Как обсуждалось выше, полиномы Лежандра подчиняются трехчленному рекуррентному соотношению, известному как формула рекурсии Бонне

${ Displaystyle (n + 1) P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) xP_ {n} (x) -nP_ {n-1} (x)}$

и

${ displaystyle { frac {x ^ {2} -1} {n}} { frac {d} {dx}} P_ {n} (x) = xP_ {n} (x) -P_ {n-1 }(Икс),}$

или с альтернативным выражением, которое также выполняется в конечных точках

${ displaystyle { frac {d} {dx}} P_ {n + 1} (x) = (n + 1) P_ {n} (x) + x { frac {d} {dx}} P_ {n }(Икс),.}$

Для интегрирования полиномов Лежандра полезно

${ Displaystyle (2n + 1) P_ {n} (x) = { frac {d} {dx}} { bigl (} P_ {n + 1} (x) -P_ {n-1} (x) { bigr)} ,.}$

Из вышесказанного также видно, что

${ displaystyle { frac {d} {dx}} P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) P_ {n} (x) + { bigl (} 2 (n-2) +1 { bigr)} P_ {n-2} (x) + { bigl (} 2 (n-4) +1 { bigr)} P_ {n-4} (x) + cdots}$

или эквивалентно

${ displaystyle { frac {d} {dx}} P_ {n + 1} (x) = { frac {2P_ {n} (x)} { left | P_ {n} right | ^ { 2}}} + { frac {2P_ {n-2} (x)} { left | P_ {n-2} right | ^ {2}}} + cdots}$

куда ||п_п|| - норма на интервале −1 ≤ Икс ≤ 1

${ displaystyle | P_ {n} | = { sqrt { int _ {- 1} ^ {1} { bigl (} P_ {n} (x) { bigr)} ^ {2} , dx}} = { sqrt { frac {2} {2n + 1}}} ,.}$

Асимптоты

Асимптотически для ${ displaystyle ell to infty}$^[6]

${ displaystyle { begin {align} P _ { ell} ( cos theta) & = { sqrt { frac { theta} { sin theta}}} , J_ {0} (( ell +1/2) theta) + { mathcal {O}} left ( ell ^ {- 1} right) & = { frac {2} { sqrt {2 pi ell sin theta}}} cos left ( left ( ell + { tfrac {1} {2}} right) theta - { frac { pi} {4}} right) + { mathcal {O}} left ( ell ^ {- 3/2} right), quad theta in (0, pi), end {align}}}$

а для аргументов величиной больше 1

${ displaystyle { begin {align} P _ { ell} left ({ frac {1} { sqrt {1-e ^ {2}}}} right) & = I_ {0} ( ell e ) + { mathcal {O}} left ( ell ^ {- 1} right) & = { frac {1} { sqrt {2 pi ell e}}} { frac {( 1 + e) ​​^ { frac { ell +1} {2}}} {(1-e) ^ { frac { ell} {2}}}} + { mathcal {O}} left ( ell ^ {- 1} right) ,, end {выравнивается}}}$

куда J₀ и я₀ находятся Функции Бесселя.

Нули

Все ${ displaystyle n}$ нули ${ Displaystyle P_ {п} (х)}$ действительны, отличны друг от друга и лежат в интервале ${ displaystyle (-1,1)}$. Далее, если рассматривать их как делящие интервал ${ displaystyle [-1,1]}$ в ${ displaystyle n + 1}$ подынтервалы, каждый подынтервал будет содержать ровно один ноль из ${ displaystyle P_ {n + 1}}$. Это известно как свойство переплетения. Из свойства четности очевидно, что если ${ displaystyle x_ {k}}$ это ноль ${ Displaystyle P_ {п} (х)}$, так это ${ displaystyle -x_ {k}}$. Эти нули играют важную роль в численном интегрировании на основе Квадратура Гаусса. Удельная квадратура на основе ${ displaystyle P_ {n}}$известна как квадратура Гаусса-Лежандра.

Из этого свойства и фактов, что ${ Displaystyle P_ {п} ( pm 1) neq 0}$, следует, что ${ Displaystyle P_ {п} (х)}$ имеет ${ displaystyle n-1}$ локальные минимумы и максимумы в ${ displaystyle (-1,1)}$. Эквивалентно, ${ displaystyle dP_ {n} (x) / dx}$ имеет ${ displaystyle n-1}$ нули в ${ displaystyle (-1,1)}$.

Точечные оценки

Четность и нормализация подразумевают значения на границах ${ displaystyle x = pm 1}$ быть

${ displaystyle P_ {n} (1) = 1 ,, quad P_ {n} (- 1) = { begin {cases} 1 & { text {for}} quad n = 2m - 1 & { text {for}} quad n = 2m + 1 ,. end {case}}}$

В начале ${ displaystyle x = 0}$ можно показать, что значения задаются

${ displaystyle P_ {n} (0) = { begin {cases} { frac {(-1) ^ {m}} {4 ^ {m}}} { tbinom {2m} {m}} = { frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {2m}}} { frac {(2m)!} { left (m! right) ^ {2}}} & { text {для }} quad n = 2m 0 & { text {for}} quad n = 2m + 1 ,. end {cases}}}$

Полиномы Лежандра с преобразованным аргументом

Сдвинутые полиномы Лежандра

В сдвинутые полиномы Лежандра определены как

${ displaystyle { widetilde {P}} _ {n} (x) = P_ {n} (2x-1) ,}$.

Здесь «сдвигающая» функция Икс ↦ 2Икс − 1 является аффинное преобразование который биективно отображает интервал [0,1] к интервалу [−1,1], откуда следует, что многочлены П_п(Икс) ортогональны на [0,1]:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { widetilde {P}} _ {m} (x) { widetilde {P}} _ {n} (x) , dx = { frac {1 } {2n + 1}} delta _ {mn} ,.}$

Явное выражение для сдвинутых полиномов Лежандра дается выражением

${ displaystyle { widetilde {P}} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} { binom {n + k} {k}} (- x) ^ {k} ,.}$

Аналог Формула Родригеса для сдвинутых полиномов Лежандра

${ displaystyle { widetilde {P}} _ {n} (x) = { frac {1} {n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left ( x ^ {2} -x right) ^ {n} ,.}$

Первые несколько сдвинутых полиномов Лежандра:

${ displaystyle { begin {array} {r | r} n & { widetilde {P}} _ {n} (x) hline 0 & 1 1 & 2x-1 2 & 6x ^ {2} -6x + 1 3 & 20x ^ {3} -30x ^ {2} + 12x-1 4 & 70x ^ {4} -140x ^ {3} + 90x ^ {2} -20x + 1 5 & 252x ^ {5} -630x ^ {4} + 560x ^ {3} -210x ^ {2} + 30x-1 end {array}}}$

Рациональные функции Лежандра

В Рациональные функции Лежандра представляют собой последовательность ортогональные функции на [0, ∞). Их получают путем составления Преобразование Кэли с полиномами Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени п определяется как:

${ displaystyle R_ {n} (x) = { frac { sqrt {2}} {x + 1}} , P_ {n} left ({ frac {x-1} {x + 1}}) верно),.}$

Они есть собственные функции единственного Проблема Штурма – Лиувилля.:

${ displaystyle (x + 1) partial _ {x} (x partial _ {x} ((x + 1) v (x))) + lambda v (x) = 0}$

с собственными значениями

${ Displaystyle лямбда _ {п} = п (п + 1) ,.}$

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Быстрый неформальный вывод полинома Лежандра в контексте квантовой механики водорода
• «Многочлены Лежандра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Статья Wolfram MathWorld о полиномах Лежандра
• Статья доктора Джеймса Б. Калверта о полиномах Лежандра из его личного собрания математиков
• Полиномы Лежандра Карлайла Э. Мура
• Полиномы Лежандра из гиперфизики