Теорема Орлича – Петтиса - Orlicz–Pettis theorem

Теорема в функциональный анализ касательно сходящийся ряд (Орлич) или, что то же самое, счетная аддитивность из меры (Петтис) со значениями в абстрактных пространствах.

Позволять быть хаусдорфом локально выпуклое топологическое векторное пространство с двойным . Серия является сходящиеся подсерии (в ), если все его подсерии сходятся. Теорема утверждает, что эквивалентно

  • (i) Если серия слабо сходится в подсерии (т.е. сходится ли подсерия в относительно его слабой топологии ), то она (подсерии) сходится; или же
  • (ii) Пусть быть -алгебра множеств и пусть быть функция аддитивного набора. Если слабо счетно аддитивно, то счетно аддитивно (в исходной топологии пространства ).

История возникновения теоремы несколько сложна. Во многих статьях и книгах есть неправильные цитаты и / или неправильные представления о результате. При условии, что является слабо секвенциально полным банаховым пространством, В. Орлич[1] доказал следующее

Теорема. Если серия является слабо безусловно Коши, т. е. для каждого линейного функционала , то ряд сходится (по норме) в .

После публикации статьи Орлич понял, что в доказательстве теоремы слабая секвенциальная полнота использовался только для гарантии существования слабых пределов рассматриваемого ряда. Следовательно, предполагая существование этих пределов, что равносильно предположению о слабой сходимости ряда по подсерии, то же доказательство показывает, что ряд по норме сходится. Другими словами, верна версия (i) теоремы Орлича – Петтиса. Теорема в этой форме, открыто приписываемая Орличу, появилась в монографии Банаха.[2] в последней главе Ремарк в котором не было представлено никаких доказательств. Петтис прямо ссылался на теорему Орлича в книге Банаха. Ему нужен результат, чтобы показать совпадение слабой и сильной мер, и он представил доказательство.[3] Также Данфорд дал доказательство.[4] (с замечанием, что оно похоже на исходное доказательство Орлича).

Более подробное обсуждение истоков теоремы Орлича – Петтиса и, в частности, статьи[5] можно найти в.[6] Также сноску 5 на стр. 839 из[7] и комментарии в конце раздела 2.4 2-го издания цитируемой книги Альбиака и Калтона. Хотя на польском языке, на странице 284 цитируемой монографии Алексевич, Первый доктор Орлича,[8] все еще в оккупированном Львове.

В[9] Гротендик доказал теорему, частным случаем которой является теорема Орлича – Петтиса в локально выпуклых пространствах. Позже более прямые доказательства вида (i) теоремы в локально выпуклом случае были предоставлены МакАртуром и Робертсоном.[10][11]

Теоремы типа Орлича-Петтиса

Теорема Орлича и Петтиса была усилена и обобщена во многих направлениях. Одним из первых обзоров является работа Калтона.[12] Естественным условием сходимости подсерий является сходимость Абелев топологическая группа и характерным результатом этой области исследований является следующая теорема, названная Калтоном теоремой Грейвса-Лабуды-Пахла.[13][14][15]

Теорема. Позволять - абелева группа и две групповые топологии Хаусдорфа на такой, что последовательно завершено, , а личность универсально измерим. Тогда сходимость подсерий для обеих топологий и та же.

Как следствие, если является последовательно полным K-аналитический группы, то заключение теоремы верно для каждый Топология группы Хаусдорфа что слабее, чем . Это обобщение аналогичного результата для последовательно полного аналитический группа [16] (в исходной формулировке теоремы Андерсена-Кристен допущение о секвенциальной полноте отсутствует[17]), что, в свою очередь, расширяет соответствующую теорему Калтона для Польский группа ,[18] теорема, которая положила начало этой серии статей.

Ограничения для такого рода результатов обусловлены топологией wak * банахова пространства и примеры F-пространств с разделяющим двойным такие, что слабые (т.е. ) сходимость подсерии не влечет сходимости подсерии по F-норме пространства .[19][20]

Рекомендации

  1. ^ В. Орлич, Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II, Studia Math. 1 (1929), 241–255.
  2. ^ Теория линейных операций, Monografje matematyczne, Warszawa 1932; Oeuvres. Vol. II}, PWN, Варшава, 1979.
  3. ^ Б.Дж. Петтис, Об интегрировании в векторных пространствах,Пер. Амер. Математика. Soc. 44 (1938), 277–304.
  4. ^ Н. Данфорд, Равномерность в линейных пространствах, Пер. Амер. Математика. Soc. 44 (1938), 305–356.
  5. ^ В. Орлич, Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II, Studia Math. 1 (1929), 241–255.
  6. ^ В. Фильтр и И. Лабуда, Очерки теоремы Орлича-Петтса, I (Две теоремы), Настоящий анал. Обмен 16(2), 1990-91, 393--403.
  7. ^ В. Орлич, Собрание сочинений, Том 1, PWN-Polish Scientific Publishers, Варшава, 1988.
  8. ^ https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=51907&fChrono=1
  9. ^ А.Гротендик, Sur les applications linéaires faiblement compacts d'espaces du type С (К), Канадский J. Math 3 (1953), 129--173.
  10. ^ К. В. МакАртур Об одной теореме Орлича и Петтиса, Pacific J. Math. 22 (1967), 297--302.
  11. ^ А.П. Робертсон, О безусловной сходимости в топологических векторных пространствах, Proc. Рой. Soc. Эдинбург А, 68 (1969), 145--157.
  12. ^ Найджел Калтон, Теорема Орлича-Петтиса, Современная математика 2 (1980), 91–100.
  13. ^ И. Лабуда`` [1] Универсальная измеримость и суммируемые семейства в топологических векторных пространствах. Indag. Математика. (Н.С.) 82(1979), 27-34.
  14. ^ Дж. К. Пахл, Замечание о теореме Орлича-Петтиса,[2] Indag. Математика. (Н.С.)82 (1979), 35-37.
  15. ^ В. Х. Грейвс, [3] Универсальная измеримость по Люсину и подсемейства суммируемых абелевых топологических групп. Proc. Амер. Математика. Soc. 73 (1979), 45--50.
  16. ^ Н. Дж. М. Андерсен и Дж. П. Р. Кристенсен. Некоторые результаты о борелевских структурах с приложениями к сходимости подсерий в абелевых топологических группах. Israel J. Math. 15 (1973), 414--420.
  17. ^ И. Лабуда, Мера, категория и сходящиеся ряды, Настоящий анал. Обмен 32(2) (2017), 411--428.
  18. ^ Н. Дж. Калтон, [4] Сходимость подсерий в топологических группах и векторных мерах, Israel J. Math. 10 (1971), 402-412.
  19. ^ М. Навроцкий, [5] О свойстве Орлича-Петтиса в нелокально выпуклых F-пространствах, Proc. Амер. Математика. Soc. 101(1987), 492--–496.
  20. ^ М. Навроцкий, [6] Теорема Орлича-Петтиса неверна для пространств Харди Люмера , Proc. Амер. Математика. Soc. 109 (1990), 957–963.
  • Алексевич, Анджей (1969). Анализа Функчональна. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Варшава..
  • Альбиак, Фернандо; Калтон, Найджел (2016). Темы теории банахова пространства, 2-е изд.. Springer. ISBN  9783319315553..