Правильный 4-многогранник - Regular 4-polytope
В математика, а правильный 4-многогранник это обычный четырехмерный многогранник. Они являются четырехмерными аналогами правильные многогранники в трех измерениях и правильные многоугольники в двух измерениях.
Правильные 4-многогранники впервые были описаны швейцарцами. математик Людвиг Шлефли в середине 19 века, хотя полный набор был обнаружен лишь позже.
Шесть выпуклый и десять звезда правильные 4-многогранники, всего шестнадцать.
История
Выпуклые правильные 4-многогранники впервые были описаны швейцарцами. математик Людвиг Шлефли в середине 19 века. Он обнаружил, что таких фигур ровно шесть.
Шлефли также нашел четыре правильных звездных 4-многогранника: большой 120-элементный, большой звездчатый 120-элементный, большой 600-элементный, и большой звездчатый 120-элементный. Он пропустил оставшиеся шесть, потому что не разрешал формы, которые не прошли Эйлерова характеристика на клетках или фигурах вершин (для торов с нулевой дыркой: F − E + V = 2). Это исключает ячейки и фигуры вершин как {5,5/2} и {5/2,5}.
Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей немецкой книге 1883 г. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder.
Строительство
Существование правильного 4-многогранника ограничивается существованием правильных многогранников которые образуют его клетки и двугранный угол ограничение
чтобы гарантировать, что ячейки встречаются, чтобы сформировать замкнутую 3-поверхность.
Описанные шесть выпуклых и десять звездных многогранников являются единственными решениями этих ограничений.
Есть четыре невыпуклых Символы Шлефли {p, q, r}, которые имеют допустимые ячейки {p, q} и фигуры вершин {q, r} и проходят двугранный тест, но не дают конечных фигур: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Правильные выпуклые 4-многогранники
Правильные выпуклые 4-многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновы тела в трех измерениях и выпуклой правильные многоугольники в двух измерениях.
Пять из них можно рассматривать как близкие аналоги Платоновых тел. Еще одна цифра, 24-элементный, не имеет близкого трехмерного эквивалента.
Каждый выпуклый правильный 4-многогранник ограничен множеством трехмерных клетки которые являются Платоновыми телами одного типа и размера. Они подходят друг к другу по соответствующим сторонам обычным образом.
Характеристики
В следующих таблицах перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Все группы симметрии этих 4-многогранников являются Группы Кокстера и приведены в обозначениях, описанных в этой статье. Число после названия группы - это порядок группы.
| Имена | Изображение | Семья | Schläfli Coxeter | V | E | F | C | Vert. инжир. | Двойной | Группа симметрии | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-элементный пентахорон пентатоп 4-симплексный |  | п-суплекс (Ап семья) | {3,3,3}   | 5 | 10 | 10 {3} | 5 {3,3} | {3,3} | (самодвойственный) | А4 [3,3,3] | 120 |
| 8-элементный октахорон тессеракт 4-куб |  | гиперкуб п-куб (Bп семья) | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 {4} | 8 {4,3} | {3,3} | 16 ячеек | B4 [4,3,3] | 384 |
| 16 ячеек гексадекахорон 4-ортоплекс |  | п-ортоплекс (Bп семья) | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 {3} | 16 {3,3} | {3,4} | 8-элементный | B4 [4,3,3] | 384 |
| 24-элементный икоситетрахорон октаплекс полиоктаэдр (pO) |  | Fп семья | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 {3} | 24 {3,4} | {4,3} | (самодвойственный) | F4 [3,4,3] | 1152 |
| 120 ячеек гекатоникосахорон додекаконтахорон додекаплекс полидодекаэдр (pD) |  | n-пятиугольный многогранник (ЧАСп семья) | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 {5} | 120 {5,3} | {3,3} | 600 ячеек | ЧАС4 [5,3,3] | 14400 |
| 600 ячеек гексакозихорон тетраплекс политетраэдр (pT) |  | n-пятиугольный многогранник (ЧАСп семья) | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 {3} | 600 {3,3} | {3,5} | 120 ячеек | ЧАС4 [5,3,3] | 14400 |
Джон Конвей отстаивал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT).[1]
Норман Джонсон выступал за названия n-клетка, или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосахорон (или додекаконтахорон) и гексакосихорон, вводя термин полихорон являясь четырехмерной аналогией трехмерного многогранника и двухмерного многоугольника, выраженного из Греческий корни поли («многие») и хоро («комната» или «пространство»).[2][3]
В Эйлерова характеристика для всех 4-многогранников равен нулю, имеем 4-мерный аналог полиэдральной формулы Эйлера:
куда Nk обозначает количество k-грани в многограннике (вершина - это 0-грань, ребро - 1-грань и т. д.).
Топология любого данного 4-многогранника определяется его Бетти числа и коэффициенты кручения.[4]
Как конфигурации
Правильный 4-многогранник полностью описывается как матрица конфигурации содержащий количество составляющих его элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (сверху слева направо снизу) говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Например, есть 2 вершины в каждый край (каждый край имеет 2 вершины) и 2 клетки пересекаются в каждое лицо (каждое лицо принадлежит 2 клетки) в любом правильном 4-многограннике. Обратите внимание, что конфигурацию двойного многогранника можно получить, повернув матрицу на 180 градусов.[5][6]
| 5-элементный {3,3,3} | 16 ячеек {3,3,4} | тессеракт {4,3,3} | 24-элементный {3,4,3} | 600 ячеек {3,3,5} | 120 ячеек {5,3,3} |
|---|---|---|---|---|---|
Визуализация
В следующей таблице показаны некоторые двумерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. В Диаграмма Кокстера-Дынкина графики также приведены под Символ Шлефли.
| А4 = [3,3,3] | B4 = [4,3,3] | F4 = [3,4,3] | ЧАС4 = [5,3,3] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 5-элементный | 8-элементный | 16 ячеек | 24-элементный | 120 ячеек | 600 ячеек |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| | | | | |
| Твердый 3D орфографические проекции | |||||
 Тетраэдр конверт (по центру ячейки / вершины) |  Кубический конверт (по центру ячейки) |  кубический конверт (по центру ячейки) |  Кубооктаэдр конверт (по центру ячейки) |  Усеченный ромбический триаконтаэдр конверт (по центру ячейки) |  пентакис икосододекаэдрический конверт (по центру вершины) |
| Каркас Диаграммы Шлегеля (Перспективная проекция ) | |||||
 Центрированный на ячейке |  Центрированный на ячейке |  Центрированный на ячейке |  Центрированный на ячейке |  Центрированный на ячейке |  По центру вершины |
| Каркас стереографические проекции (3-сфера ) | |||||
 |  |  |  |  |  |
Правильная звезда (Шлефли – Гесса) 4-многогранники
В 4-многогранники Шлефли – Гесса полный набор из 10 обычный самопересекающийся звездная полихора (четырехмерные многогранники ).[8] Названы они в честь первооткрывателей: Людвиг Шлефли и Эдмунд Гесс. Каждый представлен Символ Шлефли {п,q,р} в котором одно из чисел 5/2. Таким образом, они аналогичны регулярным невыпуклым Многогранники Кеплера – Пуансо, которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.
Имена
Их имена, приведенные здесь, были даны Джон Конвей, расширяя Кэли имена для Многогранники Кеплера – Пуансо: вместе с звездчатый и здорово, он добавляет великий модификатор. Конвей предложил следующие рабочие определения:
- звездчатость - заменяет края более длинными в тех же строках. (Пример: a пятиугольник превращается в пентаграмма )
- приветствие - заменяет грани на большие в тех же плоскостях. (Пример: икосаэдр превращается в большой икосаэдр )
- возвышение - заменяет клетки на большие в тех же 3-х ячейках. (Пример: a 600 ячеек превращается в большой 600-элементный )
Джон Конвей называет 10 форм из 3 правильных ячеек 4-многогранников: pT = политетраэдр {3,3,5} (тетраэдр 600 ячеек ), pI = поликошедр {3,5,5/2} (an икосаэдрический 120-элементный ), а pD = полидодекаэдр {5,3,3} (додекаэдр 120 ячеек ), с модификаторами префикса: грамм, а, и s for great, (ag) grand, и звездчатый. Последняя звездочка, большой звездчатый полидодекаэдр содержит их все как ахнуть.
Симметрия
Все десять полихор имеют [3,3,5] (ЧАС4 ) гексакосихорическая симметрия. Они генерируются из 6 связанных Тетраэдры Гурса группы симметрии рационального порядка: [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2, 3] и [3,3,5/2].
В каждой группе есть 2 правильные звездчатые полихоры, за исключением двух самодвойственных групп, имеющих только одну. Таким образом, среди десяти правильных звездных полихор есть 4 двойные пары и 2 самодвойственные формы.
Характеристики
Примечание:
- Есть 2 уникальных расположение вершин, совпадающие с 120 ячеек и 600 ячеек.
- Есть 4 уникальных расположение кромок, которые показаны как каркасы орфографические проекции.
- Есть 7 уникальных лица аранжировки, показанный как твердые вещества Ортографические проекции (в цвет лица).
Клетки (многогранники), их грани (многоугольники), многоугольный крайние фигуры и многогранник фигуры вершин идентифицируются по их Символы Шлефли.
| Имя Конвей (сокращенно) | Ортогональный проекция | Schläfli Coxeter | C {p, q} | F {п} | E {р} | V {q, r} | Dens. | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Икосаэдрический 120-элементный поликосаэдр (pI) |  | {3,5,5/2}  | 120 {3,5}  | 1200 {3}  | 720 5  | 120 {5,5/2}  | 4 | 480 |
| Маленький звездчатый 120-элементный звездчатый полидодекаэдр (spD) |  | {5/2,5,3} | 120 {5/2,5}  | 720 5 | 1200 {3} | 120 {5,3}  | 4 | −480 |
| Отличный 120-элементный большой полидодекаэдр (gpD) |  | {5,5/2,5} | 120 {5,5/2} | 720 {5}  | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 6 | 0 |
| Большой 120-элементный большой полидодекаэдр (apD) |  | {5,3,5/2} | 120 {5,3} | 720 {5} | 720 5 | 120 {3,5/2}  | 20 | 0 |
| 120-элементный звездчатый большой звездчатый полидодекаэдр (gspD) |  | {5/2,3,5} | 120 {5/2,3}  | 720 5 | 720 {5} | 120 {3,5} | 20 | 0 |
| Большой звездчатый 120-элементный большой звездчатый полидодекаэдр (aspD) |  | {5/2,5,5/2} | 120 {5/2,5} | 720 5 | 720 5 | 120 {5,5/2} | 66 | 0 |
| Большой 120-элементный большой большой полидодекаэдр (gapD) |  | {5,5/2,3} | 120 {5,5/2} | 720 {5} | 1200 {3} | 120 {5/2,3} | 76 | −480 |
| Большой икосаэдр 120 ячеек большой поликосаэдр (gpI) |  | {3,5/2,5} | 120 {3,5/2} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 76 | 480 |
| Гранд 600-секционный большой политетраэдр (apT) |  | {3,3,5/2} | 600 {3,3}  | 1200 {3} | 720 5 | 120 {3,5/2} | 191 | 0 |
| Большой звездчатый 120-элементный большой звездчатый полидодекаэдр (gaspD) |  | {5/2,3,3} | 120 {5/2,3} | 720 5 | 1200 {3} | 600 {3,3} | 191 | 0 |
Смотрите также
- Правильный многогранник
- Список правильных многогранников
- Бесконечные правильные 4-многогранники:
- Одна обычная евклидова сота: {4,3,4}
- Четыре компактных регулярных гиперболических соты: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Одиннадцать паракомпактных обычных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6 , 3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
- Абстрактный правильные 4-многогранники:
- 11-элементный {3,5,3}
- 57 ячеек {5,3,5}
- Равномерный 4-многогранник униформа Семейства 4-многогранников, построенные из этих 6 правильных форм.
- Платоново твердое тело
- Многогранники Кеплера-Пуансо - обычный звездный многогранник
- Звездный многоугольник - правильные звездчатые многоугольники
Рекомендации
Цитаты
- ^ Конвей, Берджел и Гудман-Страсс, 2008 г., Гл. 26. Еще выше
- ^ "Выпуклые и абстрактные многогранники", Программа и аннотации, MIT, 2005
- ^ Джонсон, Норман В. (2018). «§ 11.5 Сферические группы Кокстера». Геометрии и преобразования. Издательство Кембриджского университета. С. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5.
- ^ Ричсон, Дэвид С. (2012). "23. Анри Пуанкаре и господство топологии". Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии. Издательство Принстонского университета. С. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2.
- ^ Кокстер 1973, § 1.8 Конфигурации
- ^ Кокстер, Сложные регулярные многогранники, стр.117
- ^ Конвей, Берджел и Гудман-Страсс, 2008 г., п. 406, Рис 26.2
- ^ Кокстер, Звездные многогранники и функция Шлефли f (α, β, γ) п. 122 2. Многогранники Шлефли-Гесса
Библиография
- Кокстер, H.S.M. (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-50458-0.
- Кокстер, H.S.M. (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: ref = harv (связь)
- D.M.Y. Sommerville (2020) [1930]. «X. Правильные многогранники». Введение в геометрию п Размеры. Курьер Дувр. С. 159–192. ISBN 978-0-486-84248-6.
- Конвей, Джон Х.; Берджел, Хайди; Гудман-Штрасс, Хаим (2008). «26. Правильные Звездные многогранники». Симметрии вещей. С. 404–8. ISBN 978-1-56881-220-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Гесс, Эдмунд (1883). "Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder".
- Гесс, Эдмунд (1885). «Убер умирает регулярно, политопы höherer Art». Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg: 31–57.
- Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони С .; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter. Вайли. ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Документ 10) Кокстер, H.S.M. (1989). «Звездные многогранники и функция Шлафли f (α, β, γ)». Elemente der Mathematik. 44 (2): 25–36.
- Кокстер, H.S.M. (1991). Регулярные сложные многогранники (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-39490-1.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002). "Абстрактные правильные многогранники" (PDF).
внешняя ссылка
- Вайсштейн, Эрик В. «Регулярный полихорон». MathWorld.
- Джонатан Бауэрс, 16 правильных 4-многогранников
- Развертывание регулярных 4D-многогранников
- Каталог образов многогранников Коллекция стереографических проекций 4-многогранников.
- Каталог однородных многогранников
- Размеры Двухчасовой фильм о четвертом измерении (содержит стереографические проекции всех правильных 4-многогранников)
- Ольшевский, Георгий. «Гекатоникосахорон». Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.
- Ольшевский, Георгий. «Гексакосихорон». Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.
- Ольшевский, Георгий. "Звездчатость". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.
- Ольшевский, Георгий. "Возрождение". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.
- Ольшевский, Георгий. "Возвышение". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.
- Reguläre Polytope
- Обычная звездная полихора