Теорема С.-Надя о расширении - Википедия - Sz.-Nagys dilation theorem

В Теорема С.-Надя о растяжении (доказано Béla Szkefalvi-Nagy ) утверждает, что каждое сокращение Т на Гильбертово пространство ЧАС имеет унитарный расширение U в гильбертово пространство K, содержащий ЧАС, с

${ displaystyle T ^ {n} = P_ {H} U ^ {n} vert _ {H}, quad n geq 0.}$

Более того, такое расширение уникально (с точностью до унитарной эквивалентности), если предположить K минимальна в том смысле, что линейная оболочка_пU^пЧАС плотно в K. При выполнении этого условия минимальности U называется минимальное унитарное расширение из Т.

Доказательство

Для сокращение Т (т.е. (${ Displaystyle | Т | leq 1}$), это оператор дефекта D_Т определяется как (единственный) положительный квадратный корень D_Т = (Я - Т * Т)^½. В частном случае, когда S это изометрия, D_{S *} это проектор и D_S=0, следовательно, следующий Sz. Унитарное расширение Надя S с требуемым свойством полиномиального функционального исчисления:

${ displaystyle U = { begin {bmatrix} S & D_ {S ^ {*}} D_ {S} & - S ^ {*} end {bmatrix}}.}$

Возвращаясь к общему случаю сокращения Т, каждое сокращение Т в гильбертовом пространстве ЧАС имеет изометрическое растяжение, опять же со свойством исчисления, на

${ displaystyle oplus _ {п geq 0} H}$

данный

${ displaystyle S = { begin {bmatrix} T & 0 & 0 & cdots & D_ {T} & 0 & 0 && 0 & I & 0 & ddots 0 & 0 & I & ddots vdots && ddots & ddots end {bmatrix}}.}$

Подставляя S таким образом построенная в предыдущей унитарной дилатации Ш.-Надя для изометрии S, получаем унитарную дилатацию для сжатия Т:

${ displaystyle T ^ {n} = P_ {H} S ^ {n} vert _ {H} = P_ {H} (Q_ {H '} U vert _ {H'}) ^ {n} vert _ {H} = P_ {H} U ^ {n} vert _ {H}.}$

Форма Шаффера

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2008 г.)

В Форма Шаффера унитарного Sz. Расширение Надя можно рассматривать как начальную точку для характеристики всех унитарных расширений с требуемым свойством для данного сжатия.

Замечания

Обобщение этой теоремы по Бергеру: Foias и Лебоу, показывает, что если Икс это спектральный набор за Т, и

${ Displaystyle { mathcal {R}} (X)}$

это Алгебра Дирихле, тогда Т имеет минимальную нормальную δX расширение формы, указанной выше. Следствием этого является то, что любой оператор с односвязный спектральный набор Икс имеет минимальную нормальную δX расширение.

Чтобы увидеть, что это обобщает теорему Ш.-Надя, заметим, что операторы сжатия имеют единичный круг D как спектральное множество, и что нормальные операторы со спектром в единичной окружности δD унитарны.

Рекомендации

• Паульсен, В. (2003). Вполне ограниченные отображения и операторные алгебры. Издательство Кембриджского университета.
• Шаффер, Дж. Дж. (1955). «Об унитарных дилатациях сокращений». Труды Американского математического общества. 6 (2): 322. Дои:10.2307/2032368. JSTOR  2032368.