Температурная зависимость вязкости - Temperature dependence of viscosity

Вязкость сильно зависит от температуры. В жидкостях она обычно уменьшается с повышением температуры, тогда как в большинстве газов вязкость увеличивается при повышении температуры. В этой статье обсуждается несколько моделей этой зависимости, начиная от строгих расчетов из первых принципов для одноатомные газы, к эмпирическим соотношениям для жидкостей.

Понимание температурная зависимость вязкости важен во многих приложениях, например, в инженерии смазочные материалы которые хорошо работают в различных температурных условиях (например, в двигателе автомобиля), так как эффективность смазочного материала частично зависит от его вязкости. Инженерные задачи этого типа относятся к компетенции трибология.

Здесь динамическая вязкость обозначается ${ displaystyle mu}$ и кинематическая вязкость к ${ displaystyle nu}$ . Приведенные формулы действительны только для абсолютная температура масштаб; поэтому, если не указано иное, температуры указаны в кельвины.

Физические причины

Вязкость газов возникает из-за того, что молекулы пересекают слои потока и передают импульс между слоями. Эту передачу импульса можно рассматривать как силу трения между слоями потока. Так как передача импульса вызвана свободным движением молекул газа между столкновениями, увеличение теплового перемешивания молекул приводит к увеличению вязкости. Следовательно, вязкость газа увеличивается с температурой.

В жидкостях силы вязкости возникают из-за того, что молекулы оказывают друг на друга силы притяжения через слои потока. Повышение температуры приводит к снижению вязкости, поскольку более высокая температура означает, что частицы обладают большей тепловой энергией и легче преодолевают силы притяжения, связывающие их вместе. Обычный пример такого снижения вязкости - растительное масло, перемещающееся в горячей сковороде более плавно, чем в холодной.

Газы

В кинетическая теория газов позволяет точно рассчитать изменение вязкости газа при изменении температуры. Теоретические основы кинетической теории составляют Уравнение Больцмана и Теория Чепмена – Энскога, которые позволяют точное статистическое моделирование молекулярных траекторий. В частности, имея модель межмолекулярных взаимодействий, можно с высокой точностью рассчитать вязкость одноатомных и других простых газов (для более сложных газов, например, состоящих из полярные молекулы необходимо вводить дополнительные предположения, снижающие точность теории).^[1]

Прогнозы вязкости для четырех молекулярных моделей обсуждаются ниже. Предсказания первых трех моделей (жесткой сферы, степенного закона и Сазерленда) можно просто выразить в терминах элементарных функций. В Модель Леннарда – Джонса предсказывает более сложный ${ displaystyle T}$ -зависимость, но точнее трех других моделей и широко используется в инженерной практике.

Кинетическая теория твердых сфер

Если моделировать молекулы газа как эластичный твердые сферы (с массой ${ displaystyle m}$ и диаметр ${ displaystyle sigma}$ ), то элементарная кинетическая теория предсказывает, что вязкость увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры ${ displaystyle T}$ :

{ displaystyle mu = 1.016 cdot { frac {5} {16 sigma ^ {2}}} left ({ frac {k_ {B} mT} { pi}} right) ^ {1 / 2}}

где ${ displaystyle k _ { text {B}}}$ это Постоянная Больцмана. Правильно предсказывая увеличение вязкости газа с температурой, ${ displaystyle T ^ {1/2}}$ тенденция неточная; вязкость реальных газов увеличивается быстрее, чем это. Захват фактического ${ displaystyle T}$ Зависимость требует более реалистичных моделей молекулярных взаимодействий, в частности, включения притягивающих взаимодействий, которые присутствуют во всех реальных газах.^[2]

Степенная сила

Небольшое улучшение по сравнению с моделью твердых сфер - это обратная степенная сила отталкивания, в которой сила между двумя молекулами, разделенными расстоянием ${ displaystyle r}$ пропорционально ${ Displaystyle 1 / г ^ { ню}}$ .^[3] Это нереалистичная модель для реальных газов (за исключением, возможно, высоких температур), но дает простую иллюстрацию того, как изменение межмолекулярных взаимодействий влияет на предсказанную температурную зависимость вязкости. В этом случае кинетическая теория предсказывает повышение температуры как ${ displaystyle T ^ {s}}$ , где ${ Displaystyle s = (1/2) +2 / ( nu -1)}$ . Точнее, если ${ displaystyle mu '}$ известная вязкость при температуре ${ displaystyle T '}$ , тогда

{ Displaystyle му = му '(Т / Т') ^ {s}}

Принимая ${ displaystyle nu rightarrow infty}$ восстанавливает результат твердой сферы, ${ displaystyle s = 1/2}$ . Для конечных ${ displaystyle nu}$ , что соответствует более мягкому отталкиванию, ${ displaystyle s}$ больше, чем ${ displaystyle 1/2}$ , что приводит к более быстрому увеличению вязкости по сравнению с моделью твердых сфер. Подгонка к экспериментальным данным для водорода и гелия дает предсказания для ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle nu}$ показано в таблице. Модель умеренно точна для этих двух газов, но неточна для других газов.

Таблица: параметры потенциала обратного степенного закона для водорода и гелия^[3]
Газ	${ displaystyle s}$	${ displaystyle v}$	Темп. диапазон (К)
Водород	0.668	12.9	273–373
Гелий	0.657	13.7	43–1073

Модель Сазерленда

Другая простая модель газовой вязкости - это модель Сазерленда, которая добавляет слабое межмолекулярное притяжение к модели твердых сфер.^[4] Если аттракционы небольшие, их можно лечить пертурбативно, что приводит к

{ displaystyle mu = { frac {5} {16 sigma ^ {2}}} left ({ frac {k _ { text {B}} mT} { pi}} right) ^ {1 / 2} cdot left (1 + { frac {S} {T}} right) ^ {- 1}}

где ${ displaystyle S}$ , называемая постоянной Сазерленда, может быть выражена через параметры межмолекулярной силы притяжения. Эквивалентно, если ${ displaystyle mu '}$ известная вязкость при температуре ${ displaystyle T '}$ , тогда

{ displaystyle mu = mu ' left ({ frac {T} {T'}} right) ^ {3/2} { frac {T '+ S} {T + S}}}

Ценности ${ displaystyle S}$ полученные в результате согласования с экспериментальными данными, показаны в таблице ниже для нескольких газов. Модель умеренно точна для ряда газов (азот, кислород, аргон, воздуха и другие), но неточно для других газов, таких как водород и гелий. В целом утверждалось, что модель Сазерленда на самом деле является плохой моделью межмолекулярных взаимодействий и полезна только как простая формула интерполяции для ограниченного набора газов в ограниченном диапазоне температур.

Таблица: Константы Сазерленда для выбранных газов^[4]
Газ	${ displaystyle S}$ (K)	Темп. диапазон (К)
Сухой воздуха	113	293–373
Гелий	72.9	293–373
Неон	64.1	293–373
Аргон	148	293–373
Криптон	188	289–373
Ксенон	252	288–373
Азот	104.7	293–1098
Кислород	125	288–1102

Леннард-Джонс

При достаточно общих условиях молекулярной модели предсказание кинетической теории для ${ displaystyle mu}$ можно записать в виде

{ displaystyle mu = { frac {5} {16 pi ^ {1/2}}} { frac {(mk _ { text {B}} T) ^ {1/2}} { sigma ^ {2} Omega (T)}}}

где ${ displaystyle Omega}$ называется интеграл столкновений и является функцией температуры, а также параметров межмолекулярного взаимодействия.^[5] Он полностью определяется кинетической теорией и выражается через интегралы по траекториям столкновений пар молекул. В общем, ${ displaystyle Omega}$ является сложной функцией как температуры, так и молекулярных параметров; модели степенного закона и Сазерленда необычны тем, что ${ displaystyle Omega}$ можно выразить через элементарные функции.

Модель Леннарда – Джонса предполагает межмолекулярный парный потенциал вида

{ displaystyle V (r) = 4 epsilon left [ left ({ frac { sigma} {r}} right) ^ {12} - left ({ frac { sigma} {r}} right) ^ {6} right]}

где ${ displaystyle epsilon}$ и ${ displaystyle sigma}$ параметры и ${ displaystyle r}$ это расстояние, разделяющее центры масс молекул. Таким образом, модель предназначена для сферически-симметричных молекул. Тем не менее, его часто используют для несферически симметричных молекул при условии, что они не обладают большим дипольный момент.^[5]^[6]

Столкновительный интеграл ${ displaystyle Omega}$ ведь модель Леннарда-Джонса не может быть точно выражена через элементарные функции. Тем не менее, его можно рассчитать численно, и согласие с экспериментом хорошее - не только для сферически-симметричных молекул, таких как благородные газы, но и для многих многоатомных газов.^[6] Примерный вид ${ displaystyle Omega}$ также было предложено:^[7]

{ displaystyle Omega (T) = 1.16145 left (T ^ {*} right) ^ {- 0.14874} + 0.52487e ^ {- 0.77320T ^ {*}} + 2.16178e ^ {- 2.43787T ^ {* }}}

где ${ Displaystyle Т ^ {*} эквив к _ { текст {B}} Т / эпсилон}$ . Это уравнение имеет среднее отклонение всего 0,064 процента от диапазона. ${ displaystyle 0.3$ .

Ценности ${ displaystyle sigma}$ и ${ displaystyle epsilon}$ оценки на основе экспериментальных данных показаны в таблице ниже для нескольких распространенных газов.

Таблица: параметры Леннарда-Джонса выбранных газов^[8]
Газ	${ displaystyle sigma}$ (ангстремы )	${ displaystyle epsilon / k _ { text {B}}}$ (K)
Сухой воздуха	3.617	97.0
Гелий	2.576	10.2
Водород	2.915	38.0
Аргон	3.432	122.4
Азот	3.667	99.8
Кислород	3.433	113
Углекислый газ	3.996	190
Метан	3.780	154

Жидкости

В отличие от газов, для вязкости жидкости не существует систематической микроскопической теории.^[9] Однако существует несколько эмпирических моделей, которые экстраполируют температурную зависимость на основе имеющихся экспериментальных значений вязкости.

Двухпараметрическая экспонента

Простая и широко распространенная эмпирическая корреляция для вязкости жидкости представляет собой двухпараметрическую экспоненту:

{ displaystyle mu = Ae ^ {B / T}}

Это уравнение было впервые предложено в 1913 году и широко известно как уравнение Андраде. Он точно описывает многие жидкости в широком диапазоне температур. Его форма может быть мотивирована моделированием переноса импульса на молекулярном уровне как активированного скоростного процесса,^[10] хотя физические предположения, лежащие в основе таких моделей, были поставлены под сомнение.^[11]

В таблице ниже приведены оценочные значения ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ для типичных жидкостей. Подробные таблицы этих параметров для сотен жидкостей можно найти в литературе.^[12]

Параметры аппроксимации корреляции ${ displaystyle mu = Ae ^ {B / T}}$ ^[13]
Жидкость	Химическая формула	А (мПа · с)	B (K)	Темп. диапазон (К)
Бром	Br₂	0.0445	907.6	269–302
Ацетон	C₃ЧАС₆О	0.0177	845.6	193–333
Бромоформ	CHBr₃	0.0332	1195	278–363
Пентан	C₅ЧАС₁₂	0.0191	722.2	143–313
Бромбензол	C₆ЧАС₅Br	0.02088	1170	273–423

Трех- и четырехпараметрические экспоненты

Также можно найти табличные экспоненты с дополнительными параметрами, например

{ Displaystyle му = А ехр { влево ({ гидроразрыва {B} {Т-С}} вправо)}}

и

{ displaystyle mu = A exp { left ({ frac {B} {T}} + CT + DT ^ {2} right)}}

Типичные значения приведены в таблицах ниже.

Параметры аппроксимации корреляции ${ Displaystyle му = А ехр { влево ({ гидроразрыва {B} {Т-С}} вправо)}}$ ^[14]
Жидкость	Химическая формула	А (мПа · с)	B (K)	C (K⁻¹)	Темп. диапазон (К)
Меркурий	Hg	0.7754	117.91	124.04	290–380
Фтор	F₂	0.09068	45.97	39.377	60–85
Свинец	Pb	0.7610	421.35	266.85	600–1200
Гидразин	N₂ЧАС₄	0.03625	683.29	83.603	280–450
Октан	C₈ЧАС₁₈	0.007889	1456.2	−51.44	270–400

Параметры аппроксимации корреляции ${ displaystyle mu = A exp { left ({ frac {B} {T}} + CT + DT ^ {2} right)}}$ ^[13]
Жидкость	Химическая формула	А (мПа · с)	В (К)	C (K⁻¹)	D (K⁻²)	Темп. диапазон (К)
вода	ЧАС₂О	1.856·10⁻¹¹	4209	0.04527	−3.376·10⁻⁵	273–643
Этиловый спирт	C₂ЧАС₆О	0.00201	1614	0.00618	−1.132·10⁻⁵	168–516
Бензол	C₆ЧАС₆	100.69	148.9	−0.02544	2.222·10⁻⁵	279–561
Циклогексан	C₆ЧАС₁₂	0.01230	1380	−1.55·10⁻³	1.157·10⁻⁶	280–553
Нафталин	C₁₀ЧАС₈	3.465·10⁻⁵	2517	0.01098	−5.867·10⁻⁶	354–748

Модели кинематической вязкости

Влияние температуры на кинематическая вязкость ${ displaystyle nu}$ также описывается рядом эмпирических уравнений.^[15]

В Формула Вальтера обычно записывается в форме

{ displaystyle log _ {10} ( log _ {10} ( nu + lambda)) = A-B , log _ {10} T}

где ${ displaystyle lambda}$ - постоянная сдвига, а ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ являются эмпирическими параметрами. В спецификациях смазочных материалов обычно указываются только две температуры, и в этом случае стандартное значение ${ displaystyle lambda}$ Обычно предполагается = 0,7.

В Модель Райта имеет форму

{ displaystyle log _ {10} ( log _ {10} ( nu + lambda + f ( nu))) = A-B , log _ {10} T}

где дополнительная функция ${ Displaystyle f (v)}$ , часто полиномиальное соответствие экспериментальным данным, было добавлено к формуле Вальтера.

В Модель Seeton основывается на подгонка кривой зависимость вязкости многих жидкостей (хладагенты, углеводороды и смазочные материалы) в зависимости от температуры и применяется в широком диапазоне температур и вязкости:

{ displaystyle ln left ({ ln left ({ nu + 0,7 + e ^ {- nu} K_ {0} left ({ nu +1.244067} right)} right)} right ) = AB ln T}

где ${ displaystyle T}$ абсолютная температура в кельвинах, ${ displaystyle nu}$ кинематическая вязкость в сантистоксы, ${ displaystyle K_ {0}}$ модифицируется нулевой порядок Функция Бесселя второго рода, и ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ - эмпирические параметры, специфичные для каждой жидкости.

Для вязкости жидкого металла как функции температуры Ситон предложил:

{ displaystyle ln left ({ ln left ({ nu + 0,7 + e ^ {- nu} K_ {0} left ({ nu +1.244067} right)} right)} right ) = А- {В над Т}}

Смотрите также

Примечания

^ Чепмен и Коулинг (1970)
^ Chapman & Cowling (1970), стр. 97–98, 226–230.
^ ^а ^б Chapman & Cowling (1970), стр. 230–232.
^ ^а ^б Chapman & Cowling (1970), стр. 232–234.
^ ^а ^б Рейд, Праусниц и Полинг (1987), стр. 391–392.
^ ^а ^б Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 26–27.
^ Нойфельд, Янсен и Азиз (1972)
^ Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 864–865.
^ Рейд, Праусниц и Полинг (1987), стр. 433
^ Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 29–31.
^ Хильдебранд (1977)
^ См. Вишванат и Натараджан (1989); Вишванат и др. (2007); Рейд, Праусниц и Полинг (1987); и ссылки в нем
^ ^а ^б Рейд, Праусниц и Полинг (1987)
^ Вишванатх и Натараджан (1989)
^ Ситон (2006)

использованная литература

Берд, Р. Байрон; Стюарт, Уоррен Э .; Лайтфут, Эдвин Н. (2007), Транспортные явления (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8.
Чепмен, Сидней; Каулинг, Т. (1970), Математическая теория неоднородных газов. (3-е изд.), Cambridge University Press
Хильдебранд, Джоэл Генри (1977), Вязкость и диффузность: прогнозирование, John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-03072-0
Neufeld, Philip D .; Janzen, A. R .; Азиз, Р. А. (1972). «Эмпирические уравнения для расчета 16 транспортных интегралов столкновений Ω (l, s) * для потенциала Леннард-Джонса (12–6)». Журнал химической физики. 57 (3): 1100–1102. Дои:10.1063/1.1678363. ISSN 0021-9606.
Рид, Роберт С .; Prausnitz, John M .; Полинг, Брюс Э. (1987), Свойства газов и жидкостей, Книжная компания McGraw-Hill, ISBN 0-07-051799-1
Ситон, Кристофер Дж. (2006), "Вязкость-температура корреляции для жидкостей", Письма о трибологии, 22: 67–78, Дои:10.1007 / s11249-006-9071-2
Viswanath, D.S .; Натараджан, Г. (1989). Справочник по вязкости жидкостей. Издательство Hemisphere Publishing Corporation. ISBN 0-89116-778-1.

[1] Чепмен и Коулинг (1970)

[2] Chapman & Cowling (1970), стр. 97–98, 226–230.

[Chapman232-3] а ^б Chapman & Cowling (1970), стр. 230–232.

[Chapman232b-4] а ^б Chapman & Cowling (1970), стр. 232–234.

[Reid391-5] а ^б Рейд, Праусниц и Полинг (1987), стр. 391–392.

[Bird26-6] а ^б Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 26–27.

[7] Нойфельд, Янсен и Азиз (1972)

[8] Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 864–865.

[9] Рейд, Праусниц и Полинг (1987), стр. 433

[10] Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 29–31.

[11] Хильдебранд (1977)

[12] См. Вишванат и Натараджан (1989); Вишванат и др. (2007); Рейд, Праусниц и Полинг (1987); и ссылки в нем

[Reid1987-13] а ^б Рейд, Праусниц и Полинг (1987)

[14] Вишванатх и Натараджан (1989)

[15] Ситон (2006)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]