Модель Арруды – Бойса - Википедия - Arruda–Boyce model

В механика сплошной среды, Модель Арруда – Бойса^[1] это сверхупругий конститутивная модель используется для описания механического поведения резинка и другие полимерный вещества. Эта модель основана на статистическая механика материала с кубической представительный элемент объема содержащий восемь цепочек по диагональным направлениям. Материал предполагается несжимаемый. Модель названа в честь Эллен Арруда и Мэри Каннингем Бойс, опубликовавший его в 1993 году.^[1]

В функция плотности энергии деформации для несжимаемый Модель Арруда – Бойса дается формулой^[2]

{ displaystyle W = Nk_ {B} theta { sqrt {n}} left [ beta lambda _ { text {цепочка}} - { sqrt {n}} ln left ({ cfrac { sinh beta} { beta}} right) right],}

куда ${ displaystyle n}$ количество звеньев цепи, ${ displaystyle k_ {B}}$ это Постоянная Больцмана, ${ displaystyle theta}$ это температура в кельвины, ${ displaystyle N}$ количество цепей в сети сшитого полимера,

{ displaystyle lambda _ { mathrm {chain}} = { sqrt { tfrac {I_ {1}} {3}}}, quad beta = { mathcal {L}} ^ {- 1} left ({ cfrac { lambda _ { text {chain}}} { sqrt {n}}} right),}

куда ${ displaystyle I_ {1}}$ - первый инвариант левого тензора деформации Коши – Грина, а ${ Displaystyle { mathcal {L}} ^ {- 1} (х)}$ это обратное Функция Ланжевена который может быть аппроксимирован

{ Displaystyle { mathcal {L}} ^ {- 1} (х) = { begin {cases} 1,31 tan (1,59x) + 0,91x & { text {for}} | x | <0,841, { tfrac {1} { operatorname {sgn} (x) -x}} & { text {for}} 0.841 leq | x | <1. end {cases}}}

Для малых деформаций модель Арруда – Бойса сводится к гауссовой сети на основе неогуковское твердое тело модель. Это можно показать^[3] что Гент модель представляет собой простую и точную аппроксимацию модели Арруда – Бойса.

Альтернативные выражения для модели Арруда – Бойса

Альтернативная форма модели Арруда – Бойса, использующая первые пять членов обратной функции Ланжевена, следующая:^[4]

{ displaystyle W = C_ {1} left [{ tfrac {1} {2}} (I_ {1} -3) + { tfrac {1} {20N}} (I_ {1} ^ {2} -9) + { tfrac {11} {1050N ^ {2}}} (I_ {1} ^ {3} -27) + { tfrac {19} {7000N ^ {3}}} (I_ {1} ^ {4} -81) + { tfrac {519} {673750N ^ {4}}} (I_ {1} ^ {5} -243) right]}

куда ${ displaystyle C_ {1}}$ материальная постоянная. Количество ${ displaystyle N}$ также можно интерпретировать как меру ограничивающего растяжения сети.

Если ${ displaystyle lambda _ {m}}$ представляет собой отрезок, на котором сеть полимерных цепей становится заблокированной, мы можем выразить плотность энергии деформации Арруда-Бойса как

{ displaystyle W = C_ {1} left [{ tfrac {1} {2}} (I_ {1} -3) + { tfrac {1} {20 lambda _ {m} ^ {2}} } (I_ {1} ^ {2} -9) + { tfrac {11} {1050 lambda _ {m} ^ {4}}} (I_ {1} ^ {3} -27) + { tfrac {19} {7000 lambda _ {m} ^ {6}}} (I_ {1} ^ {4} -81) + { tfrac {519} {673750 lambda _ {m} ^ {8}}} (I_ {1} ^ {5} -243) right]}

В качестве альтернативы мы можем выразить модель Арруда – Бойса в виде

{ displaystyle W = C_ {1} ~ sum _ {i = 1} ^ {5} alpha _ {i} ~ beta ^ {2i-2} ~ (I_ {1} ^ {i} -3 ^ {я})}

куда ${ displaystyle beta: = { tfrac {1} {N}} = { tfrac {1} { lambda _ {m} ^ {2}}}}$ и ${ displaystyle alpha _ {1}: = { tfrac {1} {2}} ~; ~~ alpha _ {2}: = { tfrac {1} {20}} ~; ~~ alpha _ {3}: = { tfrac {11} {1050}} ~; ~~ alpha _ {4}: = { tfrac {19} {7000}} ~; ~~ alpha _ {5}: = { tfrac {519} {673750}}.}$

Если резина сжимаемый, зависимость от ${ Displaystyle J = det ({ boldsymbol {F}})}$ можно ввести в плотность энергии деформации; ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ будучи градиент деформации. Существует несколько возможностей, среди которых метод Калиске – Ротерта^[5] extension оказалась достаточно точной. С этим расширением функция плотности энергии деформации Арруда-Бойса может быть выражена как

{ Displaystyle W = D_ {1} left ({ tfrac {J ^ {2} -1} {2}} - ln J right) + C_ {1} ~ sum _ {i = 1} ^ {5} alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ ({ overline {I}} _ {1} ^ {i} -3 ^ {i})}

куда ${ displaystyle D_ {1}}$ материальная постоянная и ${ displaystyle { overline {I}} _ {1} = {I} _ {1} J ^ {- 2/3}}$ . Для согласованности с линейная эластичность, мы должны иметь ${ Displaystyle D_ {1} = { tfrac { kappa} {2}}}$ куда ${ displaystyle kappa}$ это объемный модуль.

Условие согласованности

Чтобы несжимаемая модель Арруда – Бойса согласовывалась с линейной упругостью, с ${ displaystyle mu}$ как модуль сдвига материала, следующее условие должно быть удовлетворено:

{ displaystyle { cfrac { partial W} { partial I_ {1}}} { biggr |} _ {I_ {1} = 3} = { frac { mu} {2}} ,.}

Из функции плотности энергии деформации Арруды – Бойса имеем

{ displaystyle { cfrac { partial W} { partial I_ {1}}} = C_ {1} ~ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} ,.}

Поэтому при ${ displaystyle I_ {1} = 3}$ ,

{ displaystyle mu = 2C_ {1} ~ sum _ {i = 1} ^ {5} i , alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i- 1} ,.}

Подставляя значения ${ displaystyle alpha _ {я}}$ приводит к условию согласованности

{ displaystyle mu = C_ {1} left (1 + { tfrac {3} {5 lambda _ {m} ^ {2}}} + { tfrac {99} {175 lambda _ {m}) ^ {4}}} + { tfrac {513} {875 lambda _ {m} ^ {6}}} + { tfrac {42039} {67375 lambda _ {m} ^ {8}}} right ) ,.}

Напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Арруда – Бойса определяется выражением

{ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {1}}} + 2 ~ { cfrac { partial W} { partial I_ {1}}} ~ { boldsymbol {B}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {1}}} + 2C_ {1} ~ left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ бета ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] { boldsymbol {B}}}

Одноосное расширение

Кривые напряжение-деформация при одноосном растяжении для модели Арруда – Бойса в сравнении с различными моделями гиперупругого материала.

Для одноосного удлинения в ${ Displaystyle mathbf {п} _ {1}}$ -направление, основные участки находятся ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {2} = lambda _ {3}}$ . От несжимаемости ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$ . Следовательно ${ displaystyle lambda _ {2} ^ {2} = lambda _ {3} ^ {2} = 1 / lambda}$ .Следовательно,

{ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + { cfrac {2} { lambda}} ~.}

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

{ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + { cfrac {1} { lambda}} ~ ( mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3}) ~.}

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

{ displaystyle { begin {align} sigma _ {11} & = - p + 2C_ {1} lambda ^ {2} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] sigma _ {22} & = - p + { cfrac {2C_ {1}} { lambda }} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] = сигма _ {33} ~. end {выравнивается}}}

Если ${ Displaystyle sigma _ {22} = sigma _ {33} = 0}$ , у нас есть

{ displaystyle p = { cfrac {2C_ {1}} { lambda}} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1 } ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~.}

Следовательно,

{ displaystyle sigma _ {11} = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~.}

В инженерное напряжение является ${ displaystyle lambda -1 ,}$ . В инженерное напряжение является

{ displaystyle T_ {11} = sigma _ {11} / lambda = 2C_ {1} left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~.}

Равноосное удлинение

Для равноосного удлинения в ${ Displaystyle mathbf {п} _ {1}}$ и ${ Displaystyle mathbf {п} _ {2}}$ направления, основные участки находятся ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda ,}$ . От несжимаемости ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$ . Следовательно ${ displaystyle lambda _ {3} = 1 / lambda ^ {2} ,}$ .Следовательно,

{ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = 2 ~ lambda ^ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} ~.}

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

{ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + lambda ^ {2} ~ mathbf {n } _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} ~ mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

{ displaystyle sigma _ {11} = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] = sigma _ {22} ~.}

В инженерное напряжение является ${ displaystyle lambda -1 ,}$ . В инженерное напряжение является

{ displaystyle T_ {11} = { cfrac { sigma _ {11}} { lambda}} = 2C_ {1} left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {5}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] = T_ {22} ~.}

Планарное расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для планарного удлинения в ${ Displaystyle mathbf {п} _ {1}}$ направления с ${ Displaystyle mathbf {п} _ {3}}$ направление ограничено, основные участки находятся ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {3} = 1}$ . От несжимаемости ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$ . Следовательно ${ displaystyle lambda _ {2} = 1 / lambda ,}$ .Следовательно,

{ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} + 1 ~.}

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

{ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + { cfrac {1} { lambda ^ { 2}}} ~ mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

{ displaystyle sigma _ {11} = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~; ~~ sigma _ {22} = 0 ~; ~~ sigma _ {33} = 2C_ {1} left (1 - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~.}

В инженерное напряжение является ${ displaystyle lambda -1 ,}$ . В инженерное напряжение является

{ displaystyle T_ {11} = { cfrac { sigma _ {11}} { lambda}} = 2C_ {1} left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {3}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~ .}

Простой сдвиг

Градиент деформации для простой сдвиг деформация имеет вид^[6]

{ displaystyle { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {1}} + gamma ~ mathbf {e} _ {1} otimes mathbf {e} _ {2}}

куда ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}}$ являются опорными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

{ displaystyle gamma = lambda - { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {1} = lambda ~; ~~ lambda _ {2} = { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {3} = 1}

Тогда в матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши – Грина можно выразить как

{ displaystyle { boldsymbol {F}} = { begin {bmatrix} 1 & gamma & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} ~; ~~ { boldsymbol {B}} = { boldsymbol {F }} cdot { boldsymbol {F}} ^ {T} = { begin {bmatrix} 1+ gamma ^ {2} & gamma & 0 gamma & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}

Следовательно,

{ displaystyle I_ {1} = mathrm {tr} ({ boldsymbol {B}}) = 3+ gamma ^ {2}}

а напряжение Коши определяется выражением

{ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {1}}} + 2C_ {1} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ (3+ gamma ^ {2}) ^ {i-1} right] ~ { boldsymbol {B}}}

Статистическая механика деформации полимеров

Модель Арруда – Бойса основана на статистической механике полимерных цепей. В этом подходе каждая макромолекула описывается как цепочка ${ displaystyle N}$ сегменты, каждый длиной ${ displaystyle l}$ . Если предположить, что начальную конфигурацию цепочки можно описать случайная прогулка, то начальная длина цепочки равна

{ displaystyle r_ {0} = l { sqrt {N}}}

Если предположить, что один конец цепочки находится в начале координат, то вероятность того, что блок размера ${ displaystyle dx_ {1} dx_ {2} dx_ {3}}$ вокруг начала координат будет находиться другой конец цепочки, ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ , предполагая гауссову функция плотности вероятности, является

{ displaystyle p (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = { cfrac {b ^ {3}} { pi ^ {3/2}}} ~ exp [-b ^ { 2} (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2})] ~; ~~ b: = { sqrt { cfrac {3} {2Nl ^ {2}}}}}

В конфигурационная энтропия одной цепи от Статистическая механика Больцмана является

{ displaystyle s = c-k_ {B} b ^ {2} r ^ {2}}

куда ${ displaystyle c}$ является константой. Полная энтропия в сети ${ displaystyle n}$ цепи поэтому

{ displaystyle Delta S = - { tfrac {1} {2}} nk_ {B} ( lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3 } ^ {2} -3) = - { tfrac {1} {2}} nk_ {B} (I_ {1} -3)}

где аффинная деформация предполагалось. Следовательно, энергия деформации деформированной сети равна

{ Displaystyle W = - theta , dS = { tfrac {1} {2}} nk_ {B} theta (I_ {1} -3)}

куда ${ displaystyle theta}$ это температура.

Примечания и ссылки

^ ^а ^б Арруда, Э.М. и Бойс, М.С., 1993, Трехмерная модель поведения резиновых эластичных материалов при большом растяжении,, J. Mech. Phys. Solids, 41 (2), pp. 389–412.
^ Бергстром, Дж. С. и Бойс, М. К., 2001, Деформация эластомерных сетей: связь между деформацией на молекулярном уровне и классическими моделями статистической механики упругости резины, Macromolecules, 34 (3), pp 614–626, Дои:10.1021 / ma0007942.
^ Хорган, К. О. и Саккоманди, Г., 2002, Молекулярно-статистическая основа конститутивной модели эластичности резины Гента, Journal of Elasticity, 68 (1), pp. 167–176.
^ Хиермайер, С. Дж., 2008 г., Конструкции при аварии и ударе, Springer.
^ Калиске М. и Ротерт Х., 1997 г. О конечноэлементной реализации резиноподобных материалов при конечных деформациях, Инженерные вычисления, 14 (2), стр. 216–232.
^ Огден, Р. В., 1984, Нелинейные упругие деформации, Дувр.

Смотрите также

[AB-1] а ^б Арруда, Э.М. и Бойс, М.С., 1993, Трехмерная модель поведения резиновых эластичных материалов при большом растяжении,, J. Mech. Phys. Solids, 41 (2), pp. 389–412.

[Berg-2] Бергстром, Дж. С. и Бойс, М. К., 2001, Деформация эластомерных сетей: связь между деформацией на молекулярном уровне и классическими моделями статистической механики упругости резины, Macromolecules, 34 (3), pp 614–626, Дои:10.1021 / ma0007942.

[Horgan-3] Хорган, К. О. и Саккоманди, Г., 2002, Молекулярно-статистическая основа конститутивной модели эластичности резины Гента, Journal of Elasticity, 68 (1), pp. 167–176.

[4] Хиермайер, С. Дж., 2008 г., Конструкции при аварии и ударе, Springer.

[Kaliske-5] Калиске М. и Ротерт Х., 1997 г. О конечноэлементной реализации резиноподобных материалов при конечных деформациях, Инженерные вычисления, 14 (2), стр. 216–232.

[Ogden-6] Огден, Р. В., 1984, Нелинейные упругие деформации, Дувр.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]