Неравенство Кларксона - Википедия - Clarksons inequalities

В математика, Неравенства Кларксона, названный в честь Джеймс А. Кларксон, являются результатами теории L^п пробелы. Они дают границы для L^п-нормы суммы и разницы двух измеримые функции в L^п с точки зрения L^п-нормы этих функций индивидуально.

Формулировка неравенств

Позволять (Икс, Σ,μ) быть измерить пространство; позволять ж, грамм : Икс → р быть измеримыми функциями в L^п. Тогда при 2 ≤п < +∞,

${ displaystyle left | { frac {f + g} {2}} right | _ {L ^ {p}} ^ {p} + left | { frac {fg} {2}} right | _ {L ^ {p}} ^ {p} leq { frac {1} {2}} left ( | f | _ {L ^ {p}} ^ {p} + | g | _ {L ^ {p}} ^ {p} right).}$

Для 1 <п < 2,

${ displaystyle left | { frac {f + g} {2}} right | _ {L ^ {p}} ^ {q} + left | { frac {fg} {2}} right | _ {L ^ {p}} ^ {q} leq left ({ frac {1} {2}} | f | _ {L ^ {p}} ^ {p} + { frac {1} {2}} | g | _ {L ^ {p}} ^ {p} right) ^ { frac {q} {p}},}$

куда

${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = 1,}$

т.е. q = п ⁄ (п − 1).

Дело п ≥ 2 доказать несколько легче, поскольку это простое применение неравенство треугольника и выпуклость из

${ displaystyle x mapsto x ^ {p}.}$

Рекомендации

• Кларксон, Джеймс А. (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Труды Американского математического общества, 40 (3): 396–414, Дои:10.2307/1989630, МИСТЕР  1501880.
• Ханнер, Олоф (1956), «О равномерной выпуклости L^п и ℓ^п", Arkiv för Matematik, 3 (3): 239–244, Дои:10.1007 / BF02589410, МИСТЕР  0077087.
• Фридрихс, К. О. (1970), «О неравенствах Кларксона», Сообщения по чистой и прикладной математике, 23: 603–607, Дои:10.1002 / cpa.3160230405, МИСТЕР  0264372.

внешняя ссылка

• Неравенство Кларксона в PlanetMath.