Дискретный спектр (математика) - Википедия - Discrete spectrum (mathematics)

В математике, особенно в спектральная теория, а дискретный спектр из замкнутый линейный оператор определяется как множество изолированных точек его спектра таких, что классифицировать соответствующих Проектор Рисса конечно.

Определение

Точка ${ displaystyle lambda in mathbb {C}}$в спектр ${ Displaystyle sigma (А)}$ из замкнутый линейный оператор ${ Displaystyle A: , { mathfrak {B}} to { mathfrak {B}}}$ в Банахово пространство ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ с домен ${ Displaystyle { mathfrak {D}} (А) подмножество { mathfrak {B}}}$ Говорят, что принадлежит дискретный спектр ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {диск}} (А)}$ из ${ displaystyle A}$ если выполнены следующие два условия:^[1]

1. ${ displaystyle lambda}$ это изолированная точка в ${ Displaystyle sigma (А)}$;
2. В классифицировать соответствующих Проектор Рисса ${ displaystyle P _ { lambda} = { frac {-1} {2 pi mathrm {i}}} oint _ { Gamma} (A-zI _ { mathfrak {B}}) ^ {- 1 } , dz}$ конечно.

Здесь ${ displaystyle I _ { mathfrak {B}}}$ это оператор идентификации в банаховом пространстве ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ и ${ displaystyle Gamma subset mathbb {C}}$ - гладкая простая замкнутая замкнутая кривая, ориентированная против часовой стрелки, ограничивающая открытую область ${ Displaystyle Omega subset mathbb {C}}$ такой, что ${ displaystyle lambda}$ единственная точка спектра ${ displaystyle A}$ в закрытии ${ displaystyle Omega}$; то есть, ${ displaystyle sigma (A) cap { overline { Omega}} = { lambda }.}$

Отношение к нормальным собственным значениям

Дискретный спектр ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {диск}} (А)}$ совпадает с множеством нормальные собственные значения из ${ displaystyle A}$:

${ displaystyle sigma _ { mathrm {disc}} (A) = {{ mbox {нормальные собственные значения}} A }.}$^[2][3][4]

Связь с изолированными собственными числами конечной алгебраической кратности

В общем, ранг проектора Рисса может быть больше, чем размер корневой линейный ${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda}}$ соответствующего собственного значения, и, в частности, можно иметь ${ Displaystyle mathrm {dim} , { mathfrak {L}} _ { lambda} < infty}$, ${ displaystyle mathrm {rank} , P _ { lambda} = infty}$. Итак, есть следующее включение:

${ displaystyle sigma _ { mathrm {disc}} (A) subset {{ mbox {изолированные точки спектра}} A { mbox {с конечной алгебраической кратностью}} }.}$

В частности, для квазинильпотентный оператор

${ displaystyle Q: , l ^ {2} ( mathbb {N}) to l ^ {2} ( mathbb {N}), qquad Q: , (a_ {1}, a_ {2} , a_ {3}, dots) mapsto (0, a_ {1} / 2, a_ {2} / 2 ^ {2}, a_ {3} / 2 ^ {3}, dots),}$

надо${ Displaystyle { mathfrak {L}} _ { lambda} (Q) = {0 }}$, ${ displaystyle mathrm {rank} , P _ { lambda} = infty}$,${ Displaystyle sigma (Q) = {0 }}$,${ Displaystyle sigma _ { mathrm {диск}} (Q) = emptyset}$.

Связь с точечным спектром

Дискретный спектр ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {диск}} (А)}$ оператора ${ displaystyle A}$ не следует путать с точечный спектр ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {p}} (А)}$, который определяется как набор собственные значения из ${ displaystyle A}$В то время как каждая точка дискретного спектра принадлежит точечному спектру,

${ Displaystyle sigma _ { mathrm {диск}} (A) subset sigma _ { mathrm {p}} (A),}$

обратное не всегда верно: точечный спектр не обязательно состоит из отдельных точек спектра, как это видно на примере оператор сдвига влево,${ displaystyle L: , l ^ {2} ( mathbb {N}) to l ^ {2} ( mathbb {N}), quad L: , (a_ {1}, a_ {2} , a_ {3}, dots) mapsto (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, dots).}$Для этого оператора точечный спектр - это единичный круг комплексной плоскости, спектр - это замыкание единичного круга, а дискретный спектр пуст:

${ Displaystyle sigma _ { mathrm {p}} (L) = mathbb {D} _ {1}, qquad sigma (L) = { overline { mathbb {D} _ {1}}} ; qquad sigma _ { mathrm {disc}} (L) = emptyset.}$

Смотрите также

• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Нормальное собственное значение
• Основной спектр
• Спектр оператора
• Резольвентный формализм
• Проектор Рисса
• Фредгольмов оператор
• Теория операторов

Рекомендации