Равнодушие - Equidissection

6-равномерный квадрат

В геометрия, равнодушие это раздел из многоугольник в треугольники равных площадь. Изучение эквидиссекций началось в конце 1960-х гг. Теорема Монского, в котором говорится, что квадрат не может быть равноразмерен на нечетное количество треугольников.^[1] Фактически, наиболее многоугольники вообще не могут быть равноразмерными.^[2]

Большая часть литературы направлена ​​на обобщение теоремы Монского на более широкие классы многоугольников. Общий вопрос: какие многоугольники можно равномерно разделить на сколько частей? Особое внимание было уделено трапеции, воздушные змеи, правильные многоугольники, центрально-симметричные многоугольники, полиоминос, и гиперкубы.^[3]

Непосредственное применение у эквидиссекции не так много.^[4] Они считаются интересными, потому что результаты поначалу противоречат здравому смыслу, а для геометрической задачи с таким простым определением теория требует некоторых удивительно сложных алгебраических инструментов. Многие результаты зависят от расширения п-адические оценки к действительные числа и расширение Лемма Спернера к более общим цветные графики.^[5]

Обзор

Определения

А рассечение многоугольника п конечный набор треугольников, которые не пересекаются и объединение которых состоит из п. Рассечение на п треугольники называется п-диссекция, и она классифицируется как даже рассечение или нечетное рассечение согласно ли п является четным или нечетным.^[5]

An равнодушие представляет собой разрез, в котором каждый треугольник имеет одинаковую площадь. Для многоугольника п, набор всех п для чего п-эквидиссекция п существует называется спектр из п и обозначен S(п). Общая теоретическая цель - вычислить спектр данного многоугольника.^[6]

Рассечение называется симплициальный если треугольники пересекаются только по общим краям. Некоторые авторы ограничивают свое внимание симплициальными вскрытиями, особенно во вторичной литературе, поскольку с ними легче работать. Например, обычное утверждение леммы Спернера применимо только к симплициальным разрезам. Часто симплициальные вскрытия называют триангуляции, хотя вершины треугольников не ограничиваются вершинами или ребрами многоугольника. Поэтому симплициальные эквидиссекции также называют равновеликие триангуляции.^[7]

Условия могут быть расширены до многомерных многогранники: равнодушие - это набор симплексы имея такой же п-объем.^[8]

Предварительные мероприятия

Легко найти п-эквидиссекция треугольника для всех п. В результате, если многоугольник имеет м-эквидиссекция, то она тоже имеет млн-эквидиссекция для всех п. Фактически, часто спектр многоугольника состоит в точности из кратных некоторому числу м; в этом случае и спектр, и многоугольник называются главный а спектр обозначен ${ Displaystyle langle м rangle}$.^[2] Например, спектр треугольника равен ${ Displaystyle langle 1 rangle}$. Простым примером неглавного многоугольника является четырехугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); его спектр включает 2 и 3, но не 1.^[9]

Аффинные преобразования плоскости полезны для изучения эквидиссекций, в том числе переводы, однородные и неоднородные масштабирование, размышления, вращения, ножницы, и другие сходства и линейные карты. Поскольку аффинное преобразование сохраняет прямые линии и отношения площадей, оно переводит эквидиссекции в эквидиссекции. Это означает, что можно применить любое аффинное преобразование к многоугольнику, которое может придать ему более управляемую форму. Например, обычно координаты выбираются так, чтобы три вершины многоугольника были (0, 1), (0, 0) и (1, 0).^[10]

Тот факт, что аффинные преобразования сохраняют эквидиссекции, также означает, что некоторые результаты могут быть легко обобщены. Все результаты, сформулированные для правильного многоугольника, верны и для аффинно-правильные многоугольники; в частности, результаты, касающиеся единичного квадрата, также применимы к другим параллелограммам, включая прямоугольники и ромбы. Все результаты указаны для полигонов с целое число координаты также применяются к полигонам с рациональный координаты, или многоугольники, вершины которых попадают в любые другие решетка.^[11]

Лучшие результаты

Теорема Монского утверждает, что квадрат не имеет нечетных эквидиссекций, поэтому его спектр ${ Displaystyle langle 2 rangle}$.^[1] В более общем плане известно, что центрально-симметричный полигоны и полиоминос не имеют нечетных равноденствий.^[12] Гипотеза Шерман К. Штайн предлагает, чтобы нет специальный многоугольник имеет нечетное эквидиссечение, где особый многоугольник классы эквивалентности из параллельно края каждой суммы к нулевой вектор. Квадраты, центрально-симметричные многоугольники, полиоминос, и полигексы все специальные многоугольники.^[13]

За п > 4 спектр регулярного п-угольник ${ Displaystyle langle п rangle}$.^[14] За п > 1 спектр п-мерный куб ${ Displaystyle langle п! rangle}$, куда п! это факториал из п.^[15] и спектр п-размерный кросс-многогранник является ${ Displaystyle langle 2 ^ {п-1} rangle}$. Последний следует mutatis mutandis из доказательства октаэдра в ^[2]

Позволять Т(а) быть трапеция куда а отношение длин параллельных сторон. Если а это Рациональное число, тогда Т(а) является главным. Фактически, если р/s дробь в младших членах, то ${ Displaystyle S (T (р / s)) = langle r + s rangle}$.^[16] В общем, все выпуклые многоугольники с рациональными координатами могут быть равноразмерными,^[17] хотя не все из них являются основными; см. приведенный выше пример воздушного змея с вершиной в (3/2, 3/2).

С другой стороны, если а это трансцендентное число, тогда Т(а) не имеет эквидиссекции. В более общем смысле, ни один многоугольник с координатами вершин алгебраически независимый имеет равномерный разрез.^[18] Это означает, что почти все многоугольники с более чем тремя сторонами не могут быть равноудалены. Хотя большинство полигонов нельзя разрезать на треугольники равной площади, все полигоны можно разрезать на четырехугольники равной площади.^[19]

Если а является алгебраический иррациональный номер, тогда Т(а) - более сложный случай. Если а является алгебраическим из степень 2 или 3 (квадратичный или кубический), а его конъюгирует у всех положительный реальные части, тогда S(Т(а)) содержит все достаточно большие п такой, что п/(1 + а) является алгебраическое целое число.^[20] Предполагается, что аналогичное условие с участием стабильные многочлены может определить, пуст ли спектр для алгебраических чисел а всех степеней.^[21]

История

Идея равномерного разреза кажется элементарной геометрической концепцией, которая должна быть довольно старой. Айгнер и Зиглер (2010) По замечанию теоремы Монского, «можно было догадаться, что ответ наверняка должен был быть известен давно (если не грекам)».^[22] Но изучение эквидиссекции началось только в 1965 году, когда Фред Ричман готовил степень магистра экзамен в Государственный университет Нью-Мексико.

Теорема Монского

Ричман хотел включить в экзамен вопрос по геометрии, и он заметил, что трудно найти (то, что сейчас называется) странное равнодушие квадрата. Ричман доказал себе, что для 3 или 5 невозможно, что существование п-эквидиссекция предполагает наличие (п + 2)-разбиение, и что некоторые четырехугольники, произвольно близкие к квадрату, имеют нечетные равноденствия.^[23] Однако он не решил общую задачу о нечетных равномерных разрезах квадратов и оставил ее вне экзамена. Друг Ричмана Джон Томас заинтересовался этой проблемой; в его воспоминаниях,

«Каждый, кому была поставлена ​​проблема (включая меня), сказал что-то вроде« это не моя область, но вопрос, безусловно, должен был быть рассмотрен, и ответ, вероятно, хорошо известен ». Некоторые думали, что видели это, но не могли вспомнить, где. Мне было интересно, потому что это напомнило мне Лемма Спернера в топология, у которого есть умное доказательство нечетности и четности ".^[24]

Томас доказал, что нечетное равномерный разрез невозможно, если координаты вершин являются рациональными числами с нечетными знаменателями. Он представил это доказательство Математический журнал, но он был приостановлен:

«Реакция рефери была предсказуемой. Он думал, что проблема может быть довольно простой (хотя он не мог ее решить) и, возможно, был хорошо известен (хотя он не мог найти на нее ссылки)».^[25]

Вместо этого вопрос был задан как Расширенная проблема в Американский математический ежемесячный журнал (Ричман и Томас 1967 ). Когда больше никто не представил решение, доказательство было опубликовано в Математический журнал (Томас 1968 ), через три года после его написания. Монский (1970) затем основывались на аргументе Томаса, чтобы доказать, что не существует нечетных равномерных разрезов квадрата без каких-либо предположений о рациональности.^[25]

Доказательство Монски опирается на два столпа: комбинаторный результат, обобщающий лемму Шпернера и алгебраический результат, существование 2-адическая оценка на реальные числа. Умный раскраска плоскости тогда означает, что во всех разрезах квадрата, по крайней мере, один треугольник имеет площадь, равную четному знаменателю, и, следовательно, все равноудаления должны быть четными. Суть аргументации обнаруживается уже в Томас (1968), но Монский (1970) был первым, кто использовал 2-адическую оценку для покрытия разрезов с произвольными координатами.^[26]

Обобщения

Первое обобщение теоремы Монского было Мид (1979), который доказал, что спектр п-мерный куб ${ Displaystyle langle п! rangle}$. Доказательство пересмотрено Беккер и Нецветаев (1998).

Обобщение на правильные многоугольники появилось в 1985 году во время геометрического семинара, проведенного Г. Д. Чакерианом в г. Калифорнийский университет в Дэвисе. Элейн Касиматис, аспирантка, «искала какую-нибудь алгебраическую тему, которую она могла бы проинформировать» на семинаре.^[6] Шерман Штайн предложил разрезать квадрат и куб: «Тема, которую Чакериан неохотно признал, была геометрической».^[6] После выступления Штейн спросила о правильных пятиугольниках. Касиматис ответил Касиматис (1989), доказывая, что для п > 5 спектр регулярного п-угольник ${ Displaystyle langle п rangle}$. Ее доказательство основано на доказательстве Монски, расширяя п-адическое нормирование комплексных чисел для каждого простого делителя числа п и применяя некоторые элементарные результаты теории циклотомические поля. Это также первое доказательство явного использования аффинного преобразования для создания удобной системы координат.^[27] Касиматис и Штейн (1990) затем сформулировал задачу нахождения спектра общего многоугольника, введя термины спектр и главный.^[6] Они доказали, что почти все полигоны не имеют равномерного разреза и не все полигоны являются главными.^[2]

Касиматис и Штейн (1990) начал изучение спектров двух частных обобщений квадратов: трапеций и воздушных змеев. Трапеции были дополнительно изучены Джепсен (1996), Монский (1996), и Джепсен и Монски (2008). Воздушные змеи были дополнительно изучены Джепсен, Седберри и Хойер (2009). Общие четырехугольники изучались в Су и Дин (2003). Автором нескольких статей Хэбэйский педагогический университет, главным образом профессором Дин Реном и его учениками Ду Ятао и Су Чжанджун.^[28]

Попытка обобщить результаты на регулярные п-гоны для четных п, Штейн (1989) предположил, что ни один центрально-симметричный многоугольник не имеет нечетного равномерного разреза, и доказал п = 6 и п = 8 случаев. Полная гипотеза была доказана Монский (1990). Десять лет спустя Штейн совершил то, что он назвал «удивительным прорывом», предположив, что ни у одного полимино нет странной эквидиссекции. Он доказал результат полимино с нечетным числом квадратов в Штейн (1999). Полная гипотеза была доказана, когда Пратон (2002) рассматривал даже случай.

Тема эквидиссекций недавно стала популярной благодаря лечению Математический интеллект (Штейн 2004 ), объем Математические монографии Каруса (Stein & Szabó 2008 ), и четвертое издание Доказательства из КНИГИ (Aigner & Ziegler 2010 ).

Связанные проблемы

Сакаи, Нара и Уррутия (2005) рассмотрим вариант задачи: задан выпуклый многоугольник K, какую часть его площади можно покрыть п неперекрывающиеся треугольники одинаковой площади внутри K? Отношение площади наилучшего возможного покрытия к площади K обозначается т_п(K). Если K имеет п-эквидиссекция, то т_п(K) = 1; в противном случае меньше 1. Авторы показывают, что для четырехугольника K, т_п(K) ≥ 4п/(4п + 1), с т₂(K) = 8/9 тогда и только тогда, когда K аффинно конгруэнтно трапеции Т(2/3). Для пятиугольника т₂(K) ≥ 2/3, т₃(K) ≥ 3/4, и т_п(K) ≥ 2п/(2п + 1) для п ≥ 5.

Гюнтер М. Циглер задал обратную задачу в 2003 году: учитывая разбиение всего многоугольника на п треугольники, насколько близко могут быть равны площади треугольников? В частности, какова наименьшая возможная разница между площадями самого маленького и самого большого треугольника? Пусть наименьшая разница будет M(п) для квадрата и M(а, п) для трапеции Т(а). потом M(п) равно 0 для четных п и больше 0 для нечетных п. Мансоу (2003) дала асимптотическую оценку сверху M(п) = O (1 /п²) (видеть Обозначение Big O ).^[29] Шульце (2011) улучшает привязку к M(п) = O (1 /п³) с лучшим разрезом, и он доказывает, что существуют значения а для которого M(а, п) сколь угодно быстро уменьшается. Лаббе, Роте и Зиглер (2018) получить суперполиномиальную верхнюю границу, полученную из явной конструкции, которая использует Последовательность Туэ – Морса.

Рекомендации

Библиография

Вторичные источники

Основные источники

внешняя ссылка

• Лемма Спернера, теорема Брауэра о неподвижной точке и разбиение квадратов на треугольники - Записки Ахила Мэтью
• Über die Zerlegung eines Quadrats в Dreiecke gleicher Fläche - Записки Морица В. Шмитта (немецкий язык)
• Замощение многоугольников треугольниками одинаковой площади - Примечания AlexGhitza
• Разбиение трапеций на треугольники равной площади - MathOverflow