Основная теорема гильбертовых пространств - Fundamental theorem of Hilbert spaces

В математике, особенно в функциональный анализ и Гильбертово пространство теория, Основная теорема гильбертовых пространств дает необходимое и достаточное условие для Хаусдорф предгильбертово пространство быть гильбертовым пространством в терминах канонической изометрии предгильбертова пространства в его анти-дуальный.

Предварительные мероприятия

Антилинейные функционалы и антидвойственные

Предположим, что $ЧАС$ это топологическое векторное пространство (ТВС). Функция $ж : ЧАС \to ℂ$ называется полулинейный или же антилинейный^[1] если для всех $Икс, у \in ЧАС$ и все скаляры $c$ ,

Добавка: $ж (Икс + у) = ж (Икс) + ж (у)$ ;
Конъюгат однородный: $ж (c Икс) = c ж (Икс)$ .

Векторное пространство всех непрерывных антилинейных функций на $ЧАС$ называется анти-двойное пространство или же комплексно сопряженное двойственное пространство из $ЧАС$ и обозначается ${ displaystyle { overline {H}} ^ { prime}}$ (напротив, непрерывное двойственное пространство $ЧАС$ обозначается ${ displaystyle H ^ { prime}}$ ), который мы превращаем в нормированное пространство наделяя его канонической нормой (определяемой так же, как каноническая норма на непрерывное двойное пространство из $ЧАС$ ).^[1]

Предгильбертовы пространства и полуторалинейные формы

А полуторалинейная форма это карта $B : ЧАС \times ЧАС \to ℂ$ такой, что для всех $у \in ЧАС$ , карта, определяемая $Икс \mapsto B (Икс, у)$ является линейный, и для всех $Икс \in ЧАС$ , карта, определяемая $у \mapsto B (Икс, у)$ является антилинейный.^[1] Обратите внимание, что в Физика, принято считать, что полуторалинейная форма линейна по своему второй координата и антилинейна по первой координате.

Полуторалинейная форма на $ЧАС$ называется положительно определенный если $B (Икс, Икс) > 0$ для всех не 0 $Икс \in ЧАС$ ; это называется неотрицательный если $B (Икс, Икс) \geq 0$ для всех $Икс \in ЧАС$ .^[1] Полуторалинейная форма $B$ на $ЧАС$ называется Эрмитова форма если, кроме того, он имеет свойство, что ${ Displaystyle В (х, у) = { overline {В (у, х)}}}$ для всех $Икс, у \in ЧАС$ .^[1]

Предгильбертово и гильбертово пространства

А предгильбертово пространство пара, состоящая из векторного пространства $ЧАС$ и неотрицательная полуторалинейная форма $B$ на $ЧАС$ ; если вдобавок эта полуторалинейная форма $B$ положительное определение, то $(ЧАС, B)$ называется Хаусдорфово предгильбертово пространство.^[1] Если $B$ неотрицательно, то индуцирует канонический полунорма на $ЧАС$ , обозначаемый ${ displaystyle | cdot |}$ , определяется $Икс \mapsto B (Икс, Икс) 1/2$ , где если $B$ также положительно определено, то это отображение является норма.^[1] Эта каноническая полунорма превращает каждое предгильбертово пространство в полунормированное пространство и всякое хаусдорфово предгильбертово пространство в нормированное пространство. Полуторалинейная форма $B : ЧАС \times ЧАС \to ℂ$ по отдельности равномерно непрерывна по каждому из двух аргументов и, следовательно, может быть продолжена до отдельно непрерывной полуторалинейной формы на завершение из $ЧАС$ ; если $ЧАС$ является Хаусдорф то это завершение Гильбертово пространство.^[1] Хаусдорфово предгильбертово пространство, полный называется Гильбертово пространство.

Каноническая карта в анти-дуальное

Предполагать $(ЧАС, B)$ является предгильбертовым пространством. Если $час \in ЧАС$ , определим канонические отображения:

B (час, •) : ЧАС \to ℂ

куда

у \mapsto B (час, у)

, и

B (•, час) : ЧАС \to ℂ

куда

Икс \mapsto B (Икс, час)

В каноническая карта^[1] из $ЧАС$ в свой анти-дуальный ${ displaystyle { overline {H}} ^ { prime}}$ это карта

{ displaystyle H to { overline {H}} ^ { prime}}

определяется

Икс \mapsto B (Икс, •)

.

Если $(ЧАС, B)$ является предгильбертовым пространством, то это каноническое отображение линейно и непрерывно; эта карта изометрия на векторное подпространство анти-двойственного тогда и только тогда, когда $(ЧАС, B)$ является хаусдорфовым прегильбертовым.^[1]

Конечно, существует каноническая антилинейная сюръективная изометрия. ${ displaystyle H ^ { prime} to { overline {H}} ^ { prime}}$ который посылает непрерывный линейный функционал $ж$ на $ЧАС$ к непрерывному антилинейному функционалу, обозначенному $ж$ и определяется $Икс \mapsto ж (Икс)$ .