Линейная независимость - Linear independence

Линейно независимые векторы в

{ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}

Линейно зависимые векторы на плоскости в

{ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}

.

В теории векторные пространства, а набор из векторов как говорят линейно зависимый если хотя бы один из векторов в наборе можно определить как линейная комбинация других; если ни один вектор в наборе не может быть записан таким образом, то векторы называются линейно независимый. Эти концепции являются центральными для определения измерение.^[1]

Векторное пространство может состоять из конечномерный или же бесконечномерный в зависимости от количества линейно независимых базисные векторы. Определение линейной зависимости и возможность определить, является ли подмножество векторов в векторном пространстве линейной зависимостью, являются центральными для определения основа для векторного пространства.

Определение

Последовательность векторов ${ displaystyle ({ vec {v_ {1}}}, { vec {v_ {2}}}, dots, { vec {v_ {k}}})}$ из векторное пространство V как говорят линейно зависимый, если существуют скаляры ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {k}}$ , не все нули, так что

{ displaystyle a_ {1} { vec {v_ {1}}} + a_ {2} { vec {v_ {2}}} + cdots + a_ {k} { vec {v_ {k}}} = { vec {0}},}

куда ${ displaystyle { vec {0}}}$ обозначает нулевой вектор.

Обратите внимание: если не все скаляры равны нулю, то хотя бы один ненулевой, скажем ${ displaystyle a_ {1}}$ , в этом случае это уравнение можно записать в виде

{ displaystyle { vec {v_ {1}}} = { frac {-a_ {2}} {a_ {1}}} { vec {v_ {2}}} + cdots + { frac {- a_ {k}} {a_ {1}}} { vec {v_ {k}}}.}

Таким образом, ${ displaystyle { vec {v_ {1}}}}$ показано, как линейная комбинация остальных векторов.

Последовательность векторов ${ displaystyle ({ vec {v_ {1}}}, { vec {v_ {2}}}, dots, { vec {v_ {n}}})}$ как говорят линейно независимый если уравнение

{ displaystyle a_ {1} { vec {v_ {1}}} + a_ {2} { vec {v_ {2}}} + cdots + a_ {n} { vec {v_ {n}}} = { vec {0}},}

может быть удовлетворен только ${ displaystyle a_ {i} = 0}$ за ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$ . Это означает, что ни один вектор в последовательности не может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов в последовательности. Другими словами, последовательность векторов линейно независима, если единственное представление ${ displaystyle { vec {0}}}$ как линейная комбинация его векторов есть тривиальное представление, в котором все скаляры ${ displaystyle a_ {i}}$ равны нулю.^[2] Еще более кратко, последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ${ displaystyle { vec {0}}}$ можно уникальным образом представить в виде линейной комбинации его векторов.

Альтернативное определение, что последовательность векторов является линейно зависимой, если и только если некоторый вектор в этой последовательности может быть записан как линейная комбинация других векторов, полезно только тогда, когда последовательность содержит два или более векторов. Когда последовательность не содержит векторов или только один вектор, используется исходное определение.

Бесконечные измерения

Чтобы число линейно независимых векторов в векторном пространстве было счетно бесконечный, полезно определить линейную зависимость следующим образом. В общем, пусть V быть векторным пространством над поле K, и разреши {v_я | я ∈ я} быть семья элементов V индексированный по набору я. Семья линейно зависимый над K если существует непустой конечный подмножество J ⊆ я и семья {а_j | j ∈ J} элементов K, все ненулевые, такие что

{ displaystyle sum _ {j in J} a_ {j} v_ {j} = 0.}

Множество Икс элементов V является линейно независимый если соответствующее семейство {Икс}_{Икс∈Икс} линейно независима. Точно так же семья является иждивенческой, если член находится в закрытии линейный пролет остальной части семьи, т. е. член является линейная комбинация остальной части семьи. Тривиальный случай пустого семейства следует рассматривать как линейно независимый, чтобы теоремы применялись.

Набор векторов, который линейно независим и пролеты некоторое векторное пространство, образует основа для этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех многочленов от Икс над вещественными числами имеет (бесконечное) подмножество {1, Икс, Икс², ...} в качестве основы.

Геометрический смысл

Географический пример может помочь прояснить концепцию линейной независимости. Человек, описывающий местоположение определенного места, может сказать: «Это в 3 милях к северу и в 4 милях к востоку отсюда». Этой информации достаточно для описания местоположения, поскольку географическая система координат может рассматриваться как двумерное векторное пространство (без учета высоты и кривизны поверхности Земли). Человек может добавить: «Это место в 5 милях к северо-востоку отсюда». Хотя это последнее утверждение истинный, это не обязательно.

В этом примере вектор «3 мили к северу» и вектор «4 мили к востоку» линейно независимы. Другими словами, северный вектор не может быть описан в терминах восточного вектора, и наоборот. Третий вектор "5 миль к северо-востоку" - это линейная комбинация двух других векторов, и это делает набор векторов линейно зависимый, то есть один из трех векторов не нужен.

Также обратите внимание, что если высота не игнорируется, становится необходимым добавить третий вектор к линейно независимому набору. В целом, п линейно независимые векторы необходимы для описания всех местоположений в п-мерное пространство.

Оценка линейной независимости

Векторы в R²

Три вектора: Рассмотрим множество векторов v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2) и v₃ = (2, 4), то условие линейной зависимости ищет набор ненулевых скаляров, таких что

{ displaystyle a_ {1} { begin {Bmatrix} 1 1 end {Bmatrix}} + a_ {2} { begin {Bmatrix} -3 2 end {Bmatrix}} + a_ {3} { begin {Bmatrix} 2 4 end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}},}

или же

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 1 & 2 & 4 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}

Уменьшение строки это матричное уравнение путем вычитания первой строки из второй, чтобы получить,

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 0 & 5 & 2 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}

Продолжайте сокращение строки: (i) разделив вторую строку на 5, а затем (ii) умножив на 3 и прибавив к первой строке, то есть

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 16/5 0 & 1 & 2/5 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix} } = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}

Теперь мы можем переписать это уравнение, чтобы получить

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} a_ { 1} a_ {2} end {Bmatrix}} = - a_ {3} { begin {Bmatrix} 16/5 2/5 end {Bmatrix}}.}

что показывает, что ненулевое а_я существуют такие, что v₃ = (2, 4) можно определить в терминах v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2). Таким образом, три вектора линейно зависимы.

Два вектора: Теперь рассмотрим линейную зависимость двух векторов v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2), и проверим,

{ displaystyle a_ {1} { begin {Bmatrix} 1 1 end {Bmatrix}} + a_ {2} { begin {Bmatrix} -3 2 end {Bmatrix}} = { begin { Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}},}

или же

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & -3 1 & 2 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}

Такое же сокращение строк, представленное выше, дает,

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}

Это показывает, что а_я = 0, что означает, что векторы v₁ = (1, 1) и v₂ = (−3, 2) линейно независимы.

Векторы в R⁴

Чтобы определить, являются ли три вектора в р⁴,

{ Displaystyle mathbf {v} _ {1} = { begin {Bmatrix} 1 4 2 - 3 end {Bmatrix}}, mathbf {v} _ {2} = { begin {Bmatrix} 7 10 - 4 - 1 end {Bmatrix}}, mathbf {v} _ {3} = { begin {Bmatrix} -2 1 5 - 4 end {Bmatrix}}.}

линейно зависимы, образуют матричное уравнение,

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 7 & -2 4 & 10 & 1 2 & -4 & 5 - 3 & -1 & -4 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 0 0 end {Bmatrix}}.}

Строку уменьшите это уравнение, чтобы получить

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 7 & -2 0 & -18 & 9 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3 } end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 0 0 end {Bmatrix}}.}

Переставить, чтобы найти v₃ и получить,

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 7 0 & -18 & end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = - a_ {3} { begin {Bmatrix} -2 9 end {Bmatrix}}.}

Это уравнение легко решается для определения ненулевого а_я,

{ displaystyle a_ {1} = - 3a_ {3} / 2, a_ {2} = a_ {3} / 2,}

куда а₃ можно выбрать произвольно. Таким образом, векторы v₁, v₂ и v₃ линейно зависимы.

Альтернативный метод с использованием детерминантов

Альтернативный метод основан на том, что п векторов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ линейно независимый если и только если то детерминант из матрица формируется путем взятия векторов в качестве столбцов, отличных от нуля.

В этом случае матрица, образованная векторами, имеет вид

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & -3 1 & 2 end {bmatrix}}.}

Мы можем записать линейную комбинацию столбцов как

{ displaystyle A Lambda = { begin {bmatrix} 1 & -3 1 & 2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} lambda _ {1} lambda _ {2} end {bmatrix} }.}

Нас интересует, АΛ = 0 для некоторого ненулевого вектора Λ. Это зависит от определителя А, который

{ Displaystyle Det A = 1 cdot 2-1 cdot (-3) = 5 neq 0.}

Поскольку детерминант отлична от нуля, векторы (1, 1) и (−3, 2) линейно независимы.

В противном случае предположим, что у нас есть м векторов п координаты, с м < п. потом А является п×м матрица, а Λ - вектор-столбец с м записи, и мы снова заинтересованы в АΛ = 0. Как мы видели ранее, это эквивалентно списку п уравнения. Рассмотрим первый м ряды А, первый м уравнения; любое решение полного списка уравнений должно быть верным и для сокращенного списка. Фактически, если 〈я₁,...,я_м〉 - это любой список м строк, то уравнение должно выполняться для этих строк.

{ displaystyle A _ {{ langle i_ {1}, dots, i_ {m}} rangle} Lambda = mathbf {0}.}

Более того, верно обратное. То есть мы можем проверить, м векторы линейно зависят, проверяя,

{ displaystyle det A _ {{ langle i_ {1}, dots, i_ {m}} rangle} = 0}

для всех возможных списков м ряды. (В случае м = п, для этого требуется только один определитель, как указано выше. Если м > п, то это теорема о том, что векторы должны быть линейно зависимыми.) Этот факт ценен для теории; в практических расчетах доступны более эффективные методы.

Больше векторов, чем размеров

Если векторов больше, чем размеров, векторы линейно зависимы. Это проиллюстрировано в приведенном выше примере трех векторов в р².

Естественные базисные векторы

Позволять V = р^п и рассмотрим следующие элементы в V, известный как натуральная основа векторы:

{ displaystyle { begin {matrix} mathbf {e} _ {1} & = & (1,0,0, ldots, 0) mathbf {e} _ {2} & = & (0, 1,0, ldots, 0) & vdots mathbf {e} _ {n} & = & (0,0,0, ldots, 1). End {matrix}}}

потом е₁, е₂, ..., е_п линейно независимы.

Доказательство

Предположим, что а₁, а₂, ..., а_п являются элементами р такой, что

{ displaystyle a_ {1} mathbf {e} _ {1} + a_ {2} mathbf {e} _ {2} + cdots + a_ {n} mathbf {e} _ {n} = mathbf {0}.}

С

{ displaystyle a_ {1} mathbf {e} _ {1} + a_ {2} mathbf {e} _ {2} + cdots + a_ {n} mathbf {e} _ {n} = (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}),}

тогда а_я = 0 для всех я в 1, ..., п}.

Линейная независимость базисных функций

Позволять ${ displaystyle V}$ быть векторное пространство всех дифференцируемых функции реальной переменной ${ displaystyle t}$ . Тогда функции ${ displaystyle e ^ {t}}$ и ${ displaystyle e ^ {2t}}$ в ${ displaystyle V}$ линейно независимы.

Доказательство

Предполагать ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ два вещественных числа такие, что

{ displaystyle ae ^ {t} + be ^ {2t} = 0}

Возьмите первую производную приведенного выше уравнения так, чтобы

{ displaystyle ae ^ {t} + 2be ^ {2t} = 0}

за все ценности т. Нам нужно показать, что ${ displaystyle a = 0}$ и ${ displaystyle b = 0}$ . Для этого мы вычитаем первое уравнение из второго, получая ${ displaystyle be ^ {2t} = 0}$ . С ${ displaystyle e ^ {2t}}$ не ноль для некоторых т, ${ displaystyle b = 0}$ . Следует, что ${ displaystyle a = 0}$ тоже. Следовательно, согласно определению линейной независимости, ${ displaystyle e ^ {t}}$ и ${ displaystyle e ^ {2t}}$ линейно независимы.

Пространство линейных зависимостей

А линейная зависимость или же линейное отношение среди векторов $v 1, ..., v п$ это кортеж $(а 1, ..., а п)$ с $п$ скаляр компоненты такие, что

{ displaystyle a_ {1} mathbf {v} _ {1} + cdots + a_ {n} mathbf {v} _ {n} = mathbf {0}.}

Если такая линейная зависимость существует хотя бы с ненулевой компонентой, то $п$ векторы линейно зависимы. Линейные зависимости между $v 1, ..., v п$ образуют векторное пространство.

Если векторы выражаются их координатами, то линейные зависимости являются решениями однородной система линейных уравнений, с координатами векторов в качестве коэффициентов. А основа векторного пространства линейных зависимостей можно поэтому вычислить Гауссово исключение.

Аффинная независимость

Набор векторов называется аффинно зависимый если хотя бы один из векторов в наборе можно определить как аффинная комбинация из других. В противном случае набор называется аффинно независимый. Любая аффинная комбинация - это линейная комбинация; поэтому каждое аффинно зависимое множество линейно зависимо. Наоборот, любое линейно независимое множество аффинно независимое.

Рассмотрим набор м векторов ${ displaystyle (v_ {1}, ldots, v_ {m})}$ размера п каждый и рассмотрим набор м дополненные векторы ${ displaystyle ({ binom {1} {v_ {1}}}, ldots, { binom {1} {v_ {m}}})}$ размера п+1 каждому. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда дополненные векторы линейно независимы.^[3]^:256

Смотрите также: аффинное пространство.

Смотрите также

Matroid - Абстрактная структура, которая моделирует и обобщает линейную независимость

внешняя ссылка

«Линейная независимость», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Линейно зависимые функции в WolframMathWorld.
Учебная и интерактивная программа о линейной независимости.
Введение в линейную независимость в Ханакадемии.

[1] Г. Э. Шилов, Линейная алгебра (Перевод Р. А. Сильвермана), Dover Publications, Нью-Йорк, 1977.

[2] Фридберг, Инзель, Спенс, Стивен, Арнольд, Лоуренс. Линейная алгебра. Пирсон, 4-е издание. С. 48–49. ISBN 0130084514.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)

[lp-3] Ловас, Ласло; Пламмер, М. (1986), Теория соответствия, Анналы дискретной математики, 29, Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1, МИСТЕР 0859549

[1]

[2]

[3]

Линейная алгебра
Базовые концепты	Скалярный Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Основа Смена основы Векторы строк и столбцов Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Гауссово исключение
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Детерминант Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное перекрестное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Мультивектор Тензор Внешний морфизм
Векторное пространство конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство Частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Подпрограммы базовой линейной алгебры (BLAS) Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория Контур Математический портал Викибук Викиверситет

Линейная независимость - Linear independence

Содержание