Критерий текучести фон Мизеса - Von Mises yield criterion

В критерий максимального искажения (также критерий текучести фон Мизеса^[1]) считает, что уступающий пластичного материала начинается, когда второй инвариант девиаторного напряжения ${ displaystyle J_ {2}}$ достигает критического значения.^[2] Это часть теории пластичности, которая лучше всего применима к пластичный материалы, такие как некоторые металлы. До начала текучести можно предположить, что реакция материала имеет нелинейно-упругое, вязкоупругое или линейно-упругое поведение.

В материаловедение и инженерное дело критерий текучести фон Мизеса также можно сформулировать в терминах фон Мизес стресс или же эквивалентное растягивающее напряжение, ${ displaystyle sigma _ { text {v}}}$ . Это скалярное значение напряжения, которое может быть вычислено из Тензор напряжений Коши. В этом случае говорят, что материал начинает деформироваться, когда напряжение по Мизесу достигает значения, известного как предел текучести, ${ displaystyle sigma _ { text {y}}}$ . Напряжение фон Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов при сложной нагрузке на основе результатов испытаний на одноосное растяжение. Напряжение фон Мизеса удовлетворяет свойству, когда два напряженных состояния с равной энергией искажения имеют одинаковое напряжение фон Мизеса.

Потому что фон Мизес критерий доходности не зависит от инвариант первого напряжения, ${ displaystyle I_ {1}}$ , он применим для анализа пластической деформации при пластичный материалы, такие как металлы, так как начало текучести этих материалов не зависит от гидростатическая составляющая тензора напряжений.

Хотя считалось, что он был сформулирован Джеймс Клерк Максвелл в 1865 году Максвелл описал общие условия только в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину).^[3] Ричард Эдлер фон Мизес строго сформулировал его в 1913 г.^[2]^[4] Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, должным образом полагаясь на энергию деформации искажения, а не на полную энергию деформации, как его предшественники.^[5]^[6]^[7]Генрих Хенки сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес, независимо в 1924 г.^[8] По указанным выше причинам этот критерий также упоминается как Теория Максвелла – Хубера – Хенки – фон Мизеса.

Математическая формулировка

Поверхности текучести фон Мизеса в координатах главных напряжений описывают цилиндр с радиусом

{ textstyle { sqrt { frac {2} {3}}} sigma _ {y}}

вокруг гидростатической оси. Также показано Треска гексагональная поверхность текучести.

Математически фон Мизес урожай критерий выражается как:

{ Displaystyle J_ {2} = к ^ {2} , !}

куда ${ displaystyle k}$ это урожай напряжение материала при чистом сдвиге. Как показано далее в этой статье, в начале текучести величина напряжения сдвига при чистом сдвиге в √3 раза ниже, чем предел текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, мы имеем:

{ Displaystyle к = { гидроразрыва { sigma _ {y}} { sqrt {3}}}}

куда ${ displaystyle sigma _ {y}}$ предел текучести материала при растяжении. Если мы установим напряжение по Мизесу равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, критерий текучести по Мизесу может быть выражен как:

{ displaystyle sigma _ {v} = sigma _ {y} = { sqrt {3J_ {2}}}}

или же

{ displaystyle sigma _ {v} ^ {2} = 3J_ {2} = 3k ^ {2}}

Подстановка ${ displaystyle J_ {2}}$ с условиями Тензор напряжений Коши составные части

{ displaystyle sigma _ { text {v}} ^ {2} = { frac {1} {2}} left [( sigma _ {11} - sigma _ {22}) ^ {2} + ( sigma _ {22} - sigma _ {33}) ^ {2} + ( sigma _ {33} - sigma _ {11}) ^ {2} +6 left ( sigma _ {23 } ^ {2} + sigma _ {31} ^ {2} + sigma _ {12} ^ {2} right) right] = { frac {3} {2}} s_ {ij} s_ { ij}}

,

куда s девиаторное напряжение. Это уравнение определяет поверхность текучести в виде кругового цилиндра (см. рисунок), кривая текучести которого или пересечение с девиаторной плоскостью представляет собой круг с радиусом ${ displaystyle { sqrt {2}} k}$ , или же ${ textstyle { sqrt { frac {2} {3}}} sigma _ {y}}$ . Это означает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений.

Приведенное уравнение фон Мизеса для различных напряженных условий

Критерий текучести фон Мизеса в 2D (плоских) условиях нагружения: если напряжение в третьем измерении равно нулю (

{ displaystyle sigma _ {3} = 0}

), для координат напряжений не ожидается текучести

{ displaystyle sigma _ {1}, sigma _ {2}}

в красной области. Поскольку критерий урожайности Трески находится в красной области, критерий фон Мизеса более слабый.

Одноосное (1D) напряжение

В случае одноосное напряжение или же простое напряжение, ${ displaystyle sigma _ {1} neq 0, sigma _ {3} = sigma _ {2} = 0}$ , критерий фон Мизеса просто сводится к

{ displaystyle sigma _ {1} = sigma _ { text {y}} , !}

,

это означает, что материал начинает уступать, когда ${ displaystyle sigma _ {1}}$ достигает предел текучести материала ${ displaystyle sigma _ { text {y}}}$ , в соответствии с определением предела текучести при растяжении (или сжатии).

Многоосное (2D или 3D) напряжение

An эквивалентное растягивающее напряжение или же эквивалентное напряжение фон Мизеса, ${ displaystyle sigma _ { text {v}}}$ используется для прогнозирования текучести материалов при условия многоосного нагружения с использованием результатов простых испытаний на одноосное растяжение. Таким образом, мы определяем

{ displaystyle { begin {align} sigma _ { text {v}} & = { sqrt {3J_ {2}}} & = { sqrt { frac {( sigma _ {11} - sigma _ {22}) ^ {2} + ( sigma _ {22} - sigma _ {33}) ^ {2} + left ( sigma _ {33} - sigma _ {11}) ^ {2} +6 ( sigma _ {12} ^ {2} + sigma _ {23} ^ {2} + sigma _ {31} ^ {2} right)} {2}}} & = { sqrt { frac {( sigma _ {1} - sigma _ {2}) ^ {2} + ( sigma _ {2} - sigma _ {3}) ^ {2} + ( sigma _ {3} - sigma _ {1}) ^ {2}} {2}}} & = { sqrt {{ frac {3} {2}} s_ {ij} s_ {ij}} } конец {выровнено}} , !}

куда ${ displaystyle s_ {ij}}$ компоненты тензор девиатора напряжений ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} ^ { text {dev}}}$ :

{ displaystyle { boldsymbol { sigma}} ^ { text {dev}} = { boldsymbol { sigma}} - { frac { operatorname {tr} left ({ boldsymbol { sigma}} вправо)} {3}} mathbf {I} , !}

.

В этом случае текучесть возникает, когда эквивалентное напряжение, ${ displaystyle sigma _ { text {v}}}$ , достигает предела текучести материала при простом растяжении, ${ displaystyle sigma _ { text {y}}}$ . Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца выполнены из одного материала. С учетом тензора напряжений, полностью описывающего напряженное состояние, эта разница проявляется в шести степени свободы, поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести фон Мизеса, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения фон Мизеса, т. Е. Одной степени свободы, это сравнение является прямым: большее значение фон Мизеса означает, что материал ближе к пределу текучести. точка.

В случае чистое напряжение сдвига, ${ Displaystyle sigma _ {12} = sigma _ {21} neq 0}$ , а все остальные ${ displaystyle sigma _ {ij} = 0}$ , критерий фон Мизеса принимает следующий вид:

{ displaystyle sigma _ {12} = k = { frac { sigma _ {y}} { sqrt {3}}} , !}

.

Это означает, что в начале текучести величина напряжения сдвига при чистом сдвиге равна ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ раз меньше, чем предел текучести при простом растяжении. Критерий текучести фон Мизеса для чистого напряжения сдвига, выраженного в главных напряжениях, имеет вид

{ displaystyle ( sigma _ {1} - sigma _ {2}) ^ {2} + ( sigma _ {2} - sigma _ {3}) ^ {2} + ( sigma _ {1} - sigma _ {3}) ^ {2} = 2 sigma _ {y} ^ {2} , !}

В случае напряжение главной плоскости, ${ displaystyle sigma _ {3} = 0}$ и ${ Displaystyle sigma _ {12} = sigma _ {23} = sigma _ {31} = 0}$ , критерий фон Мизеса принимает вид:

{ displaystyle sigma _ {1} ^ {2} - sigma _ {1} sigma _ {2} + sigma _ {2} ^ {2} = 3k ^ {2} = sigma _ {y} ^ {2} , !}

Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости ${ displaystyle sigma _ {1} - sigma _ {2}}$ .

Резюме

Состояние стресса	Граничные условия	уравнения фон Мизеса
Общий	Нет ограничений	${ displaystyle sigma _ { text {v}} = { sqrt {{ frac {1} {2}} left [( sigma _ {11} - sigma _ {22}) ^ {2} + ( sigma _ {22} - sigma _ {33}) ^ {2} + ( sigma _ {33} - sigma _ {11}) ^ {2} right] +3 left ( sigma _ {12} ^ {2} + sigma _ {23} ^ {2} + sigma _ {31} ^ {2} right)}}}$
Основные напряжения	${ Displaystyle sigma _ {12} = sigma _ {31} = sigma _ {23} = 0 !}$	${ displaystyle sigma _ { text {v}} = { sqrt {{ frac {1} {2}} left [( sigma _ {1} - sigma _ {2}) ^ {2} + ( sigma _ {2} - sigma _ {3}) ^ {2} + ( sigma _ {3} - sigma _ {1}) ^ {2} right]}}}$
Общее плоское напряжение	${ displaystyle { begin {align} sigma _ {3} & = 0 ! sigma _ {31} & = sigma _ {23} = 0 ! end {align}}}$	${ displaystyle sigma _ { text {v}} = { sqrt { sigma _ {11} ^ {2} - sigma _ {11} sigma _ {22} + sigma _ {22} ^ { 2} +3 sigma _ {12} ^ {2}}} !}$
Напряжение главной плоскости	${ displaystyle { begin {align} sigma _ {3} & = 0 ! sigma _ {12} & = sigma _ {31} = sigma _ {23} = 0 ! end { выровнено}}}$	${ displaystyle sigma _ { text {v}} = { sqrt { sigma _ {1} ^ {2} - sigma _ {1} sigma _ {2} + sigma _ {2} ^ { 2}}} !}$
Чистый сдвиг	${ displaystyle { begin {align} sigma _ {1} & = sigma _ {2} = sigma _ {3} = 0 ! sigma _ {31} & = sigma _ {23} = 0 ! Конец {выровнено}}}$	${ displaystyle sigma _ { text {v}} = { sqrt {3}} \| sigma _ {12} \| !}$
Одноосный	${ displaystyle { begin {align} sigma _ {2} & = sigma _ {3} = 0 ! sigma _ {12} & = sigma _ {31} = sigma _ {23} = 0 ! Конец {выровнено}}}$	${ Displaystyle sigma _ { текст {v}} = sigma _ {1} !}$

Физическая интерпретация критерия текучести фон Мизеса

Хенки (1924) предложили физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагающую, что податливость начинается, когда упругая энергия искажения достигает критического значения.^[6] По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий критерий максимальной деформации энергии деформации. Это происходит из отношения между ${ displaystyle J_ {2}}$ и энергия упругой деформации искажения ${ displaystyle W _ { text {D}}}$ :

{ displaystyle W _ { text {D}} = { frac {J_ {2}} {2G}} , !}

с модулем упругого сдвига

{ displaystyle G = { frac {E} {2 (1+ nu)}} , !}

.

В 1937 г. ^[9] Арпад Л. Надаи предположил, что уступка начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, то есть октаэдрического напряжения сдвига материала при текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, существующей между ${ displaystyle J_ {2}}$ и октаэдрическое напряжение сдвига, ${ displaystyle tau _ { text {oct}}}$ , которая по определению

{ displaystyle tau _ { text {oct}} = { sqrt {{ frac {2} {3}} J_ {2}}} , !}

таким образом у нас есть

{ displaystyle tau _ { text {oct}} = { frac { sqrt {2}} {3}} sigma _ { text {y}} , !}

Плотность энергии деформации состоит из двух составляющих - объемной или диациональной и искажающей. Объемный компонент отвечает за изменение объема без изменения формы. Компонент искажения отвечает за деформацию сдвига или изменение формы.

Практическое инженерное использование критерия текучести фон Мизеса

Использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести в точности применимо только тогда, когда свойства однородного материала равны

{ displaystyle { frac {F_ {sy}} {F_ {ty}}} = { frac {1} { sqrt {3}}} приблизительно 0,577 !}

Поскольку ни у одного материала не будет такого соотношения в точности, на практике необходимо использовать инженерную оценку, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. В качестве альтернативы, для использования теории Трески такое же отношение определяется как 1/2.

Запас прочности записывается как

{ displaystyle MS _ { text {yld}} = { frac {F_ {y}} { sigma _ { text {v}}}} - 1}

Хотя данный критерий основан на явлении текучести, обширные испытания показали, что использование напряжения "фон Мизеса" применимо при предельной нагрузке. ^[10]

{ displaystyle MS _ { text {ult}} = { frac {F_ {u}} { sigma _ { text {v}}}} - 1}