Лемма Эрлингса - Википедия - Ehrlings lemma

В математика, Лемма Эрлинга это результат относительно Банаховы пространства. Часто используется в функциональный анализ продемонстрировать эквивалентность определенных нормы на Соболевские пространства. Его предложил Гуннар Эрлинг.

Утверждение леммы

Позволять (Икс, ||·||_Икс), (Y, ||·||_Y) и (Z, ||·||_Z) - три банаховых пространства. Предположить, что:

• Икс является компактно встроенный в Y: т.е. Икс ⊆ Y и каждый || · ||_Икс-ограниченный последовательность в Икс имеет подпоследовательность то есть || · ||_Y-сходящийся; и
• Y является постоянно внедренный в Z: т.е. Y ⊆ Z и есть постоянная k так что ||у||_Z ≤ k||у||_Y для каждого у ∈ Y.

Затем для каждого ε > 0 существует постоянная C(ε) такой, что для всех Икс ∈ Икс,

${ Displaystyle | х | _ {Y} leq varepsilon | x | _ {X} + C ( varepsilon) | x | _ {Z}}$

Следствие (эквивалентные нормы для пространств Соболева)

Пусть Ω ⊂р^п быть открыто и ограниченный, и разреши k ∈ N. Предположим, что пространство Соболева ЧАС^k(Ω) компактно вложено в ЧАС^k−1(Ω). Тогда следующие две нормы о ЧАС^k(Ω) эквивалентны:

${ Displaystyle | cdot |: H ^ {k} ( Omega) to mathbf {R}: u mapsto | u |: = { sqrt { sum _ {| alpha | leq k} | mathrm {D} ^ { alpha} u | _ {L ^ {2} ( Omega)} ^ {2}}}}$

и

${ Displaystyle | cdot | ': H ^ {k} ( Omega) to mathbf {R}: u mapsto | u |': = ​​{ sqrt { | u | _ { L ^ {1} ( Omega)} ^ {2} + sum _ {| alpha | = k} | mathrm {D} ^ { alpha} u | _ {L ^ {2} ( Омега)} ^ {2}}}.}$

Для подпространства ЧАС^k(Ω), состоящий из функций Соболева с нулевой след (те, которые «равны нулю на границе» Ω), L¹ норма ты можно опустить, чтобы получить другую эквивалентную норму.

Рекомендации

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (1992). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-97952-4.

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.