Теорема Хеллингера – Теплица - Hellinger–Toeplitz theorem

В функциональный анализ, филиал математика, то Теорема Хеллингера – Теплица утверждает, что всюду определенный симметричный оператор на Гильбертово пространство с внутренним продуктом ${ Displaystyle langle cdot | cdot rangle}$ является ограниченный. По определению оператор А является симметричный если

${ displaystyle langle Ax | y rangle = langle x | Ay rangle}$

для всех Икс, у в области А. Обратите внимание, что симметричный повсеместно определенный операторы обязательно самосопряженный, поэтому эту теорему можно также сформулировать так: самосопряженный всюду определенный оператор ограничен. Теорема названа в честь Эрнст Дэвид Хеллингер и Отто Теплиц.

Эту теорему можно рассматривать как непосредственное следствие теорема о замкнутом графике, поскольку самосопряженные операторы закрыто. В качестве альтернативы это можно аргументировать, используя принцип равномерной ограниченности. При доказательстве теоремы полагаются на предположение о симметрии, следовательно, на структуру внутреннего продукта. Также важно то, что данный оператор А определена всюду (и, в свою очередь, полнота гильбертовых пространств).

Теорема Хеллингера – Теплица обнаруживает определенные технические трудности в математическая формулировка квантовой механики. Наблюдаемые в квантовой механике соответствуют самосопряженным операторам в некотором гильбертовом пространстве, но некоторые наблюдаемые (например, энергия) неограниченны. По Хеллингеру – Теплицу такие операторы не могут быть определены всюду (но они могут быть определены на плотное подмножество ). Возьмем, к примеру, квантовый гармонический осциллятор. Здесь гильбертово пространство L²(р) пространство квадратично интегрируемых функций на р, а оператор энергии ЧАС определяется как (предполагая, что единицы выбраны так, что ℏ =м = ω = 1)

${ displaystyle [Hf] (x) = - { frac {1} {2}} { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} f ( x) + { frac {1} {2}} x ^ {2} f (x).}$

Этот оператор самосопряженный и неограниченный (его собственные значения равны 1/2, 3/2, 5/2, ...), поэтому его нельзя определить на всем L²(р).

Рекомендации

• Рид, Майкл и Саймон, Барри: Методы математической физики, Том 1: Функциональный анализ. Academic Press, 1980. См. Раздел III.5.
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4660-5.