Сумма Lp - Lp sum

В математике и особенно в функциональный анализ, то L^п сумма из семья из Банаховы пространства способ превратить подмножество набор продуктов членов семьи в отдельное банаховое пространство. Конструкция мотивирована классическим L^п пробелы.^[1]

Определение

Позволять ${ Displaystyle (X_ {я}) _ {я в I}}$ - семейство банаховых пространств, где ${ displaystyle I}$ может иметь произвольно большую мощность. Набор

${ Displaystyle P: = prod _ {я in I} X_ {я},}$

векторное пространство продукта.

Набор индексов ${ displaystyle I}$ становится измерить пространство когда наделен его счетная мера (который мы обозначим через ${ displaystyle mu}$), и каждый элемент ${ displaystyle (x_ {i}) _ {я in I} in P}$ индуцирует функцию

${ Displaystyle I к mathbb {R}, я mapsto | x_ {i} |.}$

Таким образом, мы можем определить функцию

${ displaystyle Phi: P to mathbb {R} cup { infty }, (x_ {i}) _ {i in I} mapsto int _ {I} | x_ {i} | ^ {p} , d mu (i)}$

а затем устанавливаем

${ displaystyle sideset {} {^ {p}} bigoplus limits _ {i in I} X_ {i}: = {(x_ {i}) _ {i in I} in P mid Phi ((x_ {i}) _ {i in I}) < infty }}$

вместе с нормой

${ displaystyle | (x_ {i}) _ {i in I} |: = left ( int _ {i in I} | x_ {i} | ^ {p} , d mu (i) right) ^ {1 / p}.}$

В результате нормированный Банахово пространство, а это в точности L^п сумма ${ Displaystyle (X_ {я}) _ {я в I}}$.

Характеристики

• Когда бесконечно много ${ displaystyle X_ {i}}$ содержат ненулевой элемент, топология, индуцированная указанной выше нормой, находится строго между топологией продукта и коробки.
• Когда бесконечно много ${ displaystyle X_ {i}}$ содержат ненулевой элемент, L^п сумма не является ни товар ни сопродукт.

Рекомендации