Теорема М. Рисса о продолжении - M. Riesz extension theorem

В Теорема М. Рисса о продолжении это теорема в математика, доказано Марсель Рис [1] во время его изучения проблема моментов.[2]

Формулировка

Позволять E быть настоящий векторное пространство, F ⊂ E а векторное подпространство, и разреши K ⊂ E быть выпуклый конус.

А линейный функционал φF → р называется K-положительный, если принимает только неотрицательные значения на конусе K:

Линейный функционал ψE → р называется K-положительный расширение из φ, если он идентичен φ в области φ, а также возвращает значение не менее 0 для всех точек конуса K:

В целом K-положительный линейный функционал на F не может быть продлен до -положительный линейный функционал на E. Уже в двух измерениях получается контрпример, беря K быть верхней полуплоскостью с открытым негативом Икс-ось удалена. Если F это Икс-оси, то положительный функционал φ(Икс, 0) = Икс не может быть продолжен до положительного функционала на плоскости.

Однако расширение существует при дополнительном предположении, что для каждого у ∈ E Существует ИксF такой, что у − Икс ∈K; другими словами, если E = K + F.

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству Теорема Хана-Банаха (см. также ниже).

К трансфинитная индукция или же Лемма Цорна достаточно рассмотреть случай тусклогоE/F = 1.

Выбери любой уEF. Набор

Ниже мы докажем, что -∞ < аб. А пока выберите любой c удовлетворение аcб, и установите ψ(у) = c, ψ|F = φ, а затем расширить ψ ко всем E по линейности. Нам нужно показать, что ψ является K-положительный. Предполагать zK. Тогда либо z = 0, или z = п(Икс + у) или же z = п(Икс - у) для некоторых p> 0 и ИксF. Если z = 0, тогда ψ(z) ≥ 0. В первом оставшемся случае Икс + у = у - (-Икс) ∈ K, и так

по определению. Таким образом

Во втором случае Икс - уK, и так аналогично

по определению и так

Во всех случаях, ψ(z) ≥ 0, поэтому ψ является K-положительный.

Теперь докажем, что -∞ < аб. Обратите внимание, по предположению существует хотя бы один ИксF для которого у - ИксK, поэтому -∞ <а. Однако может случиться так, что нет x ∈ F для которого Икс - уK, в таком случае б = ∞ и неравенство тривиально (в этом случае заметим, что третий случай выше невозможен). Поэтому можно считать, что б <∞ и существует хотя бы один x ∈ F для которого Икс - уK. Для доказательства неравенства достаточно показать, что всякий раз, когда ИксF и у - ИксK, и Икс'F и х '- уK, тогда φ(Икс) ≤ φ(Икс'). В самом деле,

поскольку K - выпуклый конус, поэтому

поскольку φ является K-положительный.

Следствие: теорема Крейна о продолжении.

Позволять E быть настоящий линейное пространство, и разреши K ⊂ E быть выпуклый конус. Позволять Икс ∈ E(−K) быть таким, что р Икс + K = E. Тогда существует K-положительный линейный функционал φE → р такой, что φ(Икс) > 0.

Связь с теоремой Хана – Банаха.

Теорема Хана – Банаха выводится из теоремы М. Рисса о продолжении.

Позволять V - линейное пространство, и пусть N быть сублинейной функцией на V. Позволять φ - функционал на подпространстве U ⊂ V в котором преобладают N:

Теорема Хана – Банаха утверждает, что φ продолжается до линейного функционала на V в котором преобладают N.

Чтобы вывести это из теоремы М. Рисса о продолжении, определим выпуклый конус K ⊂ р×V к

Определите функционал φ1 на р×U к

Видно, что φ1 является K-положительный, и что K + (р × U) = р × V. Следовательно φ1 можно расширить до K-положительный функционал ψ1 на р×V. потом

желаемое расширение φ. Действительно, если ψ(Икс) > N(Икс), у нас есть: (N(Икс), Икс) ∈ K, в то время как

приводит к противоречию.

Примечания

Рекомендации

  • Кастильо, Рене Э. (2005), «Заметка о теореме Крейна» (PDF), Lecturas Matematicas, 26, заархивировано из оригинал (PDF) на 2014-02-01, получено 2014-01-18
  • Рис, М. (1923), "Sur le problème des moment. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (На французском), 17 (16), JFM  49.0195.01
  • Ахиезер, Н. (1965), Классическая проблема моментов и некоторые смежные вопросы анализа, Нью-Йорк: Hafner Publishing Co., МИСТЕР  0184042