Положительный линейный оператор - Positive linear operator

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Положительный линейный оператор»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июнь 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) В ведущий раздел этой статьи может потребоваться переписать. Приводится следующая причина: Заголовок должен представлять собой краткое изложение основной части статьи. Использовать руководство по макету свинца чтобы раздел соответствовал нормам Википедии и содержал все важные детали. (Июнь 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, более конкретно в функциональный анализ, а положительный линейный оператор из предварительно упорядоченное векторное пространство (Икс, ≤) в предварительно упорядоченное векторное пространство (Y, ≤) является линейный оператор ж на Икс в Y такой, что для всех положительные элементы Икс из Икс, то есть Икс ≥ 0 справедливо ж(Икс) ≥ 0. Другими словами, положительный линейный оператор отображает положительный конус домен в положительный конус codomain.

Каждый положительный линейный функционал является типом положительного линейного оператора. Значение положительных линейных операторов заключается в таких результатах, как Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани.

Канонический порядок

Позволять (Икс, ≤) и (Y, ≤) - предупорядоченные векторные пространства, и пусть ${ Displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ - пространство всех линейных отображений из Икс в Y. Набор ЧАС всех положительных линейных операторов в ${ Displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ конус в ${ Displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ который определяет предварительный заказ на ${ Displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$. Если M является векторным подпространством в ${ Displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ и если ЧАС ∩ M является собственным конусом, то этот собственный конус определяет канонический частичный заказ на M изготовление M в частично упорядоченное векторное пространство.^[1]

Если (Икс, ≤) и (Y, ≤) являются упорядоченные топологические векторные пространства и если ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ семейство ограниченных подмножеств Икс чей союз охватывает Икс затем положительный конус ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ в ${ Displaystyle L (X; Y)}$, которое является пространством всех непрерывных линейных отображений из Икс в Y, закрыто в ${ Displaystyle L (X; Y)}$ когда ${ Displaystyle L (X; Y)}$ наделен ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$-топология.^[1] За ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ быть правильным конусом в ${ Displaystyle L (X; Y)}$ достаточно, чтобы положительный конус Икс быть полным в Икс (т.е. промежуток положительного конуса Икс быть плотным в Икс). Если Y является локально выпуклым пространством размерности больше 0, то это условие также необходимо.^[1] Таким образом, если положительный конус Икс всего в Икс и если Y является локально выпуклым пространством, то канонический порядок ${ Displaystyle L (X; Y)}$ определяется ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ это обычный заказ.^[1]

Характеристики

Предложение: Предположим, что Икс и Y заказаны локально выпуклый топологические векторные пространства с Икс быть Макки пространство на котором каждый положительный линейный функционал непрерывно. Если положительный конус Y это слабо нормальный конус в Y то каждый положительный линейный оператор из Икс в Y непрерывно.^[1]

Предложение: Предполагать Икс это ствол упорядоченное топологическое векторное пространство (TVS) с положительным конусом C это удовлетворяет Икс = C - C и Y это полурефлексивный заказал ТВС с положительным конусом D это нормальный конус. Дайте L(Икс; Y) его канонический порядок и пусть ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ быть подмножеством L(Икс; Y), направленного вверх и либо мажорируемого (т.е. ограниченного сверху некоторым элементом L(Икс; Y)) или просто ограничен. потом ${ Displaystyle и = sup { mathcal {U}}}$ существует и фильтр раздела ${ Displaystyle { mathcal {F}} left ({ mathcal {U}} right)}$ сходится к ты равномерно на каждом предкомпактном подмножестве Икс.^[1]

Смотрите также

• Насыщенный конусом
• Положительный линейный функционал
• Векторная решетка

Рекомендации

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.