Кубики семейства Рубиков всех размеров - Википедия - Rubiks family cubes of all sizes

Оригинал Кубик Рубика представлял собой механическую кубическую головоломку 3 × 3 × 3, изобретенную в 1974 году венгерским скульптором и профессором архитектуры. Эрне Рубик. Расширения кубика Рубика существуют уже давно и представлены как в аппаратной, так и в программной форме. Основным дополнением стало появление кубов большего размера и более сложных кубов с отмеченными центрами. Свойства кубиков семейства Рубика любого размера вместе с особым вниманием к программным кубам - вот основная тема этой статьи. Многие свойства являются математическими по своей природе и являются функциями переменной размера куба.

Определения

В основном, используемая здесь терминология согласуется с общепринятой. В других местах некоторые термины используются в разных значениях. Чтобы избежать неправильных представлений, значения большинства терминов, используемых в этой статье, определены ниже.

Размер куба	Стандартный кубик Рубика часто называют кубом 3 × 3 × 3. Этот куб будет называться кубом размера 3 и в целом ${ Displaystyle п раз п раз п}$ куб будет называться размером ${ displaystyle n}$ куб.
Семейство кубиков рубика	Кубики, которые имеют те же вращательные свойства, что и стандартный кубик Рубика 3 размера, и подчиняются общим правилам для размера ${ displaystyle n}$ кубик считаются членами семейства кубиков Рубика. Доступны кубики размера 2 и выше, соответствующие этому условию.
Cubie	Отдельные элементы куба будут называться кубиками (другие иногда называют их «кублетами»). Существует три типа кубов: угловые кубы (три цветные поверхности), краевые кубы (две цветные поверхности) и центральные кубы (одна цветная поверхность). Абсолютные центральные кубы для кубов нечетного размера располагаются на центральных осях шести граней, и их относительное положение никогда не меняется.
Кабина	Кабинка - это отсек, в котором находится кубик. Для перестановки (определенной ниже) ячейки считаются занимающими фиксированные позиции в пространстве, занимаемом кубическим объектом, но их содержимое (кубы) может сдвигать положение.
Facelet	Грань - это видимая цветная поверхность куба (угловые кубы имеют три грани, краевые кубы - две, а центральные кубы - одну).
Кубический стиль	Здесь упоминаются два стиля куба: во-первых, стандартный куб с неотмеченными центрами, а во-вторых, куб с отмеченными центрами.
Состояние куба	Конкретное расположение кубов будет называться состоянием куба. То, что выглядит одинаково, считается одинаковым (если не указано иное). Каждое состояние имеет равную вероятность быть произведенным после подлинной случайной последовательности скремблирования. Вращение всего куба не меняет рассматриваемого здесь состояния. В других текстах различные состояния часто называют перестановками или договоренностями.
Слой куба	Слой куба - это срез куба толщиной в один кубик, перпендикулярный его оси вращения. Внешние слои (грани) содержат больше кубов, чем внутренние слои. Для куба размером ${ displaystyle n}$, будут ${ displaystyle n}$ слои вдоль любой заданной оси.
Грань куба	Значение грани куба зависит от контекста, в котором она используется. Обычно это означает один из шести трехмерных внешних слоев, но может также относиться только к поверхности внешнего слоя, которая перпендикулярна его оси вращения. Лица обычно обозначаются как вверх (U), вниз (D), спереди (F), сзади (B), слева (L) и справа (R).
Установить состояние	Установленное (или решенное) состояние куба - это состояние, при котором на каждой из шести граней появляется однородный цвет. Для кубов с отмеченными центрами установленное состояние характеризуется уникальным расположением всех центральных кубов, и маркировка этих кубов должна отражать это.
Зашифрованное состояние	Состояние скремблирования - это отправная точка для расшифровки куба. Он возникает, когда куб в наборе или любом другом состоянии подвергается большому количеству случайно выбранных вращений слоев.
Оси вращения «неподвижно в пространстве»	Есть три взаимно перпендикулярные оси вращения для куба. Один набор осей, определенный в терминах D, U, B, F, L и R, можно рассматривать как имеющий фиксированную ориентацию в пространстве. Думайте об этих осях как о принадлежащих кубу контейнеру, в котором кубический объект может быть расположен в любой из 24 ориентаций. Одна ось может быть проведена через центры граней D и U (ось DU). Остальные - оси BF и LR.
Оси вращения «кубического объекта»	Другой набор осей может быть определен для самого объекта куба. Эти оси относятся к цветам лица, наиболее распространенными из которых являются белый, красный, оранжевый, желтый, зеленый и синий. Оси обычно бело-синие, красно-оранжевые и желто-зеленые. Для кубов нечетного размера эти оси всегда фиксируются относительно внутренней рамки кубического объекта. Для кубов равного размера эти оси остаются фиксированными относительно внутренней рамки объекта куба после первоначального выбора. Начало координат осей - это центр куба.
Вращение слоя	Единственный способ изменить состояние куба - это поворачивать слои куба вокруг их осей вращения. Все изменения состояния включают шаги вращения, которые можно рассматривать как последовательность четверть оборота одного слоя.
Орбита	Для базовой четверти оборота слоя куба для кубов всех размеров наборы из четырех кубов перемещаются по отдельным траекториям с четырьмя ячейками. Когда все возможные траектории для данного типа куба рассматриваются для всего куба, мы будем называть все возможные положения движения находящимися на данной орбите. Мы считаем, что куб размера 3 имеет две орбиты: одна, на которой восемь угловых кубов ограничены для движения, а другая, в которой 12 краевых кубов вынуждены двигаться. Перемещение кубиков между этими орбитами невозможно. Для кубов размера 4 и выше мы также определим орбиту граничного куба как состоящую из 12 кубов, но будем использовать термин дополнительная орбита для описания пары орбит, между которыми могут перемещаться граничные кубы. Пара дополнительных реберных кубических орбит содержит всего 24 куба. Кубы размера 4 и выше включают в себя центральные кубические орбиты, содержащие 24 куба. Перенос кубиков с одной такой орбиты на другую невозможен (относится к кубам размером 5 и выше).
Двигаться	Движение - это поворот на четверть оборота слоя или последовательность таких четверть оборота, которые человек может применить как один шаг.
Обозначение перемещения	Четверть оборота по часовой стрелке внешнего слоя обычно обозначается буквами U, D, F, B, L или R. В остальном используемые обозначения различаются среди авторов. Например, четверть оборота против часовой стрелки внешнего слоя можно выразить как U ', D', F ', B', L 'или R'.
Алгоритм	Алгоритм определяет последовательность поворотов слоев для преобразования данного состояния в другое (обычно менее скремблированное) состояние. Обычно алгоритм выражается в виде печатаемой последовательности символов в соответствии с некоторыми обозначениями хода. Алгоритм можно считать «умным» ходом. Все алгоритмы являются ходами, но некоторые ходы считаются алгоритмами.
Перестановка	Перестановка куба, как здесь используется, означает акт перестановки (то есть перестановки) положений кубов. Перестановка - это всеобъемлющий термин, который включает последовательность четвертей оборота любой длины. Даже решение куба из зашифрованного состояния представляет собой перестановку. Термин «перестановка» широко используется математиками, которые используют Теория групп для количественной оценки процесса перестановки кубов. Термин «перестановка» также часто используется для обозначения состояния куба, которое возникает после его перестановки, но это значение здесь не используется. В таких случаях будет использоваться термин «состояние куба». Это позволяет использовать термин «перестановка», когда перестановка не приводит к изменению состояния - область, представляющая особый интерес для перестановок кубиков семейства Рубика.
Паритет	Перестановка куба может быть представлена ​​несколькими перестановками двух кубов. Если это число четное, перестановка имеет четность, а если число нечетное, перестановка имеет нечетную четность.

Типы куба

Аппаратные кубики

Аппаратные (физические) кубы основаны на оригинальном кубе размера 3, изобретенном Эрно Рубиком в 1974 году. Эти кубики обычно используют цветные наклейки на гранях для идентификации куба. В Размер 3 стандартный кубик Рубика вызвал пик интереса в 1980-х годах, и за ним последовали размер 4 (Месть Рубика) куб. Другие, обычно доступные в последнее время, аппаратные формы куба входят в размер 2 (Карманный куб), размер 5 (Куб профессора), размер 6 (V-Cube 6) и размер 7 (V-Cube 7). Также были произведены менее известные аппаратные кубы больших размеров. В настоящее время самый большой производимый аппаратный куб имеет размер 33, а самый крупный серийный куб - размер 17.^[1].

Программные кубы

Параллельно с аппаратной формой куба доступно множество программных форм, которые подчиняются тем же правилам, что и аппаратные формы. Программный куб эмуляторы не подвергаются физическим ограничениям, которые накладывают ограничение на размер аппаратных форм. Следовательно, доступны только действительно большие кубы в программной форме. Кроме того, в отличие от аппаратных форм, с помощью одной программы можно легко приспособить кубы различных размеров. Конструктивные характеристики программ, которые позволяют пользователям расшифровывать кубы, значительно различаются, при этом часто доступны такие функции, как возможность сохранять частично расшифрованное состояние.

Программные кубы использовались в 1980-х годах, когда широко использовались монохромные мониторы. Отсутствие цвета означало, что требовался другой способ идентификации лица. А программа который сохранил возможность монохромного изображения 1980-х годов (с использованием цифр от 1 до 6 для обозначения лицевых панелей) для кубов размером от 2 до 11 был произведен в 1991 году (вместе с возможностью цветности в диапазоне от 2 до 15). В недавно разработанных программных кубах используются цветные лицевые панели, как в аппаратных кубах.

Наиболее распространенный, но отнюдь не универсальный подход - имитировать куб, предоставляя «трехмерное» отображение куба, которое делает его похожим на настоящий аппаратный куб. Недостатком «трехмерного» отображения является то, что без некоторых дополнительных улучшений состояние частей куба для любого данного вида скрыто.

Некоторые программисты также используют другие подходы к интерактивному программному обеспечению, которые не имитируют трехмерный куб. Как правило, цель таких подходов - обеспечить постоянное наблюдение за состоянием всех кубов, но имеет недостаток (для некоторых зрителей), заключающийся в том, что отображение не похоже на куб реального мира. Обычное двухмерное (развернутое) отображение со всеми элементами куба одинакового размера - это один из подходов. Также используется другая форма отображения, при которой все элементы куба не имеют равного размера. Верхний предел размера куба программного обеспечения ограничен доступными пикселями монитора и тем, что зрители считают приемлемым, что, в свою очередь, зависит от их остроты зрения. Для кубов большого размера может быть выгодно позволить прокрутке части куба за пределами поля зрения.

Все эмуляторы предоставляют пользователю средства для пошагового изменения состояния куба и расшифровки куба. Большинство эмуляторов используют движения мыши для управления вращением элементов куба, другие используют команды клавиатуры, а некоторые используют их комбинацию.

Программные кубы предоставляют некоторые основные возможности, которые невозможны с аппаратными кубами. Всегда доступен мгновенный возврат в заданное состояние. Если программа позволяет сохранить частично расшифрованное состояние, то, регулярно обновляя сохраненное состояние, пользователям не нужно отчаиваться, если они делают что-то, что оставляет их куб в беспорядке. Они могут вернуться к ранее записанному состоянию и продолжить оттуда. Чем больше куб, тем полезнее становится такая возможность.

Немного Бесплатное ПО реализация большого куба (размер больше 10) имеется в наличии.

Варианты конструкции куба

Хотя существует несколько вариантов, здесь будут рассмотрены только два:

• Стандартные кубики с немаркированным центром.
• Кубики с отмеченными центрами.

Стандартные кубики с немаркированными центрами

Двухслойный куб (размер 2) имеет только угловые кубы.

Кубы размера 2 и размера 3 имеют единое решение, что означает, что все элементы куба могут иметь только одно правильное расположение для решенного куба.

Центральные кубы отличаются от угловых и краевых кубов тем, что их ориентация или положение имеют несколько возможностей. Для кубов нечетного размера будет центральный куб, расположенный по центру на грани куба, и у этого куба есть только одно правильное местоположение для решенного куба. Тем не менее, для решенного куба применяется несколько местоположений всех остальных центральных кубов. Центральные кубы (кроме единственного центрального куба нечетного размера) образуют наборы из четырех на каждой грани и наборы из 24 для всего куба для различных орбит. Эти центральные кубы имеют четыре возможных конечных положения (их ориентация меняется вместе с положением, но не может быть изменена независимо), которые удовлетворяют решенному состоянию.

Кубики с отмеченными центрами

Как правило, аппаратные кубы с отмеченными центрами используют изображения или логотипы на гранях, чтобы указать, какая ориентация центрального куба (ов) требуется для решенного куба. Такие кубы также называют «суперкубами», и маркировка этого типа обычно ограничивается кубиками очень маленького размера.

Собирать куб с отмеченными центрами значительно сложнее, чем для стандартных кубов. Использование разметки изображения лобзиком на кубах большого размера сделало бы трудную задачу еще более сложной. В настоящее время на программных кубах используются две возможности: использование числового графического изображения в диапазоне от «1» до «4» и использование графического обозначения углов.

Между числовой и угловой маркировкой существует прямое соответствие. Маркировка квадранта в верхнем левом углу эквивалентна цифровой маркировке 1, второй квадрант - 2, третий квадрант - 3 и четвертый квадрант - 4. Следующее изображение иллюстрирует эти различные формы маркировки.

Поскольку перемещение кубов между орбитами невозможно, для каждой орбиты можно использовать одинаковые отметки 1-2-3-4. За исключением абсолютных центральных кубов для кубов нечетного размера, на каждой орбите 24 центральных куба (по 4 на грань). Если ${ displaystyle n}$ размер куба, будет ${ displaystyle { frac { left (n-2 right) ^ {2} -a} {4}}}$ орбиты, где ${ displaystyle a}$ равно нулю, если ${ displaystyle n}$ даже или ${ displaystyle a}$ один, если ${ displaystyle n}$ странно.

Цифровая маркировка обычно применяется для кубов размером примерно до 32. Угловая маркировка, хотя и менее удобна для пользователя, может позволить расширить диапазон отмеченных центров за пределы числовой маркировки.

За исключением разметки абсолютного центра для кубов нечетного размера, числовая разметка будет лучшим средством разметки центрального куба для аппаратных кубов, поскольку диапазон их размеров ограничен. Вращение чисел будет означать небольшое неудобство по сравнению с неповорачиваемыми числами, которые можно использовать для программных кубов. Большим преимуществом чисел является то, что они уменьшают сложность решения последней грани куба, когда используются разметки (например, если последовательность из четырех чисел составляет 1-3-4-2 (даже при четности, требуется два обмена, чтобы стать требуется 1-2-3-4), то требования к алгоритму ясны. Алгоритмы были определены в^[2] и, конечно же, в равной степени применимы к аппаратным кубам.

Правила для кубиков семьи Рубика

Куб разрешим, если заданное состояние существовало какое-то время в прошлом и если не произошло никакого вмешательства в куб (например, путем перестановки наклеек на аппаратных кубах или путем выполнения аналогичных действий на программных кубах). Правила для кубика Рубика типоразмера 3^[3][4] и для всего семейства кубиков Рубика^[5] были задокументированы. Эти правила ограничивают возможные варианты расположения и означают, что из возможных неограниченных расположений кубов число недостижимых намного превышает число доступных.

Кубики всех размеров имеют три взаимно перпендикулярные оси, вокруг которых можно вращать один или несколько слоев. Все движения куба можно рассматривать как последовательность четвертьоборотных вращений вокруг этих осей. Возможности движения порождают набор правил (или законов), которые в большинстве случаев могут быть выражены в аналитических терминах.

Для куба размером ${ displaystyle n}$:

Количество угловых кубиков	${ displaystyle 8}$
Количество граничных кубов	${ Displaystyle 12 влево (п-2 вправо)}$
Количество центральных кубов	${ Displaystyle 6 влево (п-2 вправо) ^ {2}}$
Количество фасеток	${ displaystyle 6n ^ {2}}$
Общее количество кубиков	${ Displaystyle 6 влево (п-1 вправо) ^ {2} +2}$
Увеличение общего количества кубов на единицу увеличения размера куба с ${ displaystyle n}$ к ${ Displaystyle влево (п + 1 вправо)}$	${ displaystyle 12n-6}$

Каждое движение куба можно рассматривать как перестановку. Связь между состоянием куба после хода и состоянием до хода можно математически выразить с помощью теории групп.^[6][7][8] для количественной оценки перестановок. Поскольку каждое движение можно рассматривать как последовательность четвертьоборотных вращений, уместно исследовать, что входит в четвертьоборотные вращения. За исключением абсолютного центрального куба для кубов нечетного размера, во время четверти оборота кубики перемещаются по отдельным траекториям с четырьмя ячейками (также называемое 4-тактовым движением, поскольку четыре четверти оборота вернут кубики по указанной траектории в их исходное положение. ). Четверть оборота набора из 4 кубов может быть представлена ​​тремя перестановками, как показано ниже, где подмена 1-2 означает, что содержимое ячейки 1 заменяется содержимым ячейки 2 и т. Д.

Паритет^[9] перестановки относится к тому, является ли эта перестановка четной или нечетной. Четная перестановка - это та, которая может быть представлена ​​четным числом перестановок, а нечетная перестановка - это та, которая может быть представлена ​​нечетным количеством перестановок. Нечетная перестановка, за которой следует нечетная перестановка, будет представлять общую четную перестановку (добавление двух нечетных чисел всегда возвращает четное число). Поскольку четверть оборота состоит из ряда 4-х циклов, каждый из которых включает три свопа, если количество 4-х циклов нечетное, общая четность перестановки четвертьоборота будет нечетной, и наоборот.

Четвертьоборотный паритет перестановки для размера ${ displaystyle n}$ куб приведен в следующей таблице.

Размер куба (нечетное или четное)	Тип слоя	Количество 4-тактных движений	Общий паритет
странный	внутренний	${ displaystyle n-1}$	четное
странный	внешний	${ Displaystyle { гидроразрыва { влево (п-2 вправо) ^ {2} -1} {4}} + влево (п-1 вправо)}$	четное[а]
четное	внутренний	${ displaystyle n-1}$	странный
четное	внешний	${ Displaystyle влево ({ гидроразрыва {п} {2}} - 1 вправо) ^ {2} + влево (п-1 вправо)}$	даже если ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ даже [b] странно, если ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ странно
^ С ${ Displaystyle влево (п-2 вправо) ^ {2} -1}$ равно ${ Displaystyle влево (п-1 вправо) влево (п-3 вправо)}$, произведение двух последовательных четных чисел, которые всегда должны делиться на 8 без остатка. ^ С ${ displaystyle left ({ frac {n} {2}} - 1 right) ^ {2}}$ будет странно, если ${ displaystyle left ({ frac {n} {2}} - 1 right)}$ нечетное (т.е. если ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ является четным) дает общий результат, даже если ${ Displaystyle (п-1)}$ странно. Обратное верно, если ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ странно.

Обобщая приведенные выше результаты паритета, можно сделать вывод:

• Все перестановки для кубов нечетного размера имеют четную общую четность.
• Все отдельные четверти оборота для кубов четного размера, где половина размера куба - нечетное число, имеют общую нечетную четность.
• Для кубов четного размера, где половина размера куба является четным числом, четверть оборота внутреннего слоя имеют нечетную общую четность, а четверть витков внешнего слоя имеют четную общую четность.

В приведенном выше анализе учитывалась четность для углового (где применимо), краевого и центрального кубов вместе взятых. Их можно рассматривать изолированно, и когда это будет сделано, четная комбинированная четвертьоборотная четность будет включать ряд нечетных элементов четности.

Стандартные кубы (то есть кубы с немаркированным центром) любого размера больше 3 ведут себя точно так же, как куб размера 3, если разрешено только вращение внешнего слоя. Правила четности диктуют, что для кубов нечетного размера замена двух кубов в одном наборе ребер требует изменения положения центральных кубов. Это можно показать^[5] что для куба размера 4 перестановка и инверсия двух дополнительных кубов в одном наборе ребер может быть достигнута без каких-либо изменений положения любых других кубов. Также можно показать, что для кубов четного размера 6 и выше замена двух кубов в одном наборе ребер требует изменения положения центральных кубов.

Используемая здесь перестановка учитывает изменение положения кубиков, а не изменение их ориентации. Для 24-х сторонних наборов кубов (состоящих из 12 дополнительных пар) ограничений по положению нет. Ориентация задается положением и не может быть изменена независимо от положения.

Угловые кубики ведут себя одинаково для кубиков всех размеров. У них есть три возможных ориентации, состоящих из комбинации ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ скручивания, где полный поворот (вокруг оси, проведенной от угла куба к внутреннему углу куба) возвращает угловой куб в его исходную ориентацию. Если обозначить единицу поворота по часовой стрелке как ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ и поворот против часовой стрелки на ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, то возможности поворота углового куба относительно любого заданного начального состояния (например, заданного состояния) равны 0, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ и ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$. Сумма приращений скручивания по всем угловым кубам всегда должна быть целым числом (0, 1 или 2).

Когда вращение внутреннего слоя включено для кубов размером больше 3, некоторые из упомянутых выше ограничений перемещения куба края больше не применяются. Они подробно описаны в Проблемы последнего слоя раздел.

Положение и ориентация куба имеют особое значение при расшифровке последнего слоя. Перед скремблированием граничные кубы всегда должны занимать те же позиции, которые они занимали в исходном установленном состоянии. Если какой-либо реберный куб в данном наборе ребер в последнем слое имеет неправильную ориентацию (применимо только к кубам размером больше 3), он должен быть в неправильном положении, и его нужно будет заменить на дополнительный реберный куб, также имеющий неправильную ориентация. При наличии всего остального угловые кубы могут быть в правильном положении, но два или более могут иметь неправильную ориентацию. Для стандартных кубов размером больше 3 существует незначительная вероятность того, что центральные кубы (кроме абсолютных центральных кубов для кубов нечетного размера) будут занимать те же позиции, что и в исходном заданном состоянии (при условии, что центральные кубы не отмечены).

Кубы четного и нечетного размера с отмеченными или немаркированными центрами подчиняются правилу: «Любая перестановка, которая приводит только к перестановке центральных кубов на 24 кубических орбитах, должна иметь четность».

Если рассматриваются перестановки граней, а не кубов, то во внимание будут приниматься как положение, так и ориентация кубов. Для программных кубов состояния (шесть вариантов цвета) ${ displaystyle 6n ^ {2}}$ лица (в ${ Displaystyle 6 раз п раз п}$ array) - это то, что позволило бы сохранить полную информацию о состоянии куба для дальнейшего использования.

Куб любого размера, который подвержен повторениям одной и той же перестановки, в конечном итоге вернется в состояние (например, установленное состояние), которое он занимал до первого применения перестановки.^[6][7] Количество раз, которое необходимо применить перестановку, чтобы сначала вернуть куб в его начальное состояние, называется порядком или длиной цикла перестановки и применимо к кубам всех размеров. Общая перестановка, которая не приводит к изменению состояния, называется перестановкой идентичности. Доступна программа, которая позволяет определять длину цикла перестановки куба любого размера.^[10] документированы результаты продолжительности цикла выборки.^[5] Для данной перестановки длина цикла может варьироваться в зависимости от:

• Размер куба.
• Исходное состояние куба (для стандартных кубов с немаркированным центром).
• Стиль куба (используются стандартные или отмеченные центры).
• Пространственная ориентация (проверка всех 24 из них, а не только одного, может дать другой результат).

Четность перестановки идентичности всегда четная. Этот результат для кубов нечетного размера, очевидно, верен, поскольку каждая четверть оборота имеет четность. Результат менее очевиден для кубиков одинакового размера. Для кубов четного размера, если перестановка скремблирования относительно предыдущего состояния набора является нечетной, тогда любая перестановка для решения куба также должна иметь нечетную четность, и наоборот.

Обобщенное количество возможных состояний для размера ${ displaystyle n}$ куб рассматривается в Доступные состояния для кубиков любых размеров раздел.

Решение куба

Решение людей

Решение куба включает в себя начало со скремблированным кубом и применение пошаговых поворотов слоев, чтобы в конечном итоге получить решенный куб. Для кубов с немаркированным центром это означает, что все грани должны быть одного цвета. Для кубов с отмеченными центрами необходимо будет применить уникальное расположение всех центральных кубов в дополнение к требованию единого цвета. Поскольку начальная точка всегда разная, никогда не может быть уникального набора поворотов, который можно было бы применить для построения куба. Обычно люди работают над решением с возможным использованием алгоритмы, в основном на последней стадии расшифровки. Теоретически человек может написать компьютерную программу, которая «думает» как человек и решает куб без вмешательства человека (см. Решение компьютерной программой раздел).

Целью большинства программных эмуляторов куба является предоставление пользователю средств взаимодействия с программой для решения (расшифровки) куба аналогично тому, как они бы расшифровывали аппаратный куб.

Эффективные последовательности вращения (алгоритмы) могут быть разработаны с использованием математики перестановок теории групп. Тем не менее, есть много ссылок на соответствующие последовательности вращения, необходимые для решения кубиков небольшого размера (см. Некоторые для размеров 3, 4 и 5 кубов.^{[11][12][13][14]}), и есть несколько подходов к тому, какие шаги можно использовать. Не существует неправильного способа собрать куб. Шаги, необходимые для решения любого куба размера больше 4, являются довольно простыми расширениями шагов, необходимых для решения кубов размера 3 и 4. Однако существует ограниченное количество обобщенных инструкций, которые можно применить для решения кубов любого размера (особенно больших). Обобщенное руководство по одному из способов решения стандартных кубов^[15] и кубики с отмеченными центрами^[2] всех размеров имеется в наличии.

Любой, кто может собрать куб размером 4, должен иметь возможность собирать кубы большего размера при условии, что он принимает увеличенный штраф за время сборки. Функции разработки программного обеспечения, недоступные в аппаратных кубах, могут упростить процесс решения куба. Для данного набора конструктивных особенностей куба сложность (сложность) решения куба семейства Рубика увеличивается, если количество достижимых состояний увеличивается. На это число влияют три основных свойства:

1. Размер куба: количество размещаемых кубиков квадратичная функция (полином второго порядка) размером куба и поэтому имеет большое влияние на сложность решения куба.
2. Нечетный или четный размер: кубы четного размера имеют дополнительный эффект по сравнению с размером куба, что добавляет сложности по сравнению с кубами нечетного размера. Этот эффект относительно невелик и не зависит от размера куба (дополнительный вклад, когда размер куба изменяется от ${ displaystyle n}$ к ${ Displaystyle влево (п + 1 вправо)}$ за ${ displaystyle n}$ нечетное постоянное). Этот эффект будет расширен при рассмотрении количества достижимых состояний позже.
3. Неотмеченные или отмеченные центральные кубы. Маркировка центрального куба усложняет решение кубиков.

Дополнительные алгоритмы, помогающие пользователям решить размер 3^[16] и решить любой размер^[2] куб с отмеченными центрами.

Проблемы с большими кубами

Доступны эмуляторы больших кубов, предназначенные для работы с кубами размером до 100 и более. Независимо от заявленного верхнего предела размера доступные пиксели (которые различаются в зависимости от используемого монитора) и острота зрения пользователя накладывают практические ограничения на максимальный размер куба, с которым может справиться человек.

Как указано в Правила для кубиков семьи Рубика секции, общее количество кубиков ${ Displaystyle влево {6 влево (п-1 вправо) ^ {2} +2 вправо }}$, а количество центральных кубов равно ${ Displaystyle 6 влево (п-2 вправо) ^ {2}}$, куда ${ displaystyle n}$ размер куба. Для кубиков большого размера количество центральных кубиков становится очень важным, как показано ниже.

Отсюда следует, что размещение центральных кубов будет становиться все более значимым, чем размещение других кубов, по мере увеличения размера куба. Время, необходимое для сборки куба, резко возрастает с увеличением размера куба. Например, в куб размером 16 нужно разместить примерно в 24 раза больше кубов, чем в кубе размера 4. Если бы среднее время для установки куба было одинаковым в обоих случаях, этот множитель 24 также применим. Фактор 24, вероятно, будет заниженным, потому что наличие большого количества кубиков затрудняет (и требует времени) определение того, что и где находится.

Создать программу, позволяющую изменять состояние кубов большого размера, не намного сложнее, чем сделать то же самое для кубов небольшого размера. Однако решение больших кубиков - гораздо более сложная и трудоемкая задача, чем то же самое для маленьких кубиков. Следовательно, вероятно, что большинство действительно больших программных кубов, которые доступны, никогда не были решены.

Определение точных мест для поиска кубов (в основном, четырехместных центральных кубов) является серьезной проблемой для больших кубов. Использование вторичной сетки маркеров^[10] может облегчить идентификацию. Например, можно использовать маркерную сетку для формирования 4 × 4 сегментов для куба размером 16 (16 таких сегментов на грань).

Общий набор из шести цветов кубов, принятых как для кубов оборудования, так и для кубов программного обеспечения, включает белый, красный, оранжевый, желтый, зеленый и синий. Этот набор цветов может быть неоптимальным для программных кубов большого размера, где количество пикселей на кубик мало. Например, различие между белым и желтым может быть проблематичным. Уменьшение количества цветов в диапазоне от красного до синего с пяти до четырех и добавление фиолетового (цвет в крайнемвидимый спектр ) создает набор цветов, который можно считать более подходящим для кубиков большого размера. Некоторые реализации программных кубов позволяют пользователям при желании изменять набор цветов по умолчанию. Это полезное дополнение для пользователей, у которых цветовое восприятие не соответствует норме.

Решение компьютерной программой

Решение куба компьютерной программой^[17] (в отличие от обычного способа, которым люди собирают куб) для кубиков небольшого размера (например, размера 3) была разработана, и столь же легко решать кубики большого размера на компьютере.

Проблемы последнего слоя

«Проблема последнего слоя» определяется здесь, чтобы означать необходимость перестановки кубиков края последнего слоя, что не может быть достигнуто с помощью движений куба стандартного размера 3. Их часто называют проблемами четности или ошибками, но такая терминология может вводить в заблуждение. Если бы ходы были ограничены доступными для куба размера 3, такие состояния были бы недоступны (нарушить правила четности). Существует множество вариантов представления проблем конечного уровня и алгоритмов их решения, но требования к исправлению будут аналогичны описанным ниже. Рассмотренные здесь проблемы в равной степени применимы как к стандартным кубам, так и к кубам с отмеченным центром, но в последнем случае возникают дополнительные проблемы конечного слоя для выравнивания центральных кубов. Задачи для больших кубов можно рассматривать как прямое продолжение тех, которые относятся к кубу размера 4. В основном могут возникнуть проблемы двух типов:

• Необходимо перевернуть дополнительную пару или полный набор реберных кубов в окончательном наборе ребер. Это условие будет называться требованием OLL (ориентация последнего слоя).
• На последнем слое необходимо поменять местами два набора кубиков с краями. Это условие будет называться требованием PLL (перестановка последнего уровня).

OLL и PLL, используемые здесь, могут рассматриваться как подмножества обычные определения этих условий. Есть много ссылок на ходы, которые можно использовать для решения этих проблем. Меньше ссылок^[5][18] покажите, как эти ходы удовлетворяют правилам четности. С точки зрения четности необходимо учитывать перестановку центральных кубов, которую нелегко наблюдать в кубах с неотмеченными центрами. Здесь будет проиллюстрировано только соответствие OLL четности.

Показана типичная поправка OLL для куба размера 9. Цветные кубики - единственные в кубе, которые меняют положение.

OLL до коррекции для куба размера 9

OLL после коррекции на размер 9 куб.

Для коррекции OLL есть ${ displaystyle n-2}$ свопы центрального куба и в целом есть ${ Displaystyle влево (п-1 вправо)}$ меняет местами при включении пары ребер. Для кубиков нестандартного размера ${ Displaystyle влево (п-1 вправо)}$ всегда четный (и соответствует универсальному требованию четности для кубов нечетного размера). Для кубиков равного размера ${ Displaystyle влево (п-1 вправо)}$ всегда нечетное, что означает, что в этом случае всегда происходит изменение четности, допустимое условие четности для кубов четного размера.

Для полного переворота набора ребер (требование, которое может возникнуть только для кубов четного размера) количество перестановок будет равно ${ Displaystyle влево (п-1 вправо) влево ({ гидроразрыва {п} {2}} - 1 вправо)}$. Общее количество свопов будет, даже если ${ displaystyle left ({ frac {n} {2}} - 1 right)}$ четное (т.е. ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ нечетно). Общее количество свопов будет нечетным, если ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ даже. Следовательно, общий паритет будет, даже если ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ является нечетным и нечетным, если ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ даже.

Разумеется, четность данного алгоритма также может быть выведена из его содержания, используя правила, подробно описанные в Правила для кубиков семьи Рубика раздел.

Для стандартных кубов перестановка центральных кубов для решения проблем OLL и PLL не важна. Для кубов с отмеченными центральными кубами эффект такой перестановки этих кубов является серьезным недостатком. Для кубов с отмеченными центрами невозможно (за исключением куба размера 4) выровнять все центральные кубы последнего слоя до тех пор, пока все краевые кубы не будут помещены в свои окончательные положения.

Алгоритмы

Инструкции для людей о том, как решать типовые кубы Рубика, обычно передаются либо в чисто графической форме, либо в виде последовательностей, определенных с использованием печатных символов. Последовательность символов, которую можно транслировать и применять для выполнения последовательности вращений слоев для преобразования данного состояния в другое (обычно менее скремблированное) состояние, часто называют алгоритм. При дескремблировании последней части куба чаще всего используются алгоритмы, но при желании их можно применять более широко. Алгоритмы могут быть записаны в виде инструкций, которые можно запомнить или просмотреть в документе. Используемые печатаемые символы (например, для обозначения четверти оборота против часовой стрелки, четверть оборота одного слоя или четверть оборота многослойного) в инструкциях алгоритма различаются среди авторов, как и их положение в инструкциях. Когда люди интерпретируют инструкции так, как они представлены, это не имеет значения. Единственный раз, когда форма представления имеет значение, это когда ввод с клавиатуры компьютера используется для изменения состояния программных кубов, а автоматическое обновление изображения на экране происходит всякий раз, когда принимается действительная инструкция. Например, если F 'используется для представления четверти оборота против часовой стрелки лицевой стороны, тогда, когда пользователь вводит F, будет происходить четверть оборота по часовой стрелке, и потребуется корректировка, когда пользователь наберет символ'. Конечный результат все равно будет правильным, но использование -F вместо F устранит лишнее вращение. Следует избегать любых улучшений текста, таких как надстрочные или подстрочные индексы, в методе представления последовательностей вращения куба, когда пользователи общаются с программными кубами с помощью команд клавиатуры. Когда используется ввод инструкций с клавиатуры компьютера, макросы (которые сопоставляют короткую текстовую строку ввода с более длинной строкой) могут использоваться^[10][15][19] как ярлыки алгоритма.

Время собирать кубики

Спидкубинг (или спидкубинг) - это практика решения куба из семейства кубиков Рубика за максимально короткое время (что обычно подразумевает сокращение количества требуемых ходов на четверть оборота). Чаще всего он применяется к кубам небольшого размера, и существует множество задокументированных методов решения. Международная группа исследователей, использующих компьютерную мощь Google, нашла все способы решения кубика Рубика стандартного размера 3 и показала, что это решение можно выполнить за 20 ходов или меньше.^[20] для любого начального состояния скремблирования (где ход определяется как четверть или пол-оборота лица). Как правило, методы быстрого решения применяются больше к специалистам-кубистам, чем к типичным кубистам, и они более сложны, чем простые методы послойного набора, используемые большинством других людей.

Доступные и недостижимые состояния для кубиков любых размеров

Если куб в какой-то момент ранее занимал заданное состояние, то любое состояние, которое может возникнуть после разрешенных ходов, считается достижимым. Для кубиков небольшого размера (размер 2, 3 или 4) недостижимое состояние - это состояние, которое не может быть достигнуто разрешенными ходами. Для кубов большего размера необходимо дополнительное уточнение того, что подразумевается под недостижимым состоянием. В этой статье исключается условное перемещение между 24-кубовыми орбитами для ребра и для центрального куба.

Связь между достижимым и недостижимым состояниями

Если для куба любого размера м представляет количество достижимых состояний, ты представляет количество недостижимых состояний, а т равна их сумме:

${ Displaystyle т = и + м}$

${ displaystyle t = km}$ куда ${ displaystyle k}$ положительное целое число

${ Displaystyle и = влево (к-1 вправо) м}$

Обе м и k являются функциями размера куба ${ displaystyle n}$. Ценности для м и k будут рассмотрены в следующих разделах. В других текстах «достижимые состояния» часто называют «перестановками».

Доступные состояния для кубиков любых размеров

Количество достижимых состояний основано на:

• Стандарт математика перестановок и комбинаций.^[21]
• Коэффициенты уменьшения, которые необходимо применить к вышеуказанному, чтобы отразить ограничения движения, характерные для кубиков семейства Рубика.

Количество различных состояний, достижимых для кубов любого размера, можно просто связать с числами, которые применимы к кубам размера 3 и размера 4. Hofstadter в его статье 1981 г.^[22] предоставил полный вывод количества состояний для кубика Рубика стандартного размера 3. Более свежие источники информации, адекватно оправдывающие цифры для размера 3^[3][4][23] и размер 4^[24] кубики также доступны. Ссылки, которые указывают количество возможных состояний для размера ${ displaystyle n}$ куб доступны.^[24][25][26] Краткий материал, представленный ниже, представляет результаты в форме, использованной в одной из этих ссылок.^[24] который освещает эту тему гораздо более подробно.

Для кубов с неотмеченными центральными кубами применяются следующие положительные целочисленные константы (представленные P, Q, R и S). Эти константы согласуются с цифрами, которые часто приводятся для кубов размера 3 и 4.

Значение S может потребовать слов пояснения, поскольку обычно предполагается, что количество возможных состояний для центральных кубов с опознавательными метками для куба размера 4 равно 24 !. Использование этого значения гарантированно даст неправильный ответ, если рассматриваются кубы с отмеченным центром. Первые 20 кубиков могут быть размещены произвольно, что дает коэффициент 24! / 4 !. Однако для каждого возможного расположения реберных кубиков только половина из 4! гипотетические договоренности для последних четырех достижимы.^[2][24] Следовательно, правильное значение для куба с отмеченными центрами - 24! / 2. Если отметки убрать, то «перестановка с некоторыми идентичными объектами»^[21] применяется. Для стандартного куба отмеченное значение куба нужно разделить на (4!)⁶/ 2 (здесь также должен применяться делитель 2). Это дает общее значение S для куба размером 4 24! / (4!)⁶. Все состояния для орбит с 24 центрами куба для стандартных кубиков семейства Рубика достижимы (при необходимости, даже четность всегда достижима, поменяв местами пару центральных кубов одного цвета).

${ displaystyle m = { textrm {P}} { textrm {Q}} ^ {a} { textrm {R}} ^ {b} { textrm {S}} ^ {c}}$

куда ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, и ${ displaystyle c}$ положительное целое число переменные (функции размера куба ${ displaystyle n}$), как указано ниже.

${ displaystyle a = n { textrm {mod}} 2}$ (т.е. 0, если ${ displaystyle n}$ равно или 1, если ${ displaystyle n}$ это нечетно)

${ displaystyle b = { frac {n-2-a} {2}}}$

${ Displaystyle с = { гидроразрыва { влево (п-2 вправо) ^ {2} -a} {4}}}$

Для кубиков равного размера ${ displaystyle { textrm {Q}} ^ {a} = 1}$ (видеть возведение в степень ).

Для дальнейшего упрощения параметр ${ displaystyle m}$ также может быть выражено как ${ displaystyle m = 10 ^ {y}}$ куда ${ displaystyle y = { textrm {log}} _ {10} m}$. Параметр ${ displaystyle y}$ может быть связано с ${ displaystyle n}$ непрерывным квадратичная функция при условии, что ${ displaystyle n}$ должно быть целым числом больше 1 при ссылке на возможные состояния кубов:

${ displaystyle y = { textrm {A}} n ^ {2} + { textrm {B}} n + { textrm {C}}}$

где A, B и C - константы. Константы A и B одинаковы для ${ displaystyle n}$ даже и для ${ displaystyle n}$ странно, но значение C другое.

Графически, когда ${ displaystyle y}$ нанесен,^[24] задействованы две параболы абсолютно одинаковой формы, причем «четные» значения куба лежат на одной, а «нечетные» значения куба - на другой. Разница незаметна, за исключением случаев, когда график нанесен на небольшой диапазон ${ displaystyle n}$, как показано на приведенных ниже графиках. Только семейные ценности Рубика для ${ displaystyle n}$ равные 2 и 3 включены во второй график.

Использование функции журнала у предоставляет единственное практическое средство построения чисел, которые варьируются в таком огромном диапазоне, как для семейства кубиков Рубика. Разница между кривыми составляет 505,08471690483 (равно ${ displaystyle { frac {{ textrm {R}} ^ {0.5} { textrm {S}} ^ {0.25}} { textrm {Q}}}}$). Это фактор, который определяет влияние четного размера по сравнению с нечетным размером на количество достижимых состояний для кубов с неотмеченными центрами.

Следовательно, при логарифмическом представлении количество состояний куба может быть выражено с помощью всего четырех^[27] числа (A, B и два значения C). Кроме того, количество состояний куба формирует ограниченный набор значений для более общей непрерывной квадратичной (параболической) функции, для которой ${ displaystyle n}$ могут иметь нецелые и отрицательные значения. Расчет стоимости м от соответствующего значения у это простой процесс.

Центральные кубы отличаются от угловых или краевых кубов тем, что, если они не имеют ориентировочной маркировки, есть несколько возможностей для их окончательной ориентации и / или местоположения. Может представлять интерес количество различных способов расположения центральных кубов для получения решенного куба с немаркированными центральными кубами. Чтобы рассчитать это, необходимо оценить влияние разметки центрального куба. Определять ${ displaystyle m _ { textrm {M}}}$, ${ displaystyle { textrm {Q}} _ { textrm {M}}}$, и ${ displaystyle { textrm {S}} _ { textrm {M}}}$ быть измененными параметрами для отмеченных центральных кубов (P и R остаются без изменений).

${ displaystyle { textrm {Q}} _ { textrm {M}} = { textrm {TQ}}}$ куда ${ displaystyle { textrm {T}} = { frac {4 ^ {6}} {2}} = 2048}$

${ displaystyle { textrm {S}} _ { textrm {M}} = { textrm {VS}}}$ куда ${ displaystyle { textrm {V}} = { frac {(4!) ^ {6}} {2}} = 95551488}$

${ displaystyle m _ { textrm {M}} = { textrm {P}} left ({ textrm {Q}} _ { textrm {M}} right) ^ {a} { textrm {R} } ^ {b} left ({ textrm {S}} _ { textrm {M}} right) ^ {c}}$

${ displaystyle m _ { textrm {M}} = m _ { textrm {D}} m}$

${ displaystyle m _ { textrm {M}} = { textrm {T}} ^ {a} { textrm {V}} ^ {c}}$

Параметр ${ displaystyle m _ { textrm {M}}}$ определяет количество достижимых состояний для кубов с отмеченными центрами. Фактор ${ Displaystyle м _ { textrm {D}}}$ дает количество различных расположений немаркированных центральных кубов, которые обеспечат решенный размер ${ displaystyle n}$ куб. Это также коэффициент, на который нужно умножить количество различных состояний для стандартного куба, когда применяются отмеченные центры.

Недостижимые состояния для кубиков любых размеров

Количество недостижимых состояний намного превышает количество достижимых состояний. Есть много ссылок на количество недостижимых состояний для куба размера 3, но очень мало для кубов большего размера.

Недостижимое расположение угловых и краевых кубов одинаково для кубов с отмеченными центрами или без них.

Если рассматривать угловой куб для кубиков любого размера, то поворот на 1/3 по часовой стрелке, оставляющий все остальное без изменений, будет представлять собой недостижимое состояние, и точно так же для поворота на 1/3 против часовой стрелки. Следовательно, достижима только 1/3 возможностей скручивания.

Для куба с центральным краем для кубов нечетного размера поведение такое же, как и для куба размера 3. Достижима только половина возможных позиций и только половина возможных ориентаций. Следовательно, доступна только 1/4 возможностей перемещения куба по центру.

Реберные кубы, состоящие из 12 дополнительных пар (всего 24 куба), ведут себя так, как если бы дополнительные кубы не выглядели одинаково. Любой заданный крайний кубик может перемещаться в любую позицию на 24-кубовой орбите, но для любой заданной позиции существует одна достижимая и одна недостижимая ориентация для этого куба. Обратное верно для дополнительного ребра. Для данного куба (1-2) достижимая и недостижимая ориентации для данной грани для данной орбиты для куба размера 8 показаны ниже. Одна из 24 достижимых возможностей для данного граничного куба соответствует таковой для заданного куба.

Количество недостижимых состояний для набора с 24 гранями равно количеству достижимых состояний (24! В каждом случае).

В случае отмеченных центральных кубов достижима только половина возможных конфигураций для каждого набора из 24 кубов для любой заданной орбиты.^[2] Те же правила четности, которые применяются к отмеченным центральным кубам, также применяются к немаркированным центральным кубам. Четверть оборота набора из четырех центральных кубов не может быть достигнута без изменения расположения в другом месте, чтобы удовлетворить требованию четности. Поскольку существует 95551488 способов упорядочения отдельных центральных кубов, чтобы результирующее расположение выглядело точно таким же, правила четности могут выполняться без каких-либо наблюдаемых указаний на то, как достигается соответствие четности. Следовательно, для нормального случая (24 куба, содержащих по четыре цвета каждого из шести цветов) нет ограничений на достижимые состояния для центральных кубов.

В следующей таблице используются значения, указанные выше, для представления k составляющие факторы для размера ${ displaystyle n}$ куб. Экспоненты а, б и c являются функциями размера куба ${ displaystyle n}$ как определено выше.

Компоненты сокращения для фактора k (для стандартного куба с немаркированными центрами) и для ${ Displaystyle к _ { textrm {M}}}$ (для куба с отмеченными центрами)	Немаркированные центры ' тип куба	Отмеченные центры ' тип куба
Угловой кубический фактор	3	3
Фактор куба центрального края (такие кубы существуют только для кубов нечетного размера)	${ displaystyle 2 ^ {2a}}$	${ displaystyle 2 ^ {2a}}$
Дополнительный крайний кубический фактор для всех комплектов из 12 пар вместе	${ displaystyle 2 ^ {b}}$	${ displaystyle 2 ^ {b}}$
Абсолютный коэффициент центрального куба (такие кубы существуют только для кубов нечетного размера)	1	${ Displaystyle 2 ^ {а}}$
Фактор центрального куба для всех наборов на 24 куба вместе	1	${ displaystyle 2 ^ {c}}$

Взяв продукт этих факторов:

Для стандартного размера ${ displaystyle n}$ куб	${ Displaystyle к = влево (3 вправо) 2 ^ {2a + b}}$
На размер отмеченных центров ${ displaystyle n}$ куб	${ displaystyle к _ { textrm {M}} = left (3 right) 2 ^ {3a + b + c}}$

Ниже приведены некоторые значения для кубиков небольшого размера.

Размер куба	2	3	4	5	6	7	8
Значение ${ displaystyle k}$	3	12	6	24	12	48	24
Значение ${ Displaystyle к _ { textrm {M}}}$	3	24	12	192	192	6144	12288

Количество недостижимых состояний определяется выражением ${ Displaystyle (к-1) м}$ для стандартных кубиков и по ${ displaystyle (к _ { textrm {M}} - 1) m _ { textrm {M}}}$ для кубиков с отмеченными центральными кубиками.

Примечания и ссылки