Родившееся правило - Born rule

В Родившееся правило (также называемый Прирожденный закон, Постулат Борна, Правило Борна, или же Закон Борна) является ключевым постулатом квантовая механика что дает вероятность который измерение квантовой системы даст заданный результат.^[1] В своей простейшей форме он утверждает, что плотность вероятности нахождения частицы в данной точке при измерении пропорциональна квадрату величины частицы. волновая функция в таком случае. Его сформулировал немецкий физик. Макс Борн в 1926 г.

Подробности

Правило Борна гласит, что если наблюдаемый соответствующий самосопряженный оператор ${extstyle A}$ с дискретным спектр измеряется в системе с нормализованными волновая функция ${extstyle | psi angle}$ (видеть Обозначение Бра – Кет ), тогда

измеренный результат будет одним из собственные значения ${displaystyle lambda}$ из ${displaystyle A}$ , и
вероятность измерения данного собственного значения ${displaystyle lambda _ {i}}$ будет равно ${displaystyle langle psi | P_ {i} | psi angle}$ , куда ${displaystyle P_ {i}}$ проекция на собственное подпространство ${displaystyle A}$ соответствующий ${displaystyle lambda _ {i}}$ .

(В случае, когда собственное подпространство

{displaystyle A}

соответствующий

{displaystyle lambda _ {i}}

одномерна и натянута на нормированный собственный вектор

{displaystyle | lambda _ {i} angle}

,

{displaystyle P_ {i}}

равно

{displaystyle | lambda _ {i} угол langle lambda _ {i} |}

, поэтому вероятность

{displaystyle langle psi | P_ {i} | psi angle}

равно

{displaystyle langle psi | lambda _ {i} angle langle lambda _ {i} | psi angle}

. Поскольку комплексное число

{displaystyle langle lambda _ {i} | psi angle}

известен как амплитуда вероятности что вектор состояния

{displaystyle | psi angle}

присваивается собственному вектору

{displaystyle | lambda _ {i} angle}

, правило Борна принято описывать как утверждение, что вероятность равна квадрату амплитуды (на самом деле амплитуда, умноженная на ее собственную комплексно сопряженный ). Эквивалентно вероятность можно записать как

{displaystyle | langle lambda _ {i} | psi angle | ^ {2}}

.)

В случае, когда спектр ${displaystyle A}$ не является полностью дискретным, спектральная теорема доказывает наличие определенного проекционно-оценочная мера ${displaystyle Q}$ , спектральная мера ${displaystyle A}$ . В этом случае,

вероятность того, что результат измерения находится в измеримом множестве ${displaystyle M}$ дан кем-то ${displaystyle langle psi | Q (M) | psi angle}$ .

Учитывая волновую функцию ${displaystyle psi}$ для одиночной бесструктурной частицы в позиционном пространстве означает, что функция плотности вероятности ${displaystyle p (x, y, z)}$ для измерения положения во времени ${displaystyle t_ {0}}$ является

{displaystyle p (x, y, z) = | psi (x, y, z, t_ {0}) | ^ {2}}

.

В некоторых приложениях такая трактовка правила Борна обобщается с использованием положительно-операторные меры. POVM - это мера чьи ценности положительные полуопределенные операторы на Гильбертово пространство. POVM являются обобщением измерений фон Неймана и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых самосопряженными наблюдаемыми. По грубой аналогии, POVM для PVM то, что смешанное состояние к чистое состояние. Смешанные состояния необходимы, чтобы указать состояние подсистемы более крупной системы (см. очищение квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективных измерений, выполняемых в более крупной системе. POVM - это наиболее общий вид измерения в квантовой механике, который также может использоваться в квантовая теория поля.^[2] Они широко используются в области квантовая информация.

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих на конечномерном Гильбертово пространство, POVM - это набор положительный полуопределенный матрицы ${displaystyle {F_ {i}}}$ в гильбертовом пространстве ${displaystyle {mathcal {H}}}$ эта сумма к единичная матрица,^[3]^:90

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = operatorname {I}.}

Элемент POVM ${displaystyle F_ {i}}$ связан с результатом измерения ${displaystyle i}$ , так что вероятность его получения при измерении квантового состояния ${displaystyle ho}$ дан кем-то

{displaystyle p (i) = operatorname {tr} (ho F_ {i})}

,

куда ${displaystyle operatorname {tr}}$ это след оператор. Это POVM-версия правила Борна. Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием ${displaystyle | psi angle}$ эта формула сводится к

{displaystyle p (i) = operatorname {tr} (| угол psi langle psi | F_ {i}) = langle psi | F_ {i} | psi angle}

.

История

Правило Борна было сформулировано Борном в статье 1926 года.^[4] В этой статье Борн решает Уравнение Шредингера для задачи рассеяния и вдохновленные работой Эйнштейна по фотоэлектрическому эффекту,^[5] заключает в сноске, что правило Борна дает единственно возможную интерпретацию решения. В 1954 г. вместе с Вальтер Боте За эту и другие работы Борн был удостоен Нобелевской премии по физике.^[5] Джон фон Нейман обсудили применение спектральная теория к правилу Борна в его книге 1932 года.^[6]

Теорема Глисона показывает, что правило Борна может быть выведено из обычного математического представления измерений в квантовой физике вместе с предположением неконтекстность. Эндрю М. Глисон впервые доказал теорему в 1957 г.,^[7] вызванный вопросом, заданным Джордж В. Макки.^[8]^[9] Эта теорема была исторически значимой из-за той роли, которую она сыграла в демонстрации того, что широкие классы теории скрытых переменных несовместимы с квантовой физикой.^[10]

Интерпретации

Родилось правило вместе с унитарность оператора временной эволюции ${displaystyle e ^ {- я {шляпа {H}} t}}$ (или, что то же самое, Гамильтониан ${displaystyle {hat {H}}}$ существование Эрмитский ), следует унитарность теории, которая считается необходимой для согласованности. Например, унитарность гарантирует, что вероятность всех возможных исходов в сумме равна 1 (хотя это не единственный вариант чтобы получить это конкретное требование).

В рамках Квантовый байесовство интерпретации квантовой теории, правило Борна рассматривается как расширение стандартного Закон полной вероятности, который учитывает Гильбертово пространство измерение задействованной физической системы.^[11] Утверждалось, что Теория пилотных волн можно также статистически вывести закон Борна.^[12] Хотя утверждалось, что закон Борна может быть выведен из многомировая интерпретация, существующие доказательства критиковались как циркулярные.^[13] Кастнер утверждает, что транзакционная интерпретация уникальна тем, что дает физическое объяснение правилу Борна.^[14]

Смотрите также

внешняя ссылка

Квантовой механике не грозит опасность: физики экспериментально подтверждают ключевой принцип десятилетней давности ScienceDaily (23 июля 2010 г.)

[1] Временная эволюция квантовой системы полностью детерминирована в соответствии с Уравнение Шредингера. Именно через правило Борна вероятность входит в теорию.

[2] Перес, Ашер; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики. 76 (1): 93–123. arXiv:Quant-ph / 0212023. Bibcode:2004РвМП ... 76 ... 93П. Дои:10.1103 / RevModPhys.76.93. S2CID 7481797.

[mike_ike-3] Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63503-5. OCLC 634735192.

[Zeitschrift-4] Родился, Макс (1926). «I.2». В Уиллер, Дж. А.; Журек, В. Х. (ред.). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge [О квантовой механике столкновений]. Zeitschrift für Physik. 37. Princeton University Press (опубликовано в 1983 г.). С. 863–867. Bibcode:1926ZPhy ... 37..863B. Дои:10.1007 / BF01397477. ISBN 978-0-691-08316-2.

[Nobel-5] а ^б Родился, Макс (11 декабря 1954 г.). «Статистическая интерпретация квантовой механики» (PDF). www.nobelprize.org. nobelprize.org. Получено 7 ноября 2018. И снова идея Эйнштейна дала мне преимущество. Он попытался сделать двойственность частиц - квантов света или фотонов - и волн понятной, интерпретируя квадрат амплитуд оптических волн как плотность вероятности возникновения фотонов. Это понятие можно сразу перенести на пси-функцию: | psi |² должен представлять плотность вероятности для электронов (или других частиц).

[Grundlagen-6] Нойман (фон), Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [Математические основы квантовой механики]. Перевод Бейера, издательство Роберт Т. Принстонского университета (опубликовано в 1996 г.). ISBN 978-0691028934.

[gleason1957-7] Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Математический журнал Университета Индианы. 6 (4): 885–893. Дои:10.1512 / iumj.1957.6.56050. МИСТЕР 0096113.

[8] Макки, Джордж У. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник. 64 (8P2): 45–57. Дои:10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR 2308516.

[chernoff2009-9] Чернов, Пол Р. «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF). Уведомления AMS. 56 (10): 1253–1259.

[mermin1993-10] Мермин, Н. Давид (1993-07-01). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики. 65 (3): 803–815. arXiv:1802.10119. Bibcode:1993РвМП ... 65..803М. Дои:10.1103 / RevModPhys.65.803. S2CID 119546199.

[11] Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовские и прагматические взгляды на квантовую теорию». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии. Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.

[12] Таулер, Майк. «Теория пилотных волн, бомовская метафизика и основы квантовой механики» (PDF).

[13] Ландсман, Н. П. (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF). In Weinert, F .; Hentschel, K .; Greenberger, D .; Фалькенбург, Б. (ред.). Сборник квантовой физики. Springer. ISBN 3-540-70622-4. Похоже, что вывод состоит в том, что до сих пор не было дано общепринятого вывода правила Борна, но это не означает, что такой вывод невозможен в принципе.

[14] Кастнер, Р. Э. (2013). Транзакционная интерпретация квантовой механики. Издательство Кембриджского университета. п.35. ISBN 978-0-521-76415-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]