Фурье-оптика - Fourier optics

Фурье-оптика изучение классических оптика с помощью Преобразования Фурье (FT), в которых рассматриваемая форма волны рассматривается как составленная из комбинации, или суперпозиция, плоских волн. Есть некоторые параллели с Принцип Гюйгенса – Френеля, в котором волновой фронт считается составленным из комбинации сферических волновых фронтов, сумма которых составляет исследуемый волновой фронт. Ключевое отличие состоит в том, что в оптике Фурье плоские волны рассматриваются как естественные моды среды распространения, в отличие от модели Гюйгенса – Френеля, в которой сферические волны возникают в физической среде.

Искривленный фазовый фронт может быть синтезирован из бесконечного числа этих «собственных мод», то есть из фазовых фронтов плоских волн, ориентированных в разных направлениях в пространстве. Вдали от своих источников расширяющаяся сферическая волна локально касается плоского фазового фронта (одиночная плоская волна из бесконечного спектра), который поперечен радиальному направлению распространения. В этом случае Фраунгофера дифракция создается паттерн, который исходит из единого фазового центра сферической волны. В ближнем поле не существует единого четко определенного фазового центра сферической волны, поэтому фронт волны не касается локально сферического шара. В этом случае Дифракция Френеля будет создан шаблон, который исходит из расширенный источник, состоящий из распределения (физически идентифицируемых) источников сферических волн в пространстве. В ближнем поле полный спектр плоских волн необходим для представления волны ближнего поля Френеля, даже на месте. Широкий" волна движение вперед (как расширяющаяся океанская волна, приближающаяся к берегу) можно рассматривать как бесконечное количество "плоские волновые моды ", которые могут (при столкновении с чем-то на своем пути) рассыпаться независимо друг от друга. Эти математические упрощения и вычисления являются областью Фурье-анализ и синтез - вместе они могут описать, что происходит, когда свет проходит через различные щели, линзы или зеркала, изогнутые в ту или иную сторону, или полностью или частично отражаются.

Оптика Фурье составляет большую часть теории, лежащей в основе методы обработки изображений, а также поиск приложений, в которых необходимо извлекать информацию из оптических источников, таких как квантовая оптика. Проще говоря, аналогично концепции частота и время используется в традиционных Теория преобразования Фурье, Оптика Фурье использует пространственная частота домен (k_Икс, k_у) как сопряжение пространственного (Икс, у) домен. Термины и концепции, такие как теория преобразования, спектр, полоса пропускания, оконные функции и выборка из одномерного обработка сигналов обычно используются.

Распространение света в однородной среде без источников

Свет можно описать как форму волны, распространяющуюся через свободное пространство (вакуум) или материальную среду (например, воздух или стекло). Математически (действительная) амплитуда одного волнового компонента представлена ​​скалярной волновой функцией ты это зависит как от пространства, так и от времени:

${ Displaystyle и = и ( mathbf {г}, т)}$

куда

${ Displaystyle mathbf {r} = (х, y, z)}$

представляет положение в трехмерном пространстве, а т представляет время.

Волновое уравнение

Фурье-оптика начинается с однородного скалярного волновое уравнение (действительно в регионах без исходных кодов):

${ displaystyle left ( nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial {t} ^ {2}}} right) u ( mathbf {r}, t) = 0.}$

куда ты(р,т) это реальная ценность Декартова компонента электромагнитной волны, распространяющейся в свободном пространстве.

Синусоидальное установившееся состояние

Если свет фиксированного частота /длина волны /цвет (как от лазера), то время-гармонический форма оптического поля задается как:

${ Displaystyle и ( mathbf {r}, t) = mathrm {Re} left { psi ( mathbf {r}) e ^ {я omega t} right }}$.

куда ${ displaystyle i}$ это мнимая единица,

${ displaystyle omega = 2 pi f}$

- угловая частота (в радианах в единицу времени) световых волн, и

${ Displaystyle psi ( mathbf {r}) = а ( mathbf {r}) e ^ {я phi ( mathbf {r})}}$

в целом сложный количество, с раздельной амплитудой ${ displaystyle a}$ и фаза ${ displaystyle phi}$.

Уравнение Гельмгольца

Подстановка этого выражения в волновое уравнение дает не зависящую от времени форму волнового уравнения, также известную как Уравнение Гельмгольца:

${ displaystyle left ( nabla ^ {2} + k ^ {2} right) psi ( mathbf {r}) = 0}$

куда

${ Displaystyle к = { омега над с} = {2 пи над лямбда}}$

- волновое число, ψ (р) не зависит от времени, комплексный составляющая распространяющейся волны. Обратите внимание, что постоянная распространения k и частота ${ displaystyle omega}$, линейно связаны друг с другом, что является типичной характеристикой поперечных электромагнитных (ПЭМ) волн в однородных средах.

Решение уравнения Гельмгольца

Решения уравнения Гельмгольца легко найти в прямоугольные координаты по принципу разделение переменных за уравнения в частных производных. Этот принцип говорит, что в разделимых ортогональные координаты, элементарное решение продукта к этому волновому уравнению можно построить в следующем виде:

${ Displaystyle psi (х, y, z) = f_ {x} (x) times f_ {y} (y) times f_ {z} (z)}$

т.е. как произведение функции от Икс, раз функция у, раз функция z. Если это элементарное решение продукта подставляется в волновое уравнение (2.0) с помощью скалярный лапласиан в прямоугольных координатах:

${ displaystyle nabla ^ {2} psi = { frac { partial ^ {2} psi} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} psi} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} psi} { partial z ^ {2}}}}$

тогда получается следующее уравнение для 3 отдельных функций

${ displaystyle f '' _ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z} (z) + f_ {x} (x) f '' _ {y} (y) f_ {z} ( z) + f_ {x} (x) f_ {y} (y) f '' _ {z} (z) + k ^ {2} f_ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z } (z) = 0 ,}$

который легко преобразовать в форму:

${ displaystyle { frac {f '' _ {x} (x)} {f_ {x} (x)}} + { frac {f '' _ {y} (y)} {f_ {y} ( y)}} + { frac {f '' _ {z} (z)} {f_ {z} (z)}} + k ^ {2} = 0}$

Теперь можно утверждать, что каждое из частных в приведенном выше уравнении обязательно должно быть постоянным. Скажем, первое частное не является постоянным и является функцией Икс. Ни один из других членов уравнения не зависит от переменной x. Следовательно, первый член может не иметь никаких Икс-зависимость тоже; он должен быть постоянным. Константа обозначается как -k_Икс². Аналогичным образом рассуждая о у и z частных, получены три обыкновенных дифференциальных уравнения для ж_Икс, ж_у и ж_zвместе с одним условие разделения:

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f_ {x} (x) + k_ {x} ^ {2} f_ {x} (x) = 0}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} f_ {y} (y) + k_ {y} ^ {2} f_ {y} (y) = 0}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} f_ {z} (z) + k_ {z} ^ {2} f_ {z} (z) = 0}$

${ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

Каждое из этих трех дифференциальных уравнений имеет одно и то же решение: синусы, косинусы или комплексные экспоненты. Мы будем использовать комплексную экспоненту для простоты обозначений, совместимости с обычными обозначениями FT и того факта, что двусторонний интеграл комплексных экспонент учитывает вклады синуса и косинуса. В результате простейшее продуктовое решение для E_ты является:

${ Displaystyle psi (х, у, z) = е ^ {я (к_ {х} х + к_ {у} у + к_ {z} г)}}$

${ Displaystyle = е ^ {я (к_ {х} х + к_ {у} у)} е ^ {ik_ {z} z}}$

${ displaystyle = e ^ {я (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ { pm iz { sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y) } ^ {2}}}}}$

которая представляет собой распространяющееся или экспоненциально затухающее решение однородной плоской волны уравнения однородной волны. Знак - используется для волны, распространяющейся / затухающей в направлении + z, а знак + используется для волны, распространяющейся / затухающей в направлении -z (это соответствует соглашению инженерного времени, которое предполагает e^iωt временная зависимость). Это поле представляет собой распространяющуюся плоскую волну, когда величина под радикалом положительна, и экспоненциально затухающую волну, когда она отрицательна (в пассивных средах всегда необходимо выбирать корень с неположительной мнимой частью, чтобы представлять равномерное распространение или распад , но не усиление).

Продуктовые решения уравнения Гельмгольца также легко получить в цилиндрический и сферические координаты, уступая цилиндрический и сферические гармоники (при этом остальные разделяемые системы координат используются гораздо реже).

Полное решение: интеграл суперпозиции

Общее решение уравнения однородной электромагнитной волны в прямоугольных координатах может быть сформировано как взвешенная суперпозиция всех возможных решений элементарной плоской волны как:

${ displaystyle psi (x, y, z) = int _ {- infty} ^ {+ infty} int _ {- infty} ^ {+ infty} Psi _ {0} (k_ { x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ e ^ { pm iz { sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ { 2} -k_ {y} ^ {2}}}} ~ dk_ {x} dk_ {y} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2.1)}$

Далее пусть

${ Displaystyle psi _ {0} (x, y) = psi (x, y, z) | _ {z = 0}}$.

Потом:

${ displaystyle psi _ {0} (x, y) = int _ {- infty} ^ {+ infty} int _ {- infty} ^ {+ infty} Psi _ {0} ( k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$

Представление электромагнитного поля в виде спектра плоских волн является базовой основой фурье-оптики. (этот момент нельзя выделить достаточно сильно), потому что когда z= 0, приведенное выше уравнение просто превращается в Отношение преобразования Фурье (FT) между полем и его плоским волновым содержанием (отсюда и название «Фурье-оптика»).

Таким образом:

${ Displaystyle Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) = { mathcal {F}} { psi _ {0} (x, y) }}$

и

${ Displaystyle psi _ {0} (x, y) = { mathcal {F}} ^ {- 1} { Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) }}$

Вся пространственная зависимость отдельных компонент плоской волны явно описывается экспоненциальными функциями. Коэффициенты экспонент являются только функциями пространственного волнового числа. k_Икс, k_у, как и в обычном Анализ Фурье и Преобразования Фурье.

Предел дифракции

Когда

${ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}> k ^ {2}}$

плоские волны мимолетный (затухание), так что любое пространственное частотное содержимое в плоскости объекта, которое меньше одной длины волны, не будет перенесено на плоскость изображения просто потому, что плоские волны, соответствующие этому содержимому, не могут распространяться. В связи с фотолитография электронных компонентов, это явление известно как предел дифракции и это причина того, почему свет все более высокой частоты (меньшая длина волны, следовательно, больше k) требуется для травления все более мелких деталей в интегральных схемах.

Параксиальное приближение

Параксиальные плоские волны (предполагается, что оптическая ось направлена ​​по оси z)

Как показано выше, решение элементарного произведения уравнения Гельмгольца имеет вид:

${ Displaystyle psi ( mathbf {r}) = A ( mathbf {r}) e ^ {- я mathbf {k} cdot mathbf {r}}}$

где k - это волновой вектор, и

${ Displaystyle mathbf {k} cdot mathbf {r} = k_ {x} mathbf {x} + k_ {y} mathbf {y} + k_ {z} mathbf {z}}$

и

${ Displaystyle к = | mathbf {k} | = { sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}}} = { омега над c}}$

- волновое число. Далее, используя параксиальное приближение, предполагается, что

${ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} ll k_ {z} ^ {2}}$

или эквивалентно,

${ Displaystyle грех тета приблизительно тета}$

где θ - угол между волновым вектором k и ось z.

Как результат,

${ Displaystyle к_ {Z} = к соз тета приблизительно к (1- тета ^ {2} / 2)}$

и

${ displaystyle psi ( mathbf {r}) приблизительно A ( mathbf {r}) e ^ {- я (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {ikz theta ^ {2 } / 2} e ^ {- ikz}}$

Параксиальное волновое уравнение

Подставляя это выражение в уравнение Гельмгольца, получаем параксиальное волновое уравнение:

${ displaystyle nabla _ {T} ^ {2} A-2ik { partial A over partial z} = 0}$

куда

${ displaystyle nabla _ {T} ^ {2} = nabla ^ {2} - { partial ^ {2} over partial z ^ {2}} = { partial ^ {2} over partial x ^ {2}} + { partial ^ {2} over partial y ^ {2}}}$

поперечный Оператор Лапласа, показанный здесь в декартовых координатах.

Приближение дальнего поля

Вышеприведенное уравнение можно оценить асимптотически в дальней зоне (используя метод стационарной фазы ), чтобы показать, что поле в дальней точке (Икс,у,z) действительно обусловлено исключительно составляющей плоской волны (k_Икс, k_у, k_z), который распространяется параллельно вектору (Икс,у,z), плоскость которого касается фазового фронта в точке (Икс,у,z). Математические детали этого процесса можно найти у Скотта [1998] или Скотта [1990]. Результатом выполнения интегрирования стационарной фазы по приведенному выше выражению является следующее выражение:

${ displaystyle E_ {u} (r, theta, phi) ~ = ~ 2 pi i ~ (k ~ cos theta) ~ { frac {e ^ {- ikr}} {r}} ~ E_ {u} (k ~ sin theta ~ cos phi, k ~ sin theta ~ sin phi) ~~~~~~~~~~~~~ (2.2)}$

что ясно указывает на то, что поле в (x, y, z) прямо пропорционально спектральной составляющей в направлении (x, y, z), где,

${ Displaystyle х = г ~ грех тета ~ соз фи}$

${ Displaystyle у = г ~ грех тета ~ грех фи}$

${ Displaystyle г = г ~ соз тета ~}$

и

${ Displaystyle к_ {х} = к ~ грех тета ~ соз фи}$

${ Displaystyle к_ {у} = к ~ грех тета ~ грех фи}$

${ Displaystyle к_ {z} = к ~ соз тета ~}$

Другими словами, диаграмма направленности любого плоского распределения поля - это FT этого распределения источника (см. Принцип Гюйгенса – Френеля, при этом то же уравнение составляется с использованием Функция Грина подход). Обратите внимание, что это НЕ плоская волна. В ${ displaystyle { frac {e ^ {- ikr}} {r}}}$ Радиальная зависимость представляет собой сферическую волну - как по величине, так и по фазе - чья локальная амплитуда является FT распределения в плоскости источника при этом дальнем углу поля. Спектр плоских волн не имеет ничего общего с утверждением, что поле ведет себя как плоская волна на больших расстояниях.

Пространственная и угловая полоса пропускания

Уравнение (2.2) выше критический чтобы установить связь между пространственная полоса пропускания (с одной стороны) и угловая полоса пропускания (с другой), в дальней зоне. Обратите внимание, что термин «дальнее поле» обычно означает, что мы говорим о сходящейся или расходящейся сферической волне с довольно хорошо определенным фазовым центром. Связь между пространственной и угловой полосой пропускания в дальней зоне важна для понимания свойства фильтрации нижних частот тонких линз. См. Раздел 5.1.3 для условия, определяющего область дальней зоны.

Как только концепция угловой ширины полосы будет понята, ученый-оптик может "прыгать вперед и назад" между пространственной и спектральной областями, чтобы быстро получить понимание, которое обычно не было бы так легко доступно только из соображений пространственной области или лучевой оптики. Например, любая ширина полосы источника, которая лежит за углом кромки к первой линзе (этот угол кромки задает полосу пропускания оптической системы), не будет захвачена системой для обработки.

Кстати, ученые-электромагнетики изобрели альтернативный способ расчета электрического поля дальней зоны, который не требует интегрирования стационарной фазы. Они разработали концепцию, известную как «фиктивные магнитные токи», обычно обозначаемые M, и определяется как

${ displaystyle ~~ mathbf {M} ~ = ~ 2 mathbf {E} ^ {aper} ~ times ~ mathbf { hat {z}}}$.

В этом уравнении предполагается, что единичный вектор в z-направлении указывает в полупространство, где будут производиться вычисления дальнего поля. Эти эквивалентные магнитные токи получаются с использованием принципов эквивалентности, которые в случае бесконечной плоской границы раздела допускают любые электрические токи, J должны быть "отображены вдали", в то время как фиктивные магнитные токи получаются из удвоенного электрического поля апертуры (см. Scott [1998]). Затем излучаемое электрическое поле рассчитывается из магнитных токов с использованием уравнения, аналогичного уравнению для магнитного поля, излучаемого электрическим током. Таким образом получается векторное уравнение для излучаемого электрического поля в терминах электрического поля апертуры, и его вывод не требует использования идей стационарной фазы.

Спектр плоских волн: основа фурье-оптики

Фурье-оптика несколько отличается от обычной лучевой оптики, обычно используемой при анализе и проектировании сфокусированных систем формирования изображений, таких как камеры, телескопы и микроскопы. Лучевая оптика - это самый первый тип оптики, с которым большинство из нас сталкивается в своей жизни; его легко осмыслить и понять, и он очень хорошо помогает получить базовое представление об общих оптических устройствах. К сожалению, лучевая оптика не объясняет работу оптических систем Фурье, которые, как правило, не являются сфокусированными системами. Лучевая оптика - это подмножество волновой оптики (на жаргоне это «асимптотический предел нулевой длины волны» волновой оптики) и поэтому имеет ограниченное применение. Мы должны знать, когда это действительно так, а когда нет - и это один из тех случаев, когда это не так. Для нашей текущей задачи мы должны расширить наше понимание оптических явлений, включив в него волновую оптику, в которой оптическое поле рассматривается как решение уравнений Максвелла. Это более общее волновая оптика точно объясняет работу устройств фурье-оптики.

В этом разделе мы не будем возвращаться полностью к уравнениям Максвелла, а начнем с однородного уравнения Гельмгольца (справедливого для сред без источников), которое является одним уровнем уточнения по сравнению с уравнениями Максвелла (Scott [1998] ). Из этого уравнения мы покажем, как бесконечные однородные плоские волны составляют одно решение поля (из многих возможных) в свободном пространстве. Эти однородные плоские волны составляют основу понимания оптики Фурье.

В плоская волна Концепция спектра - основная основа Фурье-оптики. Спектр плоских волн представляет собой непрерывный спектр униформа плоские волны, и есть одна компонента плоской волны в спектре для каждой точки касания на фазовом фронте дальнего поля. Амплитуда этой плоской волновой составляющей будет амплитудой оптического поля в этой точке касания. Опять же, это верно только для дальнего поля, определяемого как: Диапазон = 2 D² / λ, где D - максимальная линейная протяженность оптических источников, а λ - длина волны (Скотт [1998]). Спектр плоских волн часто рассматривается как дискретный для определенных типов периодических решеток, хотя в действительности спектры решеток также являются непрерывными, поскольку ни одно физическое устройство не может иметь бесконечную протяженность, необходимую для получения истинного линейчатого спектра.

Как и в случае с электрическими сигналами, полоса пропускания - это мера того, насколько детально изображение; чем мельче детализация, тем больше пропускная способность, необходимая для их представления. Электрический сигнал постоянного тока постоянен и не имеет колебаний; плоская волна, распространяющаяся параллельно оптике (${ displaystyle z}$) ось имеет постоянное значение в любом Икс-у плоскости, и поэтому аналогичен (постоянной) составляющей постоянного тока электрического сигнала. Ширина полосы в электрических сигналах связана с разницей между самой высокой и самой низкой частотами, присутствующими в спектре сигнала. За оптический В системах ширина полосы также связана с пространственным частотным содержанием (пространственной полосой пропускания), но также имеет второстепенное значение. Он также измеряет, насколько далеко от оптической оси наклонены соответствующие плоские волны, поэтому этот тип ширины полосы часто называют также угловой шириной полосы. Требуется большая полоса частот для создания короткого импульса в электрической цепи и большая полоса частот по углу (или пространственной частоте) для создания острого пятна в оптической системе (см. Функция распределения точки ).

Спектр плоской волны возникает естественно как собственная функция или раствор «естественного режима» до однородного уравнение электромагнитной волны в прямоугольных координатах (см. также Электромагнитное излучение, который выводит волновое уравнение из уравнений Максвелла в среде без источника, или Скотт [1998]). в частотная область, с предполагаемым соглашением по времени ${ displaystyle e ^ {я omega t}}$уравнение однородной электромагнитной волны известно как Уравнение Гельмгольца и принимает вид:

${ displaystyle nabla ^ {2} E_ {u} + k ^ {2} E_ {u} = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~ (2.0)}$

куда ты = Икс, у, z и k = 2π / λ - волновое число среды.

Решения по собственным функциям (естественный режим): история вопроса и обзор

В случае дифференциальных уравнений, как и в случае матричных уравнений, всякий раз, когда правая часть уравнения равна нулю (т. Е. Вынуждающая функция / вынуждающий вектор равен нулю), уравнение все же может допускать нетривиальное решение, известен в прикладной математике как собственная функция решение, в физике как решение «естественного режима» и в теории электрических цепей как «отклик с нулевым входом». Это концепция, охватывающая широкий спектр физических дисциплин. Общие физические примеры резонансный естественные режимы будут включать резонансные колебательные режимы струнных инструментов (1D), ударных инструментов (2D) или первых Tacoma Narrows Bridge (3D). Примеры распространение естественные режимы будут включать волновод режимы, оптоволокно режимы, солитоны и Волны Блоха. Бесконечные однородные среды допускают прямоугольные, круговые и сферические гармонические решения уравнения Гельмгольца в зависимости от рассматриваемой системы координат. Распространяющиеся плоские волны, которые мы будем изучать в этой статье, - это, пожалуй, самый простой тип распространяющихся волн, встречающихся в любых средах.

Между приведенным выше уравнением Гельмгольца (2.0) есть поразительное сходство, которое можно записать

${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) ~ f = 0,}$

и обычное уравнение для собственные значения / собственные векторы квадратной матрицы, А,

${ Displaystyle ( mathbf {A} - lambda mathbf {I}) ~ mathbf {x} = 0}$ ,

тем более что и скалярный лапласиан, ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ и матрица, А являются линейными операторами в своих соответствующих функциональных / векторных пространствах (знак минус во втором уравнении для всех намерений и целей несущественен; знак плюс в первом уравнении, однако, имеет значение). Возможно, стоит отметить, что решения как собственных функций, так и собственных векторов этих двух уравнений, соответственно, часто дают ортогональный набор функций / векторов, которые охватывают (т.е. формируют базис для) рассматриваемых пространств функций / векторов. Заинтересованный читатель может изучить другие функциональные линейные операторы, которые порождают различные виды ортогональных собственных функций, такие как Полиномы Лежандра, Полиномы Чебышева и Полиномы Эрмита.

В матричном случае собственные значения ${ displaystyle lambda}$ можно найти, установив определитель матрицы равным нулю, то есть найдя, где матрица не имеет обратной. Конечные матрицы имеют только конечное число собственных значений / собственных векторов, тогда как линейные операторы могут иметь счетное бесконечное число собственных значений / собственных функций (в ограниченных областях) или бесконечно бесконечные (непрерывные) спектры решений, как в неограниченных областях.

В некоторых физических приложениях, например, в вычисление полос в периодическом объеме, часто бывает, что элементы матрицы будут очень сложными функциями частоты и волнового числа, и матрица будет невырожденной для большинства комбинаций частоты и волнового числа, но также будет сингулярной для определенных конкретных комбинаций. Путем определения того, какие комбинации частоты и волнового числа приводят детерминант матрицы к нулю, можно определить характеристики распространения среды. Отношения этого типа между частотой и волновым числом известны как дисперсионные соотношения, и некоторые физические системы могут допускать множество различных видов дисперсионных соотношений. Примером из электромагнетизма является обычный волновод, который может допускать множество дисперсионных соотношений, каждое из которых связано с уникальной модой волновода. Каждая мода распространения волновода известна как собственная функция решение (или решение собственных мод) уравнений Максвелла в волноводе. Свободное пространство также допускает решения для собственных мод (естественные моды) (известные чаще как плоские волны), но с той разницей, что для любой заданной частоты свободное пространство допускает непрерывный модальный спектр, тогда как волноводы имеют дискретный модальный спектр. В этом случае дисперсионное соотношение является линейным, как в разделе 1.2.

K-пространство

Условие разделения,

${ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

что идентично уравнению для Евклидова метрика в трехмерном конфигурационном пространстве, предлагает понятие k-вектор в трехмерном "k-пространстве", определяемом (для распространения плоских волн) в прямоугольных координатах как:

${ displaystyle mathbf {k} ~ = ~ k_ {x} mathbf { hat {x}} + k_ {y} mathbf { hat {y}} + k_ {z} mathbf { hat {z }}}$

и в сферическая система координат в качестве

${ Displaystyle к_ {х} = к ~ грех тета ~ соз фи}$

${ Displaystyle к_ {у} = к ~ грех тета ~ грех фи}$

${ Displaystyle к_ {z} = к ~ соз тета ~}$

Эти отношения сферической системы координат будут использоваться в следующем разделе.

Понятие k-пространства занимает центральное место во многих инженерных и физических дисциплинах, особенно в изучении периодических объемов, таких как кристаллография и зонная теория полупроводниковых материалов.

Двумерное преобразование Фурье

Уравнение анализа (вычисление спектра функции):

${ Displaystyle U (к_ {х}, к_ {у}) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} и (х, у) е ^ {-i (k_ {x} x + k_ {y} y)} dxdy}$

Уравнение синтеза (восстановление функции по ее спектру):

${ Displaystyle и (х, у) = { гидроразрыва {1} {(2 pi) ^ {2}}} int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} U (k_ {x}, k_ {y}) e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} dk_ {x} dk_ {y}}$

Примечание: нормализующий коэффициент:${ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {2}}}}$ присутствует всякий раз, когда используется угловая частота (радианы), но не когда используется обычная частота (циклы).

Оптические системы: общий обзор и аналогия с системами обработки электрических сигналов

Оптическая система состоит из входной и выходной плоскости, а также набора компонентов, преобразующих изображение. ж формируется на входе в другое изображение грамм формируется на выходе. Выходное изображение связано с входным изображением путем свертки входного изображения с оптической импульсной характеристикой, час (известный как функция распределения точки, для сфокусированных оптических систем). Импульсный отклик однозначно определяет поведение входа-выхода оптической системы. Условно за оптическую ось системы принимают z-ось. В результате два изображения и импульсный отклик являются функциями поперечных координат, Икс и у.

${ Displaystyle г (х, у) = час (х, у) * е (х, у)}$

Импульсная характеристика оптической системы формирования изображения - это поле выходной плоскости, которое создается, когда идеальный математический точечный источник света помещается во входную плоскость (обычно на оси). На практике нет необходимости иметь идеальный точечный источник для определения точной импульсной характеристики. Это связано с тем, что любая полоса пропускания источника, которая находится за пределами полосы пропускания системы, в любом случае не будет иметь значения (поскольку она даже не может быть захвачена оптической системой), поэтому в определении импульсной характеристики нет необходимости. Источник должен иметь по крайней мере такую ​​же (угловую) полосу пропускания, как оптическая система.

Оптические системы обычно относятся к одной из двух категорий. Первая - это обычная сфокусированная оптическая система формирования изображения, в которой входная плоскость называется плоскостью объекта, а выходная плоскость называется плоскостью изображения. Желательно, чтобы поле в плоскости изображения было высококачественным воспроизведением поля в плоскости объекта. В этом случае желательно, чтобы импульсная характеристика оптической системы аппроксимировала двумерную дельта-функцию в том же месте (или в линейно масштабированном положении) в выходной плоскости, соответствующем местоположению импульса во входной плоскости. В действительный импульсный отклик обычно напоминает Функция Эйри, радиус которого порядка длины волны используемого света. В этом случае импульсную характеристику обычно называют функция разброса точки, поскольку математическая точка света в плоскости объекта была распределена в функцию Эйри в плоскости изображения.

Второй тип - это система оптической обработки изображений, в которой важная особенность в поле входной плоскости должна быть расположена и изолирована. В этом случае желательно, чтобы импульсная характеристика системы была точной копией (изображением) той особенности, которая ищется в поле входной плоскости, чтобы свертка импульсной характеристики (изображение желаемой характеристики) напротив поля входной плоскости создаст яркое пятно в месте расположения объекта в выходной плоскости. Это последний тип оптических обработка изображений система, о которой идет речь в этом разделе. В разделе 5.2 представлена ​​одна аппаратная реализация операций обработки оптических изображений, описанных в этом разделе.

Входная плоскость

Входная плоскость определяется как геометрическое место всех точек, таких что z = 0. Входное изображение ж следовательно является

${ displaystyle f (x, y) = U (x, y, z) { big |} _ {z = 0}}$

Выходная плоскость

Плоскость вывода определяется как геометрическое место всех точек, таких что z = d. Выходное изображение грамм следовательно является

${ displaystyle g (x, y) = U (x, y, z) { big |} _ {z = d}}$

Двумерная свертка входной функции против функции импульсной характеристики

${ Displaystyle г (х, у) ~ = ~ час (х, у) * е (х, у)}$

т.е.

${ Displaystyle г (х, у) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} ч (х-х ', у-у') ~ е (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.1) ~}$

Внимательный читатель заметит, что приведенный выше интеграл неявно предполагает, что импульсная характеристика НЕ ​​является функцией положения (x ', y') светового импульса на входной плоскости (если бы это было не так, этот тип свертки было бы невозможно). Это свойство известно как инвариантность сдвига (Скотт [1998]). Ни одна оптическая система не является полностью инвариантной к сдвигу: поскольку идеальная математическая точка света сканируется в сторону от оптической оси, аберрации в конечном итоге ухудшают импульсную характеристику (известную как кома в сфокусированных системах визуализации). Однако высококачественные оптические системы часто «достаточно инвариантны к сдвигу» в определенных областях входной плоскости, поэтому мы можем рассматривать импульсную характеристику как функцию только разницы между координатами входной и выходной плоскости, и, таким образом, безнаказанно использовать приведенное выше уравнение. .

Кроме того, это уравнение предполагает единичное увеличение. Если увеличение присутствует, то ур. (4.1) принимает вид

${ displaystyle g (x, y) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} h_ {M} (x-Mx ', y-My' ) ~ f (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.2) ~}$

что в основном переводит функцию импульсного отклика, h_M(), от x 'до x = Mx'. В (4.2) h_M() будет увеличенной версией функции импульсного отклика h () аналогичной, неувеличенной системы, так что h_M(х, у) = h (х / М, у / М).

Вывод уравнения свертки

Расширение до двух измерений тривиально, за исключением той разницы, что причинность существует во временной области, но не в пространственной. Причинность означает, что импульсная реакция час(т - t ') электрической системы из-за импульса, приложенного в момент времени t', обязательно должен быть равен нулю для всех моментов времени t, так что t - t '<0.

Получение сверточного представления отклика системы требует представления входного сигнала как взвешенной суперпозиции над последовательностью импульсных функций с использованием переход собственности из Дельта-функции Дирака.

${ displaystyle f (t) = int _ {- infty} ^ { infty} delta (t-t ') f (t') dt '}$

Тогда предполагается, что рассматриваемая система линейный, то есть выход системы из-за двух разных входов (возможно, в два разных момента) представляет собой сумму отдельных выходов системы для двух входов, когда они вводятся по отдельности. Таким образом, оптическая система не может содержать нелинейных материалов или активных устройств (кроме, возможно, чрезвычайно линейных активных устройств). Выход системы для одного входа дельта-функции определяется как импульсивный ответ системы, h (t - t '). И, исходя из нашего предположения о линейности (то есть, что выход системы на вход последовательности импульсов является суммой выходов, связанных с каждым отдельным импульсом), теперь мы можем сказать, что общая функция входа ж(т) производит вывод:

${ Displaystyle г (т) = int _ {- infty} ^ { infty} час (т-т ') е (т') дт '}$

куда час(t - t ') - (импульсный) отклик линейной системы на вход дельта-функции δ (t - t'), приложенный в момент времени t '. Отсюда и происходит приведенное выше уравнение свертки. Уравнение свертки полезно, потому что часто гораздо проще найти реакцию системы на ввод дельта-функции, а затем выполнить приведенную выше свертку, чтобы найти ответ на произвольный ввод, чем пытаться найти ответ на ввод произвольный ввод напрямую. Кроме того, импульсная характеристика (во временной или частотной областях) обычно дает представление о соответствующих характеристиках системы. В случае большинства линз функция рассеяния точки (PSF) является довольно распространенным показателем качества для целей оценки.

Та же логика используется в отношении Принцип Гюйгенса – Френеля, или формулировка Стрэттона-Чу, в которой «импульсная характеристика» упоминается как Функция Грина системы. Таким образом, работа линейной оптической системы в пространственной области аналогична принципу Гюйгенса – Френеля.

Передаточная функция системы

Если последнее уравнение выше преобразовано Фурье, оно становится:

${ Displaystyle G ( omega) ~ = ~ ЧАС ( omega) CDOT F ( omega)}$

куда

${ Displaystyle G ( omega) ~}$ это спектр выходного сигнала

${ Displaystyle H ( omega) ~}$ передаточная функция системы

${ Displaystyle F ( omega) ~}$ спектр входного сигнала

Аналогичным образом (4.1) можно преобразовать Фурье, чтобы получить:

${ Displaystyle G (k_ {x}, k_ {y}) ~ = ~ H (k_ {x}, k_ {y}) cdot F (k_ {x}, k_ {y})}$

Передаточная функция системы, ${ Displaystyle H ( omega)}$. В оптической визуализации эта функция более известна как оптическая передаточная функция (Хороший человек).

Еще раз это можно отметить из обсуждения Условие синуса Аббе, что это уравнение предполагает единичное увеличение.

Это уравнение приобретает свой реальный смысл, когда преобразование Фурье ${ Displaystyle ~ G (k_ {x}, k_ {y})}$ связана с коэффициентом плоской волны, поперечные волновые числа которой равны ${ displaystyle ~ (k_ {x}, k_ {y})}$. Таким образом, спектр плоской волны входной плоскости преобразуется в спектр плоской волны выходной плоскости посредством мультипликативного действия передаточной функции системы. Именно на этом этапе понимания предыдущий фон спектра плоских волн становится неоценимым для концептуализации оптических систем Фурье.

Применение принципов оптики Фурье

Фурье-оптика используется в области оптической обработки информации, главным элементом которой является классический процессор 4F.

В преобразование Фурье свойства линза предоставить множество приложений в обработка оптического сигнала Такие как пространственная фильтрация, оптическая корреляция и компьютерные голограммы.

Оптическая теория Фурье используется в интерферометрия, оптический пинцет, ловушки для атомов, и квантовые вычисления. Концепции фурье-оптики используются для восстановления фаза интенсивности света в плоскости пространственной частоты (см. адаптивно-аддитивный алгоритм ).

Фурье-преобразование линз

Если пропускающий объект расположен на расстоянии одного фокусного расстояния от линза, то его преобразование Фурье будет сформировано одно фокусное расстояние позади объектива. Рассмотрим рисунок справа (щелкните, чтобы увеличить)

О Фурье-преобразовании линз

На этом рисунке предполагается, что плоская волна падает слева. Функция пропускания в передней фокальной плоскости (т. Е. В плоскости 1) пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как в левой части ур. (2.1) (указано в z= 0), и при этом производит спектр плоских волн соответствующий FT функции пропускания, как в правой части ур. (2.1) (за z> 0). Различные компоненты плоской волны распространяются под разными углами наклона относительно оптической оси линзы (то есть горизонтальной оси). Чем мельче детали в прозрачности, тем шире угловая ширина спектра плоских волн. Мы рассмотрим одну такую ​​составляющую плоской волны, распространяющуюся под углом θ относительно оптической оси. Предполагается, что θ мало (параксиальное приближение ), так что

${ displaystyle { frac {k_ {x}} {k}} = sin theta simeq theta}$

и

${ displaystyle { frac {k_ {z}} {k}} = cos theta simeq 1 - { frac { theta ^ {2}} {2}}}$

и

${ displaystyle { frac {1} { cos theta}} simeq { frac {1} {1 - { frac { theta ^ {2}} {2}}}} simeq 1 + { гидроразрыв { theta ^ {2}} {2}}}$

На рисунке плоская волна фаза, движущаяся горизонтально от передней фокальной плоскости к плоскости линзы, равна

${ Displaystyle е ^ {ikf соз тета} ,}$

и сферическая волна фаза от линзы до пятна в задней фокальной плоскости составляет:

${ Displaystyle е ^ {ikf / соз тета} ,}$

а сумма двух длин пути равна ж (1 + θ²/ 2 + 1 - θ²/2) = 2ж т.е. это постоянное значение, не зависящее от угла наклона θ для параксиальных плоских волн. Каждая параксиальная плоская волновая составляющая поля в передней фокальной плоскости выглядит как функция разброса точки пятно в задней фокальной плоскости, с интенсивностью и фазой, равными интенсивности и фазе исходной плоской волновой составляющей в передней фокальной плоскости. Другими словами, поле в задней фокальной плоскости - это преобразование Фурье поля в передней фокальной плоскости.

Все компоненты FT вычисляются одновременно - параллельно - со скоростью света. Например, свет распространяется со скоростью примерно 1 фут (0,30 м). / нс, поэтому, если линза имеет 1 фут (0,30 м). фокусное расстояние, всего 2D FT можно рассчитать примерно за 2 нс (2 x 10⁻⁹ секунд). Если фокусное расстояние составляет 1 дюйм, то время меньше 200 пс. Ни один электронный компьютер не может конкурировать с такими числами или, возможно, когда-либо надеяться на это, хотя суперкомпьютеры на самом деле может оказаться быстрее, чем оптика, как бы невероятно это ни казалось. Однако их скорость достигается за счет объединения множества компьютеров, которые по отдельности все еще медленнее, чем оптика. Недостатком оптического FT является то, что, как показывает вывод, соотношение FT справедливо только для параксиальных плоских волн, поэтому этот «компьютер» FT по своей природе имеет ограниченную полосу пропускания. С другой стороны, поскольку длина волны видимого света настолько мала по сравнению даже с самыми маленькими размерами видимых элементов изображения, т.е.

${ displaystyle к ^ {2} gg k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}}$

(для всех k_Икс, k_у в пределах пространственной полосы изображения, так что k_z почти равно k), параксиальное приближение практически не является ограничивающим. И, конечно же, это аналоговый, а не цифровой компьютер, поэтому точность ограничена. Кроме того, фаза может быть сложной для извлечения; часто это делается интерферометрическим путем.

Оптическая обработка особенно полезна в приложениях реального времени, где требуется быстрая обработка огромных объемов 2D-данных, особенно в отношении распознавания образов.

Усечение объекта и феномен Гиббса

Пространственно модулированное электрическое поле, показанное в левой части уравнения. (2.1) обычно занимает только конечную (обычно прямоугольную) апертуру в плоскости x, y. Функция прямоугольной апертуры действует как двумерный фильтр с квадратным верхом, где предполагается, что поле за пределами этого двухмерного прямоугольника равно нулю. Интегралы в пространственной области для вычисления коэффициентов FT в правой части уравнения. (2.1) усекаются на границе этой апертуры. Такое усечение шага может внести неточности как в теоретические вычисления, так и в измеренные значения коэффициентов плоской волны на правой стороне уравнения. (2.1).

Всякий раз, когда функция прерывисто усекается в одном домене FT, расширение и волнистость вводятся в другом домене FT. Прекрасным примером из оптики является функция рассеяния точки, которая для осевого плоского волнового освещения квадратичной линзы (с круглой апертурой) является функцией Эйри, J₁(Икс)/Икс. Буквально точечный источник был "растянут" (с добавлением ряби), чтобы сформировать функцию рассеяния точки Эйри (в результате усечения спектра плоских волн конечной апертурой линзы). Этот источник ошибки известен как Феномен Гиббса и его можно смягчить, просто убедившись, что весь значимый контент находится рядом с центром прозрачности, или за счет использования оконные функции которые плавно сужают поле до нуля на границах кадра. По теореме свертки FT произвольной функции прозрачности, умноженной (или усеченной) на апертурную функцию, равна FT неусеченной функции прозрачности, свернутой против FT апертурной функции, которая в этом случае становится тип «функции Грина» или «функции импульсного отклика» в спектральной области. Следовательно, изображение круглой линзы равно функции плоскости объекта, свёрнутой с функцией Эйри (FT функции круглой апертуры равно J₁(Икс)/Икс а FT функции прямоугольной апертуры является произведением функций sinc, sin Икс/Икс).

Анализ Фурье и функциональная декомпозиция

Несмотря на то, что прозрачность ввода занимает только конечную часть Икс-у плоскости (Плоскость 1) однородные плоские волны, составляющие спектр плоских волн, занимают весь Икс-у плоскости, поэтому (для этого) только фаза продольной плоской волны (в z-направление от плоскости 1 к плоскости 2), а не фаза, поперечная z-направление. Конечно, очень заманчиво думать, что если плоская волна, исходящая из конечной апертуры прозрачности, наклонена слишком далеко от горизонтали, она каким-то образом полностью «промахнется» через линзу, но опять же, поскольку однородная плоская волна распространяется бесконечно далеко в все направления в поперечном (Икс-у) плоскости плоские волновые компоненты не могут пройти мимо линзы.

Этот вопрос, возможно, поднимает основную трудность анализа Фурье, а именно то, что функция входной плоскости, определенная на конечной опоре (то есть над ее собственной конечной апертурой), аппроксимируется другими функциями (синусоидами), которые имеют бесконечную опору (я.е., они определены на всей бесконечной Икс-у самолет). Это невероятно неэффективно в вычислительном отношении и является основной причиной того, что вейвлеты были задуманы, то есть представлять функцию (определенную на конечном интервале или области) в терминах колебательных функций, которые также определены на конечных интервалах или областях. Таким образом, вместо получения частотного содержания всего изображения сразу (вместе с частотным содержанием всего остального изображения) Икс-у плоскости, над которой изображение имеет нулевое значение), результатом вместо этого является частотный состав различных частей изображения, что обычно намного проще. К сожалению, вейвлеты в Икс-у плоскости не соответствуют какому-либо известному типу распространяющейся волновой функции точно так же, как синусоиды Фурье (в Икс-у плоскости) соответствуют плоским волновым функциям в трех измерениях. Однако FT большинства вейвлетов хорошо известны и, возможно, можно показать, что они эквивалентны некоторому полезному типу распространяющегося поля.

С другой стороны, Функции Sinc и Воздушные функции - которые являются не только функциями рассеяния точки прямоугольных и круглых отверстий соответственно, но также являются кардинальными функциями, обычно используемыми для функциональной декомпозиции в теория интерполяции / выборки [Скотт 1990] - делать соответствуют сходящимся или расходящимся сферическим волнам и, следовательно, потенциально могут быть реализованы как полностью новое функциональное разложение функции плоскости объекта, тем самым приводя к другой точке зрения, аналогичной по своей природе оптике Фурье. Это в основном то же самое, что и обычная лучевая оптика, но с включенными эффектами дифракции. В этом случае каждая функция рассеяния точки будет типом «гладкого пикселя», почти так же, как солитон на волокне является «гладким импульсом».

Возможно, показателем качества линзы в этой точке зрения на «функцию рассеяния точки» будет вопрос, насколько хорошо линза преобразует функцию Эйри в плоскости объекта в функцию Эйри в плоскости изображения в зависимости от радиального расстояния от оптики. оси, или как функция размера плоскости объекта функция Эйри. Это чем-то похоже на функцию рассеяния точки, за исключением того, что теперь мы действительно рассматриваем ее как своего рода передаточную функцию плоскости ввода-вывода (например, MTF), и не столько в абсолютном выражении, сколько в идеальной точке. Точно так же гауссовы вейвлеты, которые соответствовали бы перетяжке распространяющегося гауссова луча, также потенциально могли бы использоваться в еще одном функциональном разложении поля плоскости объекта.

Дальнее поле и 2D² / λ критерий

На рисунке выше, иллюстрирующем свойство линз преобразовывать Фурье, линза находится в ближнем поле прозрачности плоскости объекта, поэтому поле плоскости объекта на линзе можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, каждая из которых распространяется на некоторый угол по отношению к оси z. В этом отношении критерий дальнего поля в общих чертах определяется как: Дальность = 2 D² / λ где D - максимальная линейная протяженность оптических источников, а λ - длина волны (Скотт [1998]). В D прозрачности порядка см (10⁻² м), а длина волны света порядка 10⁻⁶ м, поэтому D/ λ для всей прозрачности порядка 10⁴. На этот раз D порядка 10² м, или сотни метров. С другой стороны, расстояние в дальней зоне от пятна PSF порядка λ. Это связано с тем, что D для пятна порядка λ, так что D/ λ порядка единицы; в этот раз D (т.е. λ) порядка λ (10⁻⁶ м).

Поскольку линза находится в дальнем поле любого пятна PSF, поле, падающее на линзу из пятна, можно рассматривать как сферическую волну, как в уравнении. (2.2), а не как спектр плоских волн, как в уравнении. (2.1). С другой стороны, линза находится в ближнем поле всей прозрачности входной плоскости, поэтому уравнение (2.1) - полный спектр плоских волн - точно представляет поле, падающее на линзу от более крупного протяженного источника.

Объектив как фильтр нижних частот

Линза - это, по сути, фильтр плоских волн нижних частот (см. Фильтр нижних частот ). Рассмотрим «маленький» источник света, расположенный на оси в плоскости объекта линзы. Предполагается, что источник достаточно мал, чтобы по критерию дальнего поля линза находилась в дальнем поле «малого» источника. Тогда поле, излучаемое маленьким источником, представляет собой сферическую волну, которая модулируется FT распределения источника, как в уравнении. (2.2) Затем линза пропускает - из плоскости объекта в плоскость изображения - только ту часть излучаемой сферической волны, которая лежит внутри краевого угла линзы. В этом случае дальнего поля усечение излучаемой сферической волны эквивалентно усечению спектра плоской волны небольшого источника. Таким образом, компоненты плоской волны в этой сферической волне в дальней зоне, которые лежат за краевым углом линзы, не захватываются линзой и не переносятся на плоскость изображения. Примечание: эта логика действительна только для небольших источников, таких, что линза находится в дальней зоне поля источника, согласно 2 D² / λ критерий, упомянутый ранее. Если представить себе прозрачность плоскости объекта как суммирование по малым источникам (как в Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона, Скотт [1990]), спектр каждой из которых усечен таким образом, то каждая точка всей прозрачности плоскости объекта испытывает те же эффекты этой фильтрации нижних частот.

Потеря высокочастотного (пространственного) содержимого вызывает размытие и потерю резкости (см. Обсуждение, связанное с функция разброса точки ). Усечение полосы пропускания приводит к тому, что точечный источник (фиктивный, математический, идеальный) в плоскости объекта размывается (или растягивается) в плоскости изображения, в результате чего возникает термин «функция рассеяния точки». Всякий раз, когда полоса пропускания расширяется или сокращается, размер изображения обычно соответственно сокращается или расширяется таким образом, чтобы произведение пространственно-пропускной способности оставалось постоянным по принципу Гейзенберга (Скотт [1998] и Условие синуса Аббе ).

Когерентность и преобразование Фурье

При работе в частотной области с предполагаемым e^jωt (инженерная) зависимость от времени, неявно предполагается когерентный (лазерный) свет, который имеет зависимость дельта-функции в частотной области. Свет на разных частотах (дельта-функция) будет «распылять» спектр плоских волн под разными углами, и в результате эти компоненты плоских волн будут сфокусированы в разных местах выходной плоскости. Свойство линз преобразовывать Фурье лучше всего работает с когерентным светом, если только нет особых причин комбинировать свет разных частот для достижения какой-то особой цели.

Аппаратная реализация передаточной функции системы: коррелятор 4F

Теория оптических передаточных функций, представленная в разделе 4, несколько абстрактна. Однако есть одно очень известное устройство, которое аппаратно реализует передаточную функцию H системы, используя только 2 идентичные линзы и прозрачную пластину - коррелятор 4F. Хотя одним из важных приложений этого устройства, безусловно, было бы выполнение математических операций взаимная корреляция и свертка, это устройство - с 4 фокусными расстояниями - на самом деле обслуживает широкий спектр операций обработки изображений, которые выходят далеко за рамки того, что подразумевает его название. Схема типичного коррелятора 4F показана на рисунке ниже (щелкните, чтобы увеличить). Это устройство можно легко понять, объединив представление спектра плоских волн электрического поля (Раздел 2) со свойством преобразования Фурье квадратичных линз (Раздел 5.1) для выполнения операций оптической обработки изображения, описанных в разделе 4.

Коррелятор 4F

Коррелятор 4F основан на теорема свертки из преобразование Фурье теория, которая утверждает, что свертка в пространственном (Икс,у) эквивалентна прямому умножению на пространственную частоту (k_Икс, k_у) домен (он же: спектральная область). И снова предполагается, что плоская волна падает слева, а прозрачность содержит одну двумерную функцию, ж(Икс,у), помещается во входной плоскости коррелятора, расположенном на одном фокусном расстоянии перед первой линзой. Прозрачность пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как показано в левой части уравнения. (2.1), и при этом производит спектр плоских волн, соответствующий FT функции пропускания, как в правой части уравнения. (2.1). Этот спектр затем формируется как «изображение» на расстоянии одного фокусного расстояния от первой линзы, как показано. Маска передачи, содержащая FT второй функции, грамм(Икс,у), помещается в этой же плоскости, на одно фокусное расстояние позади первой линзы, в результате чего пропускание через маску равно продукту, F(k_Икс,k_у) Икс грамм(k_Икс,k_у). Теперь этот продукт находится во «входной плоскости» второго объектива (одно фокусное расстояние впереди), так что FT этого продукта (т. Е. свертка из ж(Икс,у) и грамм(Икс,у)), формируется в задней фокальной плоскости второй линзы.

Если идеальный математический точечный источник света расположен на оси входной плоскости первой линзы, то в выходной плоскости первой линзы будет создаваться однородное коллимированное поле. Когда это однородное коллимированное поле умножается на маску плоскости FT, а затем преобразование Фурье с помощью второй линзы, поле выходной плоскости (которое в данном случае является импульсивный ответ коррелятора) - это просто наша корреляционная функция, грамм(Икс,у). В практических приложениях грамм(Икс,у) будет неким типом объекта, который необходимо идентифицировать и разместить в поле входной плоскости (см. Scott [1998]). В военных приложениях это может быть танк, корабль или самолет, которые необходимо быстро идентифицировать в более сложной сцене.

Коррелятор 4F - отличное устройство для иллюстрации «системных» аспектов оптических инструментов, упомянутых в Раздел 4 над. Функция маски плоскости FT, грамм(k_Икс,k_у) - системная передаточная функция коррелятора, которую мы в общем обозначим как ЧАС(k_Икс,k_у), и это FT функции импульсного отклика коррелятора, час(Икс,у), которая является нашей корреляционной функцией грамм(Икс,у). И, как упоминалось выше, импульсная характеристика коррелятора - это всего лишь изображение функции, которую мы пытаемся найти во входном изображении. В корреляторе 4F передаточная функция системы ЧАС(k_Икс,k_у) прямо умножается на спектр F(k_Икс,k_у) входной функции, чтобы получить спектр выходной функции. Вот как системы обработки электрических сигналов работают с одномерными временными сигналами.

Послесловие: спектр плоских волн в более широком контексте функциональной декомпозиции

Электрические поля могут быть представлены математически многими различными способами. в Гюйгенс – Френель или же Страттон -Чу точки зрения, электрическое поле представлено как суперпозиция точечных источников, каждый из которых дает начало Функция Грина поле. Полное поле тогда является взвешенной суммой всех индивидуальных функциональных полей Грина. Это кажется наиболее естественным способом наблюдения за электрическим полем для большинства людей - без сомнения, потому что большинство из нас в то или иное время рисовали круги транспортиром и бумагой, почти так же, как Томас Янг в своей классической книге. бумага на двухщелевой эксперимент. Однако это ни в коем случае не единственный способ представить электрическое поле, которое также можно представить как спектр синусоидально изменяющихся плоских волн. Кроме того, Фриц Зернике предложил еще один функциональная декомпозиция на основе его Многочлены Цернике, определенный на единичном диске. Полиномы Цернике третьего порядка (и ниже) соответствуют нормальным аберрациям линзы. И еще одну функциональную декомпозицию можно провести в терминах Функции Sinc и функции Эйри, как в Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона и Теорема выборки Найквиста – Шеннона. Все эти функциональные разложения полезны в разных обстоятельствах. Ученый-оптик, имеющий доступ к этим различным формам представления, имеет более глубокое понимание природы этих чудесных полей и их свойств. Эти разные способы взгляда на поле не противоречат друг другу и не противоречат друг другу, скорее, исследуя их связи, часто можно глубже понять природу волновых полей.

Функциональная декомпозиция и собственные функции

Двойные предметы собственная функция расширения и функциональная декомпозиция оба кратко упомянуты здесь, не являются полностью независимыми. Разложение по собственным функциям до определенных линейных операторов, определенных в данной области, часто дает счетно бесконечный набор ортогональные функции который будет охватывать эту область. В зависимости от оператора и размерности (а также формы и граничных условий) его области, в принципе, возможны многие различные типы функциональной декомпозиции.

Смотрите также

• Условие синуса Аббе
• Адаптивно-аддитивный алгоритм
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Функция распределения точки
• Фазово-контрастная микроскопия
• Фраунгофера дифракция
• Дифракция Френеля
• Геометрическая оптика
• Гильбертово пространство
• Оптический коррелятор
• Оптическое преобразование Хартли

Рекомендации

• Даффье, Пьер-Мишель (1983). Преобразование Фурье и его приложения в оптике. Нью-Йорк, США: Джон Уайли и сыновья.
• Гудман, Джозеф (2005). Введение в фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Company Publishers. ISBN  0-9747077-2-4. Получено 2017-10-28.
• Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-11609-X.
• Уилсон, Раймонд (1995). Ряды Фурье и методы оптического преобразования в современной оптике. Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-30357-7.
• Скотт, Крейг (1998). Введение в оптику и оптическое отображение. Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-7803-3440-X.
• Скотт, Крейг (1990). Современные методы анализа и проектирования рефлекторных антенн. Артек Хаус. ISBN  0-89006-419-9.
• Скотт, Крейг (1989). Метод спектральной области в электромагнетизме.. Артек Хаус. ISBN  0-89006-349-4.
• Введение в оптику Фурье и коррелятор 4F

внешняя ссылка

• Послы, Пьер (2010). «Оптические вычисления: 60-летнее приключение». Достижения в оптических технологиях. Hindawi Limited. 2010: 1–15. Дои:10.1155/2010/372652. ISSN  1687-6393.
• Страттон, Дж. А .; Чу, Л. Дж. (1939-07-01). «Дифракционная теория электромагнитных волн» (PDF). Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 56 (1): 99–107. Дои:10.1103 / Physrev.56.99. ISSN  0031-899X.