Закон зеленых - Википедия - Greens law

Распространение мелководных длинных волн, показывающих изменение длина волны и высота волны с уменьшением глубины воды.

В динамика жидкостей, Закон Грина, названный в честь британского математика 19 века Джордж Грин, это закон сохранения описывая эволюцию неразрывный, поверхностные гравитационные волны распространение в мелководье постепенно изменяющейся глубины и ширины. В простейшем виде для волновые фронты и контуры глубины параллельно друг другу (и побережью) говорится:

{ displaystyle H_ {1} , cdot , { sqrt [{4}] {h_ {1}}} = H_ {2} , cdot , { sqrt [{4}] {h_ { 2}}}}

или же

{ displaystyle left (H_ {1} right) ^ {4} , cdot , h_ {1} = left (H_ {2} right) ^ {4} , cdot , h_ { 2},}

куда ${ displaystyle H_ {1}}$ и ${ displaystyle H_ {2}}$ являются высота волны в двух разных местах - 1 и 2 соответственно - где проходит волна, и ${ displaystyle h_ {1}}$ и ${ displaystyle h_ {2}}$ являются иметь в виду глубины воды в тех же двух местах.

Закон Грина часто используется в береговая инженерия для моделирования длинных мелководные волны на пляже, с "длинным" значением длины волн примерно в двадцать раз превышающей среднюю глубину воды.^[1] Цунами мелководье (меняют свою высоту) в соответствии с этим законом, по мере размножения - регулируется преломление и дифракция - через океан и вверх по континентальный шельф. Очень близко к берегу (и поднимаясь вверх), нелинейные эффекты становятся важными, и закон Грина больше не применяется.^[2]^[3]

Описание

Схождение волновых лучей (уменьшение ширины

{ displaystyle b}

) в Маверикс, Калифорния, производя высокие серфинг волны. Красные линии - это волновые лучи; синие линии - это волновые фронты. Расстояния между соседними волновыми лучами меняются по направлению к берегу из-за преломление к батиметрия (вариации глубины). Расстояние между фронтами волн уменьшается по направлению к берегу из-за обмеление волн (уменьшение глубины

{ displaystyle h}

).

Согласно этому закону, в основе которого линеаризованный уравнения мелкой воды, пространственные вариации высота волны ${ displaystyle H}$ (вдвое больше амплитуда ${ displaystyle a}$ за синусоидальные волны, равной амплитуде для уединенная волна ) за бегущие волны в воде средней глубины ${ displaystyle h}$ и ширина ${ displaystyle b}$ (в случае открытый канал ) удовлетворить^[4]^[5]

{ displaystyle H , { sqrt {b}} , { sqrt [{4}] {h}} = { text {constant}},}

куда ${ displaystyle { sqrt [{4}] {h}}}$ это четвертый корень из ${ displaystyle h.}$ Следовательно, при рассмотрении двух поперечных сечений открытого канала, обозначенных цифрами 1 и 2, высота волны в сечении 2 составляет:

{ displaystyle H_ {2} = { sqrt { frac {b_ {1}} {b_ {2}}}} ; { sqrt [{4}] { frac {h_ {1}} {h_ { 2}}}} ; H_ {1},}

с индексами 1 и 2, обозначающими величины в соответствующем поперечном сечении. Итак, когда глубина уменьшилась в шестнадцать раз, волны стали вдвое выше. А высота волны увеличивается вдвое после того, как ширина канала постепенно уменьшается в четыре раза. Для распространения волн перпендикуляр по направлению к прямому берегу с очертаниями глубин, параллельными береговой линии, принять ${ displaystyle b}$ постоянная, скажем, 1 метр или ярд.

Для преломления длинных волн в океане или у побережья ширина ${ displaystyle b}$ можно интерпретировать как расстояние между волнами лучи. Лучи (и изменения расстояния между ними) следуют из геометрическая оптика приближение к линейному распространению волн.^[6] В случае прямых параллельных контуров глубины это упрощает использование Закон Снеллиуса.^[7]

Грин опубликовал свои результаты в 1838 г.^[8] на основе метода - Метод Лиувилля – Грина - которые превратились бы в то, что сейчас известно как Приближение ВКБ. Закон Грина также соответствует постоянству средней горизонтальной волны поток энергии для длинных волн:^[4]^[5]

{ displaystyle b , { sqrt {gh}} , { tfrac {1} {8}} rho gH ^ {2} = { text {constant}},}

куда ${ displaystyle { sqrt {gh}}}$ это групповая скорость (равно фазовая скорость на мелководье), ${ Displaystyle { tfrac {1} {8}} rho gH ^ {2} = { tfrac {1} {2}} rho ga ^ {2}}$ это средняя волна плотность энергии интегрировано по глубине и на единицу горизонтальной площади, ${ displaystyle g}$ это гравитационное ускорение и ${ displaystyle rho}$ это вода плотность.

Длина волны и период

Кроме того, из анализа Грина длина волны ${ displaystyle lambda}$ волны укорачивается при переходе на мелководье, с^[4]^[8]

{ displaystyle { frac { lambda} { sqrt {g , h}}} = { text {constant}}}

вдоль волны луч. Колебание период (а значит, и частота ) обмеления волн не меняется согласно линейной теории Грина.

Вывод

Грин вывел свой закон обмеления для водных волн, используя то, что сейчас известно как метод Лиувилля – Грина, применимый к постепенным изменениям глубины. ${ displaystyle h}$ и ширина ${ displaystyle b}$ по пути распространения волны.^[9]

Вывод закона Грина

Волновое уравнение для открытого канала

Отправной точкой являются линеаризованные одномерные уравнения Сен-Венана для открытый канал с прямоугольным сечением (вертикальные боковые стенки). Эти уравнения описывают эволюцию волны с свободная поверхность высота ${ Displaystyle eta (х, т)}$ и горизонтальная скорость потока ${ Displaystyle и (х, т),}$ с ${ displaystyle x}$ горизонтальная координата по оси канала и ${ displaystyle t}$ время:

{ displaystyle { begin {align} & b , { frac { partial eta} { partial t}} + { frac { partial (b , h , u)} { partial x}} = 0, & { frac { partial u} { partial t}} + g , { frac { partial eta} { partial x}} = 0, end {align}}}

куда ${ displaystyle g}$ это гравитация Земли (принимается за константу), ${ displaystyle h}$ это иметь в виду глубина воды, ${ displaystyle b}$ ширина канала и ${ Displaystyle partial / partial t}$ и ${ Displaystyle partial / partial x}$ обозначают частные производные по отношению к пространству и времени. Медленное изменение ширины ${ displaystyle b}$ и глубина ${ displaystyle h}$ с расстоянием ${ displaystyle x}$ вдоль оси канала учитывается, обозначая их как ${ Displaystyle б ( му х)}$ и ${ Displaystyle ч ( му х),}$ куда ${ displaystyle mu}$ это небольшой параметр: ${ displaystyle mu ll 1.}$ Приведенные выше два уравнения можно объединить в одно волновое уравнение для отметки поверхности:

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} eta} { partial t ^ {2}}} - { frac {g} {b}} , { frac { partial} { partial x }} left (b , h , { frac { partial eta} { partial x}} right) = 0,}

и со скоростью, следующей из

{ displaystyle u = -g int { frac { partial eta} { partial x}} ; mathrm {d} t.}

(1)

В методе Лиувилля – Грина подход состоит в преобразовании указанного выше волнового уравнения с неоднородный коэффициентов в однородный (пренебрегая небольшими остатками в терминах ${ displaystyle mu}$ ).

Преобразование в фазу волны как независимая переменная

Следующим шагом будет применение преобразование координат, вводя время в пути (или фаза волны ) ${ Displaystyle тау}$ данный

{ displaystyle { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} tau}} = { sqrt {g , h}},}

так

{ displaystyle tau = int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h ( mu s)}}} ; mathrm {d} s}

и ${ displaystyle x}$ связаны через быстрота ${ displaystyle c = { sqrt {gh}}.}$ Представляем медленная переменная ${ Displaystyle X = mu x}$ и обозначая производные от ${ displaystyle b (X)}$ и ${ displaystyle h (X)}$ относительно ${ displaystyle X}$ с штрихом, например ${ displaystyle b '= mathrm {d} b / mathrm {d} X,}$ то ${ displaystyle x}$ -производные в волновом уравнении, Ур. (1), становиться:

{ displaystyle { begin {align} & { frac { partial eta} { partial x}} = left ({ frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} tau}} right) ^ {- 1} , { frac { partial eta} { partial tau}} = { frac {1} { sqrt {g , h}}} , { frac { partial eta} { partial tau}} qquad { text {and}} & { frac { partial} { partial x}} left (b , h , { frac { partial eta} { partial x}} right) = b , h , { frac { partial ^ {2} eta} { partial x ^ {2}}} + mu left ( b ', h + b , h' right) , { frac { partial eta} { partial x}} = { frac {b} {g}} , { frac { partial ^ {2} eta} { partial tau ^ {2}}} + mu , { frac {b ', h + { tfrac {1} {2}} , b , h'} { sqrt {gh}}} , { frac { partial eta} { partial tau}}. end {выравнивается}}}

Теперь волновое уравнение (1) превращается в:

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} eta} { partial t ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2} eta} { partial tau ^ {2}} } - mu , { sqrt {g , h}} , left ({ frac {b '} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} right) , { frac { partial eta} { partial tau}} = 0.}

(2)

Следующим шагом является преобразование уравнения таким образом, чтобы только отклонения от однородности во втором порядок приближения остаются, т.е. пропорциональны ${ displaystyle mu ^ {2}.}$

Дальнейшее преобразование к однородности

Однородное волновое уравнение (т.е. уравнение (2) когда ${ displaystyle mu}$ равен нулю) имеет решения ${ Displaystyle eta = F (т пм тау)}$ за бегущие волны постоянной формы, распространяющейся либо в негативном, либо в позитивном ${ displaystyle x}$ -направление. Для неоднородного случая, рассматривая волны, распространяющиеся в положительной ${ displaystyle x}$ -направлении, Грин предлагает приблизительное решение:

{ Displaystyle эта ( тау, т) = тета (Х) , F (т- тау).}

(3)

потом

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial ^ {2} eta} { partial t ^ {2}}} & = Theta , { frac { mathrm {d} ^ {2 } F} { mathrm {d} tau ^ {2}}}, { frac { partial eta} { partial tau}} & = Theta , { frac { mathrm {d } F} { mathrm {d} tau}} + mu , { sqrt {g , h}} , Theta ', F qquad { text {and}} { frac { partial ^ {2} eta} { partial tau ^ {2}}} & = Theta , { frac { mathrm {d} ^ {2} F} { mathrm {d} tau ^ {2}}} + 2 , mu , { sqrt {g , h}} , Theta ', { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} tau }} + mu ^ {2} , g , h , Theta '' , F. end {align}}}

Теперь левая сторона уравнения (2) становится:

{ displaystyle mu , { sqrt {g , h}} , left (2 , { frac { Theta '} { Theta}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} right) , Theta , { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} tau}} + mu ^ {2} , g , h , left ({ frac { Theta ''} { Theta '}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} right) , Theta' , F.}

Итак, предлагаемое решение в формуле. (3) удовлетворяет уравнению. (2), а значит, и уравнение. (1) помимо двух указанных выше членов, пропорциональных ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle mu ^ {2}}$ , с ${ displaystyle mu ll 1.}$ Ошибка в решении может быть сделана по порядку ${ Displaystyle { mathcal {O}} ( mu ^ {2})}$ при условии

{ displaystyle 2 , { frac { Theta '} { Theta}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h ' } {h}} = 0.}

У этого есть решение:

{ displaystyle Theta (X) = alpha , b ^ {- { tfrac {1} {2}}} , h ^ {- { tfrac {1} {4}}}.}

Используя уравнение. (3) и преобразование из ${ displaystyle x}$ к ${ Displaystyle тау}$ , приближенное решение для отметки поверхности ${ Displaystyle eta (х, т)}$ является

{ displaystyle eta (x, t) = b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {1} {4}}} (x) ; F left (t- int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right ) + { mathcal {O}} ( mu ^ {2}),}

(4)

где постоянная ${ displaystyle alpha}$ был установлен на единицу, не теряя общий смысл. Волны, движущиеся в негативе ${ displaystyle x}$ -направление имеют знак минус в аргументе функции ${ displaystyle F}$ перевернут на знак плюса. Поскольку теория линейна, решения могут быть добавлены из-за принцип суперпозиции.

Синусоидальные волны и закон Грина

Волны меняющиеся синусоидальный вовремя, с период ${ displaystyle T,}$ считаются. То есть

{ displaystyle eta (x, t) = a (x) , sin ( omega , t- phi (x)) = { tfrac {1} {2}} , H (x) , sin ( omega , t- phi (x)),}

куда ${ displaystyle a}$ это амплитуда, ${ displaystyle H = 2a}$ это высота волны, ${ displaystyle omega = 2 pi / T}$ это угловая частота и ${ Displaystyle фи (х)}$ это фаза волны. Следовательно, также ${ displaystyle F}$ в уравнении. (4) должен быть синусоидальным, например ${ Displaystyle F = бета грех ( omega t- phi (x))}$ с ${ displaystyle beta}$ константа.

Применяя эти формы ${ displaystyle eta}$ и ${ displaystyle F}$ в уравнении. (4) дает:

{ displaystyle H , b ^ { tfrac {1} {2}} , h ^ { tfrac {1} {4}} = beta,}

который Закон Грина.

Скорость потока

Горизонтальная скорость потока в ${ displaystyle x}$ -направление следует непосредственно из подстановки решения для отметки поверхности ${ Displaystyle eta (х, т)}$ из уравнения. (4) в выражение для ${ Displaystyle и (х, т)}$ в уравнении. (1):^[10]

{ displaystyle { begin {align} u (x, t) & = g ^ { tfrac {1} {2}} ; b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {3} {4}}} (x) ; F left (t- int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt { g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right) & + mu , { tfrac {1} {2}} , g , b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {1} {4}}} (x) ; { frac {(b , { sqrt {h}}) '} {b , { sqrt {h}}}} , Phi (x, t) + { frac {Q} {b (x) , h (x)}} + { mathcal {O }} left ( mu ^ {2} right), & qquad { text {with}} qquad Phi (x, t) = int _ {t_ {0}} ^ {t} F left ( sigma - int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right ) ; mathrm {d} sigma end {align}}}

и ${ displaystyle Q}$ дополнительная константа увольнять.

Обратите внимание, что - когда ширина ${ displaystyle b}$ и глубина ${ displaystyle h}$ не являются константами - член, пропорциональный ${ Displaystyle Phi (х, т)}$ подразумевает ${ Displaystyle { mathcal {O}} ( му)}$ (небольшая) разность фаз между высотой ${ displaystyle eta}$ и скорость ${ displaystyle u}$ .

Для синусоидальных волн с амплитудой скорости ${ Displaystyle V,}$ скорости потока мелкие до ведущий заказ в качестве^[8]

{ displaystyle V , b ^ { tfrac {1} {2}} , h ^ { tfrac {3} {4}} = { text {constant}}.}

Этого можно было ожидать, поскольку для горизонтальной кровати ${ displaystyle V = { sqrt {g , h}} , (a / h) = { sqrt {g / h}} , a}$ с ${ displaystyle a}$ амплитуда волны.

Примечания

^ Дин и Дэлримпл (1991), §3.4)
^ Synolakis и Skjelbreia (1993)
^ Синолакис (1991)
^ ^а ^б ^c Баранина (1993, §185)
^ ^а ^б Дин и Дэлримпл (1991), §5.3)
^ Сатаке (2002)
^ Дин и Дэлримпл (1991), §4.8.2)
^ ^а ^б ^c Зеленый (1838)
^ Вывод, представленный ниже, соответствует логике рассуждений, использованной Баранина (1993, §169 & §185).
^ Диденкулова, Пелиновский и Соомере (2009)

Физическая океанография
Волны	Теория волн Эйри Шкала баллантина Неустойчивость Бенджамина – Фейра Приближение Буссинеска Разбивающаяся волна Клапотис Кноидальная волна Пересечь море Дисперсия Краевая волна Экваториальные волны Принести Гравитационная волна Закон Грина Инфрагравитационная волна Внутренняя волна Номер Ирибаррена Волна Кельвина Кинематическая волна Береговой дрейф Вариационный принцип Люка Уравнение с умеренным наклоном Радиационный стресс Разбойная волна Волна Россби Россби-гравитационные волны Состояние моря Seiche Значительная высота волны Солитон Пограничный слой Стокса Стоксов дрейф Волна Стокса Опухать Трохоидальная волна Цунами Мегацунами Прилив Номер Урселла Волновое действие Волновая база Высота волны Мощность волны Волновой радар Настройка волны Обмеление волн Волновая турбулентность Взаимодействие волна-ток Волны и мелководье одномерные уравнения Сен-Венана уравнения мелкой воды Ветровая волна модель
Тираж	Атмосферная циркуляция Бароклинность Граничный ток Сила Кориолиса Сила Кориолиса – Стокса Вихревая сила Крейка – Лейбовича Даунвеллинг Эдди Слой Экмана Спираль Экмана Экман транспорт Эль-Ниньо – Южное колебание Модель общей циркуляции Исследование геохимических разрезов океана Геострофическое течение Проект анализа глобальных океанических данных Гольфстрим Галотермальная циркуляция Гумбольдтовское течение Гидротермальная циркуляция Ленгмюровское кровообращение Береговой дрейф Контурный ток Модульная модель океана океаническое течение Динамика океана Круговорот океана Принстонская модель океана Ток разрыва Подземные течения Баланс Свердрупа Термохалинное кровообращение неисправность Апвеллинг Ток, генерируемый ветром Водоворот Эксперимент по циркуляции Мирового океана
Приливы	Амфидромная точка Земной прилив Глава прилива Внутренний прилив Лунный интервал Перигей весенний прилив Rip tide Правило двенадцатых Стоячая вода Приливная скважина Приливная сила Приливная сила Приливная гонка Приливный диапазон Приливный резонанс Датчик приливов и отливов Линия прилива Теория приливов
Формы рельефа	Глубинный веер Абиссальная равнина Атолл Батиметрическая карта Прибрежная география Холодное просачивание Континентальная окраина Континентальный подъем континентальный шельф Контурит Гайо Гидрография Океанический бассейн Плато океана Океанический желоб Пассивная маржа Морское дно Подводная гора Подводный каньон Подводный вулкан
Пластина тектоника	Сходящаяся граница Расходящаяся граница Зона перелома Гидротермальный источник Морская геология Срединно-океанский хребет Разрыв Мохоровича Гипотеза Вайна – Мэтьюза – Морли Океаническая кора Зыбь наружной траншеи Ридж-толчок Распространение морского дна Вытягивание плиты Всасывание плиты Плиточное окно Субдукция Преобразовать ошибку Вулканическая дуга
Океанские зоны	Бентосный Глубокая океанская вода Глубокое море Литораль Мезопелагический Океанический Пелагический Photic Серфинг Swash
Уровень моря	Глубоководная оценка цунами и сообщение о них Будущий уровень моря Глобальная система наблюдения за уровнем моря Оперативная океанографическая система Северо-Западного шельфа Кривая уровня моря Повышение уровня моря Мировая геодезическая система
Акустика	Глубокий рассеивающий слой Гидроакустика Акустическая томография океана Софар бомба ГНФАР канал Подводная акустика
Спутники	Джейсон-1 Джейсон-2 (Миссия по топографии поверхности океана) Джейсон-3
Связанный	Арго Бентический спускаемый аппарат Цвет воды DSV Элвин Окраинное море Морская энергия загрязнение морской среды Швартовка Национальный центр океанографических данных Океан Исследование океана Наблюдения за океаном Реанализ океана Топография поверхности океана Преобразование тепловой энергии океана Океанография Пелагический осадок Микрослой морской поверхности Температура поверхности моря Морская вода Наука о сфере Термоклин Подводный планер Толщина воды Атлас Мирового океана
Портал океанов Категория Commons