Уравнение с умеренным наклоном - Mild-slope equation

Когда ${displaystyle eta = a {mbox {}} exp (i heta)}$ используется в уравнении с умеренным наклоном, результат, помимо коэффициента ${displaystyle exp (i heta)}$:

${displaystyle c_ {p}, c_ {g}, left (Delta a, +, 2i, abla acdot abla heta, -, a, abla heta cdot abla heta, +, i, a, Delta heta ight), +, abla left (c_ {p}, c_ {g} ight) cdot left (abla a, +, i, a, abla heta ight), +, k ^ {2}, c_ {p}, c_ {g}, a, =, 0.}$

Теперь и действительная, и мнимая части этого уравнения должны быть равны нулю:

${displaystyle {egin {выравнивается} & c_ {p}, c_ {g}, Delta a, -, c_ {p}, c_ {g}, a, abla heta cdot abla heta, +, abla left (c_ {p}, c_ {g} ight) cdot abla a, +, k ^ {2}, c_ {p}, c_ {g}, a, =, 0quad {ext {and}} & 2, c_ {p}, c_ {g }, abla acdot abla heta, +, c_ {p}, c_ {g}, a, Delta heta, +, abla left (c_ {p}, c_ {g} ight) cdot left (a, abla heta ight), =, 0.end {выровнено}}}$

Вектор эффективного волнового числа ${displaystyle {oldsymbol {kappa}}}$ является определенный как градиент фазы волны:

${displaystyle {oldsymbol {kappa}}, =, abla heta}$ и это длина вектора является ${displaystyle kappa = | {oldsymbol {kappa}} |.}$

Обратите внимание, что ${displaystyle {oldsymbol {kappa}}}$ является безвихревый поле, поскольку завиток градиента равно нулю:

${displaystyle abla, imes, {oldsymbol {kappa}}, =, 0.}$

Теперь действительная и мнимая части преобразованного уравнения с умеренным наклоном становятся, сначала умножая мнимую часть на ${displaystyle a}$:

${displaystyle {egin {выровнено} и каппа ^ {2}, =, k ^ {2}, +, {frac {abla (c_ {p}, c_ {g})} {c_ {p}, c_ {g}} } cdot {frac {abla a} {a}}, +, {frac {Delta a} {a}} quad {ext {and}} & c_ {p}, c_ {g}, abla left (a ^ {2 } ight) cdot {oldsymbol {kappa}}, +, c_ {p}, c_ {g}, abla cdot {oldsymbol {kappa}}, +, a ^ {2}, {oldsymbol {kappa}} cdot abla left ( c_ {p}, c_ {g} ight), =, 0.end {выровнено}}}$

Первое уравнение непосредственно приводит к приведенному выше уравнению эйконала для ${displaystyle kappa,}$, а второй дает:

${displaystyle abla cdot left ({oldsymbol {kappa}}, c_ {p}, c_ {g}, a ^ {2} ight), =, 0,}$

который - отмечая, что ${displaystyle c_ {p} = omega / k}$ в котором угловая частота ${displaystyle omega}$ постоянная для временигармонический движение - приводит к уравнению сохранения волновой энергии.

Вариационный принцип Люка

Люка Лагранжиан формулировка дает вариационную формулировку для нелинейный поверхностные гравитационные волны.^[9]Для случая горизонтально неограниченной области с постоянной плотность ${displaystyle ho}$, свободная поверхность жидкости при ${displaystyle z = zeta (x, y, t)}$ и неподвижное морское дно на ${displaystyle z = -h (x, y),}$ Вариационный принцип Люка ${displaystyle delta {mathcal {L}} = 0}$ использует Лагранжиан

${displaystyle {mathcal {L}} = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint L; {ext {d}} x; {ext {d}} y; {ext {d}} t ,}$

куда ${displaystyle L}$ горизонтальный Плотность лагранжиана, предоставленный:

${displaystyle L = -ho, left {int _ {- h (x, y)} ^ {zeta (x, y, t)} left [{frac {partial Phi} {partial t}} +, {frac {1 } {2}} left (left ({frac {partial Phi} {partial x}} ight) ^ {2} + left ({frac {partial Phi} {partial y}} ight) ^ {2} + left ({ frac {partial Phi} {partial z}} ight) ^ {2} ight) ight]; {ext {d}} z; +, {frac {1} {2}}, g, (zeta ^ {2}, -, h ^ {2}) ight},}$

куда ${displaystyle Phi (x, y, z, t)}$ это потенциал скорости, с скорость потока компоненты, являющиеся ${displaystyle partial Phi / partial {x},}$ ${displaystyle частично Phi / partial {y}}$ и ${displaystyle частично Phi / частично {z}}$ в ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$ и ${displaystyle z}$ Лагранжева формулировка Люка также может быть преобразована в Гамильтонова формулировка с точки зрения возвышения поверхности и потенциала скорости на свободной поверхности.^[10]Принимая вариации ${displaystyle {mathcal {L}} (фи, дзета)}$ относительно потенциала ${displaystyle Phi (x, y, z, t)}$ и отметка поверхности ${displaystyle zeta (x, y, t)}$ приводит к Уравнение лапласа за ${displaystyle Phi}$ внутри жидкости, а также все граничные условия как на свободной поверхности ${displaystyle z = zeta (x, y, t)}$ как у кровати в ${displaystyle z = -h (x, y).}$

Теория линейных волн

В случае линейной волновой теории вертикальный интеграл от плотности лагранжиана ${displaystyle L}$ разделяется на часть от кровати ${displaystyle z = -h}$ к средней поверхности на ${displaystyle z = 0,}$ и вторая часть из ${displaystyle z = 0}$ на свободную поверхность ${displaystyle z = zeta}$. Используя Серия Тейлор разложение для второго интеграла вокруг средней отметки свободной поверхности ${displaystyle z = 0,}$ и только сохраняя квадратичные члены в ${displaystyle Phi}$ и ${displaystyle zeta,}$ плотность лагранжиана ${displaystyle L_ {0}}$ для линейного волнового движения становится

${displaystyle L_ {0} = - ho, left {zeta, left [{frac {partial Phi} {partial t}} ight] _ {z = 0}, +, int _ {- h} ^ {0} {frac {1} {2}} left [left ({frac {partial Phi} {partial x}} ight) ^ {2} + left ({frac {partial Phi} {partial y}} ight) ^ {2} + left ({frac {partial Phi} {partial z}} ight) ^ {2} ight]; {ext {d}} z; +, {frac {1} {2}}, g, zeta ^ {2}, ight }.}$

Период, термин ${displaystyle частично Phi / partial {t}}$ в вертикальном интеграле опускается, поскольку он стал динамически неинтересным: он дает нулевой вклад в Уравнения Эйлера – Лагранжа., с фиксированным верхним пределом интегрирования. То же верно и для игнорируемого нижнего члена, пропорционального ${displaystyle h ^ {2}}$ в потенциальной энергии.

Волны распространяются по горизонтали. ${displaystyle (x, y)}$ плоскости, а структура потенциала ${displaystyle Phi}$ не волнообразно по вертикали ${displaystyle z}$-направление. Это предполагает использование следующего предположения о виде потенциальной ${displaystyle Phi:}$

${displaystyle Phi (x, y, z, t) = f (z; x, y), varphi (x, y, t)}$ с нормализацией ${displaystyle f (0; x, y) = 1}$ на средней отметке свободной поверхности ${displaystyle z = 0.}$

Здесь ${displaystyle varphi (x, y, t)}$ - потенциал скорости на уровне средней свободной поверхности ${displaystyle z = 0.}$ Затем делается предположение о небольшом наклоне, поскольку функция вертикальной формы ${displaystyle f}$ медленно меняется в ${displaystyle (x, y)}$-плоскость и горизонтальные производные ${displaystyle f}$ можно пренебречь скоростью потока. Так:

${displaystyle {egin {pmatrix} displaystyle {frac {partial Phi} {partial {x}}} [2ex] displaystyle {frac {partial Phi} {partial {y}}}} [2ex] displaystyle {frac {partial Phi} {partial {z}}} end {pmatrix}}, приблизительно, {egin {pmatrix} displaystyle f, {frac {partial varphi} {partial {x}}} [2ex] displaystyle f, {frac {partial varphi} { partial {y}}} [2ex] displaystyle {frac {partial {f}} {partial {z}}}, varphi end {pmatrix}}.}$

Как результат:

${displaystyle L_ {0} = - ho, left {zeta, {frac {partial varphi} {partial t}}, +, {frac {1} {2}}, F, left [left ({frac {partial varphi} {partial {x}}} ight) ^ {2}, +, left ({frac {partial varphi} {partial {y}}} ight) ^ {2} ight], +, {frac {1} {2} }, G, varphi ^ {2}, +, {frac {1} {2}}, g, zeta ^ {2}, ight},}$ с ${displaystyle F, =, int _ {- h} ^ {0} f ^ {2}; {ext {d}} z}$ и ${displaystyle G, =, int _ {- h} ^ {0} left ({frac {{ext {d}} f} {{ext {d}} z}} ight) ^ {2}; {ext {d }} z.}$

В Уравнения Эйлера – Лагранжа. для этой плотности лагранжиана ${displaystyle L_ {0}}$ есть, с ${displaystyle xi (x, y, t)}$ представляющий либо ${displaystyle varphi}$ или же ${displaystyle zeta:}$

${displaystyle {frac {partial {L_ {0}}} {partial xi}} - {frac {partial} {partial {t}}} left ({frac {partial {L_ {0}}}} {partial (partial xi / частичный {t})}} ход) - {frac {partial} {partial {x}}} левый ({frac {partial {L_ {0}}} {partial (частичный xi / частичный {x})}} полет) - {frac {partial} {partial {y}}} влево ({frac {partial {L_ {0}}} {partial (partial xi / partial {y})}} ight) = 0.}$

Сейчас же ${displaystyle xi}$ сначала принимается равным ${displaystyle varphi}$ а затем в ${displaystyle zeta.}$ В результате уравнения эволюции волнового движения принимают вид:^[4]

${displaystyle {egin {выравнивается} {frac {partial zeta} {partial t}}, & + abla cdot left (F, abla varphi ight), -, G, varphi, =, 0quad {ext {and}} {frac {partial varphi} {partial t}}, & +, g, zeta, =, 0, конец {выровнено}}}$

с оператором горизонтального градиента ∇: ∇ ≡ (∂ / ∂Икс ∂/∂у)^Т где T обозначает транспонировать.

Следующим шагом является выбор функции формы. ${displaystyle f}$ и определить ${displaystyle F}$ и ${displaystyle G.}$

Функция вертикальной формы из теории волн Эйри

Поскольку целью является описание волн над пологими слоями, функция формы ${displaystyle f (z)}$ выбирается в соответствии с Теория волн Эйри. Это линейная теория волн, распространяющихся на постоянной глубине. ${displaystyle h.}$ Форма функции формы:^[4]

${displaystyle f = {frac {cosh, {igl (} k, (z + h) {igr)}} {cosh, (kh)}},}$

с ${displaystyle k (x, y)}$ теперь вообще не постоянная, но выбранная для изменения в зависимости от ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ согласно местной глубине ${displaystyle h (x, y)}$ и соотношение линейной дисперсии:^[4]

${displaystyle omega _ {0} ^ {2}, =, g, k, anh, (kh).}$

Здесь ${displaystyle omega _ {0}}$ постоянная угловая частота, выбираемая в соответствии с характеристиками исследуемого волнового поля. Следовательно, интегралы ${displaystyle F}$ и ${displaystyle G}$ становиться:^[4]

${displaystyle {egin {align} F & = int _ {h} ^ {0} f ^ {2}; {ext {d}} z = {frac {1} {g}}, c_ {p}, c_ {g } quad {ext {and}} G & = int _ {h} ^ {0} left ({frac {partial {f}} {partial {z}}} ight) ^ {2}; {ext {d}} z = {frac {1} {g}} влево (omega _ {0} ^ {2}, -, k ^ {2}, c_ {p}, c_ {g} ight) .end {выровнено}}}$