Приближение Буссинеска (волны на воде) - Boussinesq approximation (water waves)

Моделирование периодических волн над подводным мелководье с моделью типа Буссинеска. Волны распространяются по подводному мелководью эллиптической формы на плоском пляже. Этот пример объединяет несколько эффектов волны и мелководье, включая преломление, дифракция, мелководный и слабый нелинейность.

В динамика жидкостей, то Приближение Буссинеска за волны на воде является приближение действительно для слабо нелинейный и довольно длинные волны. Приближение названо в честь Жозеф Буссинеск, который первым вывел их в ответ на наблюдение Джон Скотт Рассел из волна перевода (также известен как уединенная волна или же солитон ). В статье Буссинеска 1872 года вводятся уравнения, теперь известные как Уравнения Буссинеска.^[1]

Приближение Буссинеска для волны на воде учитывает вертикальную структуру по горизонтали и вертикали скорость потока. Это приводит к нелинейный уравнения в частных производных, называется Уравнения типа Буссинеска, которые включают частотная дисперсия (в отличие от уравнения мелкой воды, которые не являются частотно-дисперсионными). В прибрежная инженерия, Уравнения типа Буссинеска часто используются в компьютерные модели для симуляция из волны на воде в мелкий моря и гавани.

Хотя приближение Буссинеска применимо к достаточно длинным волнам, то есть когда длина волны большой по сравнению с глубиной воды - Расширение Стокса больше подходит для коротких волн (когда длина волны того же порядка, что и глубина воды, или меньше).

Приближение Буссинеска

Периодические волны в приближении Буссинеска, показанные вертикалью поперечное сечение в распространение волн направление. Обратите внимание на квартиру желоба и острый гребни, за счет нелинейности волны. Этот случай (нарисованный на шкала ) показывает волну с длина волны равно 39,1м, высота волны 1,8 м (т.е. разница между отметками гребня и желоба), а средняя глубина воды составляет 5 м, а гравитационное ускорение составляет 9,81 м / с².

Суть приближения Буссинеска - исключение вертикального координировать из уравнений потока, сохраняя при этом некоторые влияния вертикальной структуры потока при волны на воде. Это полезно, потому что волны распространяются в горизонтальной плоскости и имеют другое (не волнообразное) поведение в вертикальном направлении. Часто, как и в случае с Буссинеском, интерес в первую очередь вызывает распространение волн.

Это исключение вертикальной координаты было впервые выполнено Жозеф Буссинеск в 1871 г., чтобы построить приближенное решение для уединенной волны (или волна перевода ). Впоследствии, в 1872 году, Буссинеск вывел уравнения, известные сегодня как уравнения Буссинеска.

Шаги в приближении Буссинеска:

• а Расширение Тейлора состоит из горизонтального и вертикального скорость потока (или же потенциал скорости ) вокруг определенного высота,
• это Расширение Тейлора усекается до конечный количество терминов,
• сохранение массы (см. уравнение неразрывности ) для несжимаемый поток и ноль-завиток условие для безвихревой поток используются, чтобы заменить вертикальные частные производные количеств в Расширение Тейлора с горизонтальным частные производные.

После этого приближение Буссинеска применяется к остальным уравнениям потока, чтобы исключить зависимость от вертикальной координаты. уравнения в частных производных с точки зрения функции горизонтального координаты (и время ).

В качестве примера рассмотрим потенциальный поток над горизонтальной грядкой в ​​(х, г) самолет, с Икс горизонтальный и z вертикаль координировать. Кровать находится по адресу z = −час, куда час это иметь в виду глубина воды. А Расширение Тейлора сделан из потенциал скорости φ (х, z, t) вокруг уровня кровати z = −час:^[2]

${displaystyle {egin {выровнен} varphi, =, & varphi _ {b}, +, (z + h), left [{frac {partial varphi} {partial z}} ight] _ {z = -h}, +, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, left [{frac {partial ^ {2} varphi} {partial z ^ {2}}} ight] _ {z = -h} , & +, {frac {1} {6}}, (z + h) ^ {3}, left [{frac {partial ^ {3} varphi} {partial z ^ {3}}} ight] _ { z = -h}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, left [{frac {partial ^ {4} varphi} {partial z ^ {4}}} бег ] _ {z = -h}, +, cdots, конец {выровнено}}}$

куда φ_б(х, т) - потенциал скорости на дне. Вызов Уравнение Лапласа за φ, как действительный для несжимаемый поток, дает:

${displaystyle {egin {align} varphi, =, & left {, varphi _ {b}, -, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, {frac {partial ^ {2}) varphi _ {b}} {partial x ^ {2}}}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, {frac {partial ^ {4} varphi _ {b }} {partial x ^ {4}}}, +, cdots, ight}, & +, left {, (z + h), left [{frac {partial varphi} {partial z}} ight] _ {z = -h}, -, {frac {1} {6}}, (z + h) ^ {3}, {frac {partial ^ {2}} {partial x ^ {2}}} left [{frac { partial varphi} {partial z}} ight] _ {z = -h}, +, cdots, ight} =, & left {, varphi _ {b}, -, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, {frac {partial ^ {2} varphi _ {b}} {partial x ^ {2}}}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, {frac {partial ^ {4} varphi _ {b}} {partial x ^ {4}}}, +, cdots, ight}, end {align}}}$

поскольку вертикальная скорость ∂φ / ∂z равен нулю на - непроницаемом - горизонтальном слое z = −час. Впоследствии этот ряд может быть сокращен до конечного числа членов.

Исходные уравнения Буссинеска

Вывод

За волны на воде на несжимаемая жидкость и безвихревой поток в (Икс,z) самолет, граничные условия на свободная поверхность высота z = η(Икс,т) находятся:^[3]

${displaystyle {egin {выравнивание} {frac {partial eta} {partial t}}, & +, u, {frac {partial eta} {partial x}}, -, w, =, 0 {frac {partial varphi} {partial t}}, & +, {frac {1} {2}}, left (u ^ {2} + w ^ {2} ight), +, g, eta, =, 0, end {выровнено}} }$

куда:

ты горизонтальный скорость потока компонент: ты = ∂φ / ∂Икс,

ш это вертикаль скорость потока компонент: ш = ∂φ / ∂z,

грамм это ускорение к сила тяжести.

Теперь приближение Буссинеска для потенциал скорости φ, как указано выше, применяется в этих граничные условия. Далее, в полученных уравнениях только линейный и квадратичный условия в отношении η и ты_б сохраняются (с ты_б = ∂φ_б / ∂Икс горизонтальная скорость на дне z = −час). В кубический и члены более высокого порядка считаются незначительными. Тогда следующие уравнения в частных производных получаются:

набор A - Буссинеска (1872 г.), уравнение (25)

${displaystyle {egin {выравниваться} {frac {partial eta} {partial t}}, & +, {frac {partial} {partial x}}, left [left (h + eta ight), u_ {b} ight], =, {frac {1} {6}}, h ^ {3}, {frac {partial ^ {3} u_ {b}} {partial x ^ {3}}}, {frac {partial u_ {b} } {partial t}}, & +, u_ {b}, {frac {partial u_ {b}} {partial x}}, +, g, {frac {partial eta} {partial x}}, =, {frac {1} {2}}, h ^ {2}, {frac {partial ^ {3} u_ {b}} {частичное t, частичное x ^ {2}}}. Конец {выровнено}}}$

Эта система уравнений была получена для плоского горизонтального слоя, т.е. средняя глубина час постоянная, не зависящая от положения Икс. Когда правые части приведенных выше уравнений равны нулю, они сводятся к уравнения мелкой воды.

При некоторых дополнительных приближениях, но в том же порядке точности, приведенное выше множество А можно свести к единственному уравнение в частных производных для свободная поверхность высота η:

набор B - Буссинеск (1872 г.), уравнение (26)

${displaystyle {frac {partial ^ {2} eta} {partial t ^ {2}}}, -, gh, {frac {partial ^ {2} eta} {partial x ^ {2}}}, -, gh, {frac {partial ^ {2}} {partial x ^ {2}}} left ({frac {3} {2}}, {frac {eta ^ {2}} {h}}, +, {frac {1 } {3}}, h ^ {2}, {frac {partial ^ {2} eta} {partial x ^ {2}}} ight), =, 0.}$

Используя члены в скобках, важность нелинейности уравнения может быть выражена через Номер Урселла.В безразмерные величины, используя глубину воды час и гравитационное ускорение грамм для безразмерности это уравнение читается после нормализация:^[4]

${displaystyle {frac {partial ^ {2} psi} {partial au ^ {2}}}, -, {frac {partial ^ {2} psi} {partial xi ^ {2}}}, -, {frac {partial ^ {2}} {partial xi ^ {2}}} left (, 3, psi ^ {2}, +, {frac {partial ^ {2} psi} {partial xi ^ {2}}}, ight), =, 0,}$

с:

${displaystyle psi, =, {frac {1} {2}}, {frac {eta} {h}}}$	: безразмерная отметка поверхности,
${displaystyle au, =, {sqrt {3}}, t, {sqrt {frac {g} {h}}}}$	: безразмерное время, и
${displaystyle xi, =, {sqrt {3}}, {frac {x} {h}}}$	: безразмерное горизонтальное положение.

Квадрат линейной фазовой скорости c²/(gh) как функция относительного волнового числа кх.
А = Буссинеск (1872 г.), уравнение (25),
B = Буссинеск (1872 г.), уравнение (26),
C = полная линейная волновая теория, см. дисперсия (волны на воде)

Линейная частотная дисперсия

Волны на воде разных длины волн путешествовать с разными фазовые скорости, явление, известное как частотная дисперсия. В случае бесконечно малый волна амплитуда, терминология линейная частотная дисперсия. Характеристики частотной дисперсии уравнения типа Буссинеска можно использовать для определения диапазона длин волн, для которого оно является допустимым. приближение.

Линейный частотная дисперсия характеристики для вышеуказанного набора А уравнений:^[5]

${displaystyle c ^ {2}, =; gh, {frac {1, +, {frac {1} {6}}, k ^ {2} h ^ {2}} {1, +, {frac {1}) {2}}, k ^ {2} h ^ {2}}},}$

с:

• c в фазовая скорость,
• k в волновое число (k = 2π / λ, с λ в длина волны ).

В относительная ошибка в фазовой скорости c для набора А, по сравнению с линейная теория волн на воде, меньше 4% для относительного волнового числа кх <½ π. Итак, в инженерное дело приложения, установить А действительно для длин волн λ более чем в 4 раза больше глубины воды час.

Линейный частотная дисперсия характеристики уравнения B находятся:^[5]

${displaystyle c ^ {2}, =, gh, left (1, -, {frac {1} {3}}, k ^ {2} h ^ {2} ight).}$

Относительная ошибка фазовой скорости для уравнения B меньше 4% для кх <2π / 7, эквивалент длин волн λ более чем в 7 раз больше глубины воды час, называется довольно длинные волны.^[6]

Для коротких волн с k² час² > 3 уравнение B становятся физически бессмысленными, потому что больше нет ценный решения из фазовая скорость. Оригинальный набор из двух уравнения в частных производных (Буссинеск, 1872 г., уравнение 25, см. Набор А выше) не имеет этого недостатка.

В уравнения мелкой воды имеют относительную погрешность фазовой скорости менее 4% для длин волн λ превышает 13-кратную глубину воды час.

Уравнения и расширения типа Буссинеска

Подавляющее количество математические модели которые называются уравнениями Буссинеска. Это может легко привести к путанице, так как часто они вольно называются в Уравнения Буссинеска, хотя фактически рассматривается их вариант. Так что правильнее называть их Уравнения типа Буссинеска. Строго говоря, в Уравнения Буссинеска - это упомянутая выше система B, поскольку он используется в анализе в оставшейся части его статьи 1872 года.

Некоторые направления, на которые были распространены уравнения Буссинеска:

• различный батиметрия,
• улучшенный частотная дисперсия,
• улучшенный нелинейный поведение,
• делая Расширение Тейлора вокруг другой вертикали возвышения,
• разделив область жидкости на слои и применив приближение Буссинеска в каждом слое отдельно,
• включение разбивка волны,
• включение поверхностное натяжение,
• расширение на внутренние волны на интерфейс между жидкими областями разных плотность вещества,
• происхождение от вариационный принцип.

Дальнейшие приближения для одностороннего распространения волн

Хотя уравнения Буссинеска допускают одновременное распространение волн в противоположных направлениях, часто бывает выгодно рассматривать волны, распространяющиеся только в одном направлении. При небольших дополнительных предположениях уравнения Буссинеска сводятся к:

• в Уравнение Кортевега – де Фриза за распространение волн в одном горизонтальном измерение,
• в Уравнение Кадомцева – Петвиашвили. для (почти однонаправленный) распространение волн в двух горизонтальных размеры,
• в нелинейное уравнение Шредингера (Уравнение NLS) для комплексная амплитуда из узкополосный волны (медленно модулированный волны).

Помимо уединенных волновых решений уравнение Кортевега – де Фриза также имеет периодические и точные решения, называемые кноидальные волны. Это приближенные решения уравнения Буссинеска.

Численные модели

Моделирование с помощью волновой модели типа Буссинеска прибрежных волн, движущихся к входу в гавань. Моделирование выполнено с помощью модуля BOUSS-2D компании SMS.

Быстрее, чем моделирование в реальном времени с помощью модуля Boussinesq компании Celeris, демонстрирующее разбиение волн и преломление волн вблизи пляжа. Модель обеспечивает интерактивную среду.

Для моделирования волнового движения у берегов и гаваней существуют численные модели - как коммерческие, так и академические - с использованием уравнений типа Буссинеска. Некоторыми коммерческими примерами являются волновые модули типа Буссинеска в МАЙК 21 и SMS. Некоторые из бесплатных моделей Boussinesq - это Celeris,^[7] COULWAVE,^[8] и FUNWAVE.^[9] Большинство численных моделей используют конечно-разностный, конечный объем или же заключительный элемент методы для дискретизация уравнений модели. Научные обзоры и взаимные сравнения нескольких уравнений типа Буссинеска, их численное приближение и производительность, например Кирби (2003), Дингеманс (1997), Часть 2, глава 5) и Хамм, Мэдсен и Перегрин (1993).

Примечания

Рекомендации

• Буссинеск, Дж. (1871). "Théorie de l'intumescence liquide, applelee onde solitaire или перевод, se propageant dans un canal rectangulaire". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 72: 755–759.
• Буссинеск, Дж. (1872). "Théorie des ondes et des remous qui seprogent le long d'un channel rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Deuxième Série. 17: 55–108.
• Дингеманс, М.В. (1997). Распространение волны по неровному дну. Продвинутая серия по океанской инженерии 13. World Scientific, Сингапур. ISBN  978-981-02-0427-3. Архивировано из оригинал на 2012-02-08. Получено 2008-01-21.CS1 maint: ref = harv (связь) См. Часть 2, главу 5..
• Hamm, L .; Madsen, P.A .; Перегрин, Д. (1993). «Трансформация волн в прибрежной зоне: обзор». Береговая инженерия. 21 (1–3): 5–39. Дои:10.1016/0378-3839(93)90044-9.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Джонсон, Р. (1997). Современное введение в математическую теорию волн на воде. Кембриджские тексты по прикладной математике. 19. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59832-X.
• Кирби, Дж. (2003). «Модели Буссинеска и приложения для распространения прибрежных волн, процессов в зоне прибоя и течения, вызванного волнами». В Лахане В. (ред.). Достижения в прибрежном моделировании. Серия Elsevier Oceanography. 67. Эльзевир. С. 1–41. ISBN  0-444-51149-0.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Перегрин, Д. (1967). «Длинные волны на пляже». Журнал гидромеханики. 27 (4): 815–827. Bibcode:1967JFM .... 27..815P. Дои:10.1017 / S0022112067002605.
• Перегрин, Д. (1972). «Уравнения волн на воде и стоящие за ними приближения». В Meyer, R.E. (ред.). Волны на пляжах и возникающий перенос наносов. Академическая пресса. С. 95–122. ISBN  0-12-493250-9.