Волна Стокса - Stokes wave

Отметка поверхности глубоководной волны согласно Стокса Теория третьего порядка. Крутизна волны: ка = 0,3, с k то волновое число и а волна амплитуда. Типично для этих поверхностные гравитационные волны острые гребни и квартира желоба.

Испытания модели с периодическими волнами в волно-буксирном баке Морской инженерной лаборатории Джера А. Чейза, Университет Нью-Гэмпшира.

Волнообразное отверстие и щенки возле устья Река Арагуари на северо-востоке Бразилии. Вид под углом к ​​устью с самолета на высоте примерно 100 футов (30 м).^[1] Волны, следующие за фронтом ствола, появляются так же медленно. модулированный Волны Стокса.

В динамика жидкостей, а Волна Стокса это нелинейный и периодический поверхностная волна на невязкая жидкость слой постоянной средней глубины. Этот тип моделирования берет свое начало в середине 19 века, когда Сэр Джордж Стоукс - используя ряд возмущений подход, теперь известный как Расширение Стокса - получены приближенные решения для нелинейного волнового движения.

Волновая теория Стокса имеет прямое практическое применение для волн на средней и глубокой воде. Он используется в дизайне прибрежный и офшорные сооружения, чтобы определить волну кинематика (свободная поверхность высота и скорости потока ). В дальнейшем кинематика волн понадобится в процесс проектирования определить волновые нагрузки по структуре.^[2] Для длинных волн (по сравнению с глубиной) - и используя лишь несколько членов в разложении Стокса - его применимость ограничена волнами малых амплитуда. На таком мелководье кноидальная волна теория часто дает лучшие приближения периодических волн.

А в строгом смысле слова Волна Стокса относится к прогрессирующим периодическим волнам постоянной формы, термин также используется в связи с стоячие волны^[3] и даже для случайные волны.^[4][5]

Примеры

В приведенных ниже примерах описываются волны Стокса под действием силы тяжести (без поверхностное натяжение эффекты) в случае чисто волнового движения, то есть без окружающего среднего тока.

Волна Стокса третьего порядка на глубокой воде

Волна Стокса третьего порядка на глубокой воде под действием силы тяжести. Крутизна волны: ка = 0.3.

Три гармоники способствуя возвышению поверхности глубоководной волны, согласно теории третьего порядка Стокса. Крутизна волны: ка = 0,3. Для наглядности вертикальный масштаб искажен в четыре раза по сравнению с горизонтальным масштабом.
Описание:
• синяя линия - возвышение поверхности волны Стокса 3-го порядка,
• черная линия - это фундаментальный волновая составляющая с волновым числом k (длина волны λ, k = 2π / λ),
• голубая линия - гармоника на 2k (длина волны ½ λ), и
• красная линия - гармоника на 3k (длина волны ⅓ λ).

Согласно теории третьего порядка Стокса, свободная поверхность высота η, то потенциал скорости Φ, фазовая скорость (или быстрота) c и волна фаза θ являются для прогрессивный поверхностная гравитационная волна на глубокой воде - т.е. слой жидкости имеет бесконечную глубину:^[6]

${ displaystyle { begin {align} eta (x, t) = & a left { left [1 - { tfrac {1} {16}} (ka) ^ {2} right] cos theta + { tfrac {1} {2}} (ka) , cos 2 theta + { tfrac {3} {8}} (ka) ^ {2} , cos 3 theta right } & + { mathcal {O}} left ((ka) ^ {4} right), Phi (x, z, t) = & a { sqrt { frac {g} {k }}} , { text {e}} ^ {kz} , sin theta + { mathcal {O}} left ((ka) ^ {4} right), c = & { frac { omega} {k}} = left (1 + { tfrac {1} {2}} (ka) ^ {2} right) , { sqrt { frac {g} {k} }} + { mathcal {O}} left ((ka) ^ {4} right), { text {and}} theta (x, t) = & kx- omega t, end { выровнено}}}$

с:

Параметр расширения ка называется крутизной волны. Фазовая скорость увеличивается с увеличением нелинейности ка волн. В высота волны ЧАС, являющаяся разницей между отметками поверхности η в гребень и впадина, является:^[7]

${ displaystyle H = 2a , left (1 + { tfrac {3} {8}} , k ^ {2} a ^ {2} right).}$

Отметим, что члены второго и третьего порядка в потенциале скорости Φ равны нулю. Только в четвертом порядке вклады отклоняются от теории первого порядка, т.е. Теория волн Эйри - появляться.^[6] До третьего порядка орбитальной скорости поле ты = ∇Φ состоит из кругового движения вектора скорости в каждой позиции (Икс,z). В результате высота поверхности глубоководных волн в хорошем приближении трохоидальный, как уже отмечалось Стокса (1847).^[8]

Стокс далее заметил, что хотя (в этом Эйлеров описание) поле орбитальной скорости третьего порядка состоит из кругового движения в каждой точке, Лагранжиан пути жидкие посылки не замкнутые круги. Это связано с уменьшением амплитуды скорости с увеличением глубины под поверхностью. Этот лагранжев дрейф жидких частиц известен как Стоксов дрейф.^[8]

Волна Стокса второго порядка на произвольной глубине

Соотношение S = а₂ / а амплитуды а₂ из гармонический с удвоенным волновым числом (2k), к амплитуде а из фундаментальный согласно теории Стокса второго порядка для поверхностных гравитационных волн. По горизонтальной оси отложена относительная глубина воды. час / λ, причем час средняя глубина и λ длина волны, а по вертикальной оси - параметр Стокса S делится на крутизну волны ка (с k = 2π / λ).
Описание:
• синяя линия действительна для произвольной глубины воды, а
• пунктирная красная линия - предел мелководья (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), и
• штрихпунктирная зеленая линия - асимптотический предел для глубоководных волн.

Высота поверхности η и потенциал скорости Φ согласно теории Стокса второго порядка поверхностных гравитационных волн на жидком слое иметь в виду глубина час:^[6][9]

${ Displaystyle { begin {align} eta (x, t) = & a , left { cos , theta + ka , { frac {3- sigma ^ {2}} {4 , sigma ^ {3}}} , cos , 2 theta right } & + { mathcal {O}} left ((ka) ^ {3} right), Phi (x, z, t) = & a , { frac { omega} {k}} , { frac {1} { sinh , kh}} & times left { cosh , к (z + h) sin , theta + ka , { frac {3 ch , 2k (z + h)} {8 , sinh ^ {3} , kh}} , sin , 2 theta right } & - (ka) ^ {2} , { frac {1} {2 , sinh , 2kh}} , { frac {g , t} {k}} + { mathcal {O}} left ((ka) ^ {3} right), c = & { frac { omega} {k}} = { sqrt { { frac {g} {k}} , sigma}} + { mathcal {O}} left ((ka) ^ {2} right), sigma = & tanh , kh quad { text {and}} quad theta (x, t) = kx- omega t. end {align}}}$

Обратите внимание, что для конечной глубины потенциал скорости Φ содержит линейный дрейф во времени, не зависящий от положения (Икс и z). И этот временной сдвиг, и двухчастотный член (содержащий sin 2θ) в Φ исчезают для глубоководных волн.

Параметры Стокса и Урселла

Соотношение S амплитуд свободной поверхности во втором и первом порядке - согласно теории второго порядка Стокса - составляет:^[6]

${ displaystyle { mathcal {S}} = ka , { frac {3- tanh ^ {2} , kh} {4 , tanh ^ {3} , kh}}.}$

В глубокой воде для больших кх Соотношение S имеет асимптота

${ displaystyle lim _ {kh to infty} { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} , ka.}$

Для длинных волн, т.е. маленьких кх, Соотношение S ведет себя как

${ displaystyle lim _ {kh downarrow 0} { mathcal {S}} = { frac {3} {4}} , { frac {ka} {(kh) ^ {3}}},}$

или по высоте волны ЧАС = 2 а и длина волны λ = 2π / k:

${ displaystyle lim _ {kh downarrow 0} { mathcal {S}} = { frac {3} {32 , pi ^ {2}}} , { frac {H , lambda ^ {2}} {h ^ {3}}} = { frac {3} {32 , pi ^ {2}}} , { mathcal {U}},}$   с   ${ displaystyle { mathcal {U}} Equiv { frac {H , lambda ^ {2}} {h ^ {3}}}.}$

Здесь U это Параметр урселла (или параметр Стокса). Для длинных волн (λ ≫ час) небольшой высоты ЧАС, т.е. U ≪ 32π²/3 ≈ 100, применима теория Стокса второго порядка. В противном случае для достаточно длинных волн (λ> 7 час) заметной высоты ЧАС а кноидальная волна описание более подходящее.^[6] Согласно Хеджесу, теория Стокса пятого порядка применима для U < 40, а в противном случае пятого порядка кноидальная волна теория предпочтительнее.^[10][11]

Соотношение дисперсии третьего порядка

Нелинейное усиление фазовая скорость c = ω /k - согласно теории третьего порядка Стокса для поверхностные гравитационные волны, и используя первое определение скорости Стокса - по сравнению с фазовой скоростью линейной теории c₀. По горизонтальной оси отложена относительная глубина воды. час / λ, причем час средняя глубина и λ длина волны, а по вертикальной оси отложено нелинейное увеличение фазовой скорости (c − c₀) / c₀ делится на крутизну волны ка в квадрате.
Описание:
• сплошная синяя линия действительна для произвольной глубины воды,
• пунктирная красная линия обозначает предел мелководья (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), и
• штрихпунктирная зеленая линия - асимптотический предел для глубоководных волн.

Для стоксовых волн под действием силы тяжести третий порядок соотношение дисперсии есть - согласно Первое определение быстроты Стокса:^[9]

${ Displaystyle { begin {выравнивается} omega ^ {2} = & left (gk , tanh , kh right) ; left {1 + { frac {9-10 , sigma ^ {2} +9 , sigma ^ {4}} {8 , sigma ^ {4}}} , (ka) ^ {2} right } & + { mathcal {O} } left ((ka) ^ {4} right), qquad { text {with}} sigma = & tanh , kh. end {выравнивается}}}$

Это дисперсионное соотношение третьего порядка является прямым следствием отказа от светские условия, при подстановке решения Стокса второго порядка в уравнения третьего порядка (ряда возмущений для периодической волновой задачи).

На большой глубине (короткая длина волны по сравнению с глубиной):

${ displaystyle lim _ {кх к infty} omega ^ {2} = gk , left {1+ left (ka right) ^ {2} right } + { mathcal {O }} left ((ka) ^ {4} right),}$

и на мелководье (длинные волны по сравнению с глубиной):

${ displaystyle lim _ {kh downarrow 0} omega ^ {2} = k ^ {2} , gh , left {1 + { frac {9} {8}} , { frac { left (ka right) ^ {2}} { left (kh right) ^ {4}}} right } + { mathcal {O}} left ((ka) ^ {4} верно).}$

В качестве показано выше, длинноволновое стоксово разложение для дисперсионного соотношения будет справедливо только при достаточно малых значениях параметра Урселла: U ≪ 100.

Обзор

Подход Стокса к нелинейной волновой задаче

Волны в Образец пробуждения по Кельвину генерируется кораблем на Маас – Ваалканал в Нидерландах. Поперечные волны в этом следе Кельвина являются почти плоскими волнами Стокса.

NOAA корабль Делавэр II в плохую погоду на Georges Bank. Пока эти океанские волны случайный, а не волны Стокса (в строгом смысле), они указывают на типичные резкие гребни и квартира желоба как обнаружено в нелинейных поверхностных гравитационных волнах.

Основная проблема при поиске решений для поверхностных гравитационных волн заключается в том, что граничные условия должны применяться в позиции свободная поверхность, который заранее не известен и поэтому является частью решения, которое необходимо найти.Сэр Джордж Стоукс решил эту нелинейную волновую задачу в 1847 году, расширив соответствующие потенциальный поток количества в Серия Тейлор вокруг средней (или неподвижной) отметки поверхности.^[12] В результате граничные условия могут быть выражены в виде величин на средней (или неподвижной) отметке поверхности (которая является фиксированной и известной).

Затем ищется решение проблемы нелинейных волн (включая разложение в ряд Тейлора вокруг среднего или неподвижного возвышения поверхности) с помощью ряда возмущений, известного как Расширение Стокса - по малому параметру, чаще всего крутизне волны. Неизвестные члены в разложении можно решать последовательно.^[6][8] Часто требуется лишь небольшое количество терминов, чтобы обеспечить решение с достаточной точностью для инженерных целей.^[11] Типичные приложения находятся в дизайне прибрежный и офшорные сооружения, и из корабли.

Еще одно свойство нелинейных волн состоит в том, что фазовая скорость нелинейных волн зависит от высота волны. В подходе серии возмущений это легко приводит к ложному светская вариация решения, что противоречит периодическому поведению волн. Стокс решил эту проблему, также расширив соотношение дисперсии в ряд возмущений с помощью метода, теперь известного как Метод Линдштедта – Пуанкаре.^[6]

Применимость

Справедливость нескольких теорий для периодических волн на воде, согласно Ле Мехоте (1976).^[13] Голубая область показывает диапазон действия кноидальная волна теория; светло-желтый для Теория волн Эйри; а пунктирные синие линии разграничивают требуемый порядок в волновой теории Стокса. Светло-серая заливка дает расширение диапазона численными приближениями с использованием пятого порядка. функция потока теория, для высоких волн (ЧАС > ¼ H_ломка).

Волновая теория Стокса, при использовании низкого порядка разложения возмущений (например, до второго, третьего или пятого порядка), действительно для нелинейных волн на средней и глубокой воде, то есть для длины волн (λ) не большая по сравнению со средней глубиной (час). В мелководье, разложение Стокса низкого порядка не работает (дает нереалистичные результаты) при значительной амплитуде волны (по сравнению с глубиной). Потом, Приближения Буссинеска более уместны. Дальнейшие приближения к уравнениям типа Буссинеска (разнонаправленные) приводят - для одностороннего распространения волн - к Уравнение Кортевега – де Фриза или Уравнение Бенджамина – Бона – Махони. Как (почти) точные стоксово-волновые решения,^[14] эти два уравнения имеют уединенная волна (солитон ) решений, помимо решений с периодическими волнами, известных как кноидальные волны.^[11]

Современные расширения

Уже в 1914 году Уилтон расширил разложение Стокса для глубоководных поверхностных гравитационных волн до десятого порядка, хотя и ввел ошибки на восьмом порядке.^[15] Теория пятого порядка для конечной глубины была получена Де в 1955 году.^[16] Для инженерного использования удобны формулировки Фентона пятого порядка, применимые к обеим системам Стокса. первый и второй определение фазовой скорости (скорости).^[17] Разграничение между тем, когда теория Стокса пятого порядка предпочтительнее, чем теория пятого порядка кноидальная волна теория для Параметры урселла ниже примерно 40.^[10][11]

В стоксовских подходах к нелинейной волновой задаче возможен различный выбор системы отсчета и параметров расширения. В 1880 году сам Стокс инвертировал зависимые и независимые переменные, взяв потенциал скорости и функция потока в качестве независимых переменных, а координаты (Икс,z) как зависимые переменные, с Икс и z - координаты по горизонтали и вертикали соответственно.^[18] Это имеет то преимущество, что свободная поверхность в системе отсчета, в которой волна является установившейся (т.е. движущейся с фазовой скоростью), соответствует линии, на которой функция тока постоянна. Тогда заранее известно расположение свободной поверхности, а не неизвестная часть решения. Недостаток в том, что радиус схождения расширения перефразированной серии сокращается.^[19]

Другой подход заключается в использовании Лагранжева система отсчета, следуя жидкие посылки. Лагранжевые формулировки демонстрируют улучшенную сходимость по сравнению с формулировками как в Эйлеров каркас, а в системе отсчета с потенциалом и функцией тока как независимыми переменными.^[20][21]

Точное решение для нелинейных чистых капиллярные волны постоянной формы и для бесконечной глубины жидкости, было получено Крэппером в 1957 году. Обратите внимание, что эти капиллярные волны - короткие волны, вызванные поверхностное натяжение, если гравитационные воздействия незначительны - имеют острые впадины и плоские гребни. Это контрастирует с нелинейными поверхностными гравитационными волнами, которые имеют острые гребни и плоские впадины.^[22]

Некоторые интегральные свойства стоксовых волн на глубокой воде в зависимости от крутизны волны.^[23] Крутизна волны определяется как отношение высота волны ЧАС к длина волны λ. Волновые свойства сделаны безразмерный с использованием волновое число k = 2π / λ, гравитационное ускорение грамм и жидкость плотность ρ.
Показаны кинетическая энергия плотность Т, то потенциальная энергия плотность V, полная плотность энергии E = Т + V, горизонтальная волна импульс плотность я, и относительное усиление фазовая скорость c. Плотность волновой энергии Т, V и E интегрируются по глубине и усредняются по одной длине волны, поэтому они представляют собой энергии на единицу горизонтальной площади; плотность импульса волны я похож. Пунктирные черные линии показывают 1/16 (kH)² и 1/8 (kH)², являющиеся значениями интегральных свойств, выведенными из (линейного) Теория волн Эйри. Максимальная высота волны достигается при крутизне волны. ЧАС / λ ≈ 0.1412, выше которого периодических поверхностных гравитационных волн не существует.^[24]
Обратите внимание, что показанные волновые свойства имеют максимум для высоты волны, меньшей максимальной высоты волны (см., Например, Лонге-Хиггинс 1975; Коклет 1977 ).

С использованием компьютерных моделей разложение Стокса для поверхностных гравитационных волн было продолжено до высокого (117-го) порядка Шварц (1974). Шварц обнаружил, что амплитуда а (или же а₁) первого порядка фундаментальный достигает максимума перед максимум высота волны ЧАС достигнуто. Следовательно, крутизна волны ка с точки зрения амплитуды волны не является монотонной функцией вплоть до самой высокой волны, и Шварц вместо этого использует kH как параметр расширения. Чтобы оценить самую высокую волну в глубокой воде, Шварц использовал Аппроксимации Паде и Сюжеты Домба – Сайкса Чтобы улучшить сходимость разложения Стокса. Расширенные таблицы волн Стокса на разных глубинах, вычисленные другим методом (но в соответствии с результатами других), представлены в Williams (1981, 1985 ).

Между интегральными свойствами существует несколько точных соотношений, например: кинетический и потенциальная энергия, горизонтальная волна импульс и радиационная нагрузка - как установлено Лонге-Хиггинс (1975). Он показывает для глубоководных волн, что многие из этих интегральных свойств имеют максимум до достижения максимальной высоты волны (в поддержку выводов Шварца). Коклет (1978) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFCokelet1978 (помощь), используя метод, аналогичный методу Шварца, вычислили и занесли в таблицу интегральные свойства для широкого диапазона конечных глубин воды (все достигают максимумов ниже максимальной высоты волны). Кроме того, эти интегральные свойства играют важную роль в законы сохранения для водных волн, через Теорема Нётер.^[25]

В 2005 году Хаммак, Хендерсон и Сегур предоставили первые экспериментальные доказательства существования трехмерных прогрессивных волн постоянной формы в глубокой воде - то есть бипериодических и двухмерных прогрессивных волн постоянной формы.^[26] Существование этих трехмерных устойчивых глубоководных волн было обнаружено в 2002 году в результате бифуркационного исследования двумерных волн Стокса, проведенного Крейгом и Николлсом с использованием численных методов.^[27]

Конвергенция и нестабильность

Конвергенция

Сходимость разложения Стокса впервые была доказана Леви-Чивита (1925) для случая волн малой амплитуды - на свободной поверхности жидкости бесконечной глубины. Вскоре после этого он был продлен Струик (1926) для случая волн конечной глубины и малой амплитуды.^[28]

Ближе к концу ХХ века было показано, что для волн конечной амплитуды сходимость стоксова разложения сильно зависит от постановки периодической волновой задачи. Например, обратная формулировка периодической волновой задачи, используемая Стоксом, с пространственными координатами как функцией потенциал скорости и функция потока - не сходится для волн большой амплитуды. В то время как другие составы сходятся гораздо быстрее, например в Эйлерова система отсчета (с потенциалом скорости или функцией тока как функцией пространственных координат).^[19]

Самая высокая волна

Волны Стокса максимума высота волны на большой воде, под действием силы тяжести.

Максимальная крутизна волны для периодических и распространяющихся глубоководных волн составляет ЧАС / λ ≈ 0,1412, поэтому высота волны составляет примерно одну седьмую (1/7) длины волны λ.^[24] И поверхностные гравитационные волны этой максимальной высоты имеют резкий гребень волны - под углом 120 ° (в жидкой области) - также для конечной глубины, как показал Стокс в 1880 году.^[18]

Точная оценка максимальной крутизны волны на большой глубине (ЧАС / λ ≈ 0,142) было изготовлено уже в 1893 г. Джон Генри Мичелл, используя численный метод.^[29] Более подробное исследование поведения самой высокой волны вблизи острого гребня было опубликовано Малкольмом А. Грантом в 1973 году.^[30] Существование высшей волны на глубокой воде с остроугольным гребнем 120 ° было доказано Джон Толанд в 1978 г.^[31]. Выпуклость η (x) между последовательными максимумами с остроугольным гребнем 120 ° была независимо доказана C.J. Amick и др. И Павлом И. Плотниковым в 1982 г.^[32][33].

Наивысшая волна Стокса - под действием силы тяжести - может быть аппроксимирована следующим простым и точным представлением свободная поверхность высота η (Икс,т):^[34]

${ displaystyle { frac { eta} { lambda}} = A , left [ cosh , left ({ frac {x-ct} { lambda}} right) -1 right] ,}$   с   ${ displaystyle A = { frac {1} {{ sqrt {3}} , sinh left ({ frac {1} {2}} right)}} приблизительно 1,108,}$   за ${ displaystyle - { tfrac {1} {2}} , lambda leq (x-ct) leq { tfrac {1} {2}} , lambda,}$

и сдвинут по горизонтали целое число количество длин волн для представления других волн в регулярной последовательности волн. Это приближение везде с точностью до 0,7% по сравнению с «точным» решением для самой высокой волны.^[34]

Другое точное приближение - хотя и менее точное, чем предыдущее - движения жидкости на поверхности самой крутой волны, по аналогии с колебанием маятник в дедушкины часы.^[35]

Нестабильность

На более глубокой воде волны Стокса нестабильны.^[36] Это было показано Т. Брук Бенджамин и Джим Э. Фейр в 1967 году.^[37][38] В Неустойчивость Бенджамина – Фейра является боковой полосой или модуляционной нестабильностью, при этом модуляция боковой полосы распространяется в том же направлении, что и несущая волна; волны становятся неустойчивыми на большей глубине на относительной глубине кх > 1.363 (с k то волновое число и час средняя глубина воды).^[39] Неустойчивость Бенджамина – Фейра можно описать с помощью нелинейное уравнение Шредингера, вставив волну Стокса с боковыми полосами.^[36] Впоследствии с помощью более точного анализа было показано - теоретически и экспериментально - что стоксова волна и ее боковые полосы демонстрируют Повторение Ферми – Паста – Улам – Цингоу: циклическое чередование между модуляцией и демодуляцией.^[40]

В 1978 г. Лонге-Хиггинс с помощью численного моделирования полностью нелинейных волн и модуляций (распространяющихся в направлении несущей волны) представил подробный анализ области неустойчивости на глубокой воде: как для супергармоник (для возмущений на пространственных масштабах меньше длины волны) ${ displaystyle 2 pi / k}$) ^[41] и субгармоники (для возмущений на пространственных масштабах больше ${ displaystyle 2 pi / k}$).^[42] В исследованиях Лонге-Хиггинса двумерного волнового движения, а также в последующих исследованиях трехмерных модуляций Маклином и др. Были обнаружены новые типы нестабильностей - они связаны с резонансный волновые взаимодействия между пятью (или более) волновыми составляющими.^[43][44][45]

Расширение Стокса

Основные уравнения для потенциального потока

Во многих случаях колебательный поток в жидкости внутри поверхностных волн можно точно описать, используя потенциальный поток теория, помимо пограничные слои вблизи свободной поверхности и дна (где завихренность важно, из-за вязкие эффекты, видеть Пограничный слой Стокса ).^[46] Затем скорость потока ты можно описать как градиент из потенциал скорости Φ:

${ displaystyle mathbf {u} = { boldsymbol { nabla}} Phi.}$

(А)

Следовательно, полагая несжимаемый поток, поле скорости ты является без расхождения а потенциал скорости Φ удовлетворяет Уравнение Лапласа^[46]

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = 0}$

(B)

в жидком интерьере.

Область жидкости описывается с помощью трехмерного Декартовы координаты (Икс,у,z), с Икс и у горизонтальные координаты, и z вертикальная координата - с положительным z-направление, противоположное направлению гравитационное ускорение. Время обозначено т. Свободная поверхность находится по адресу z = η(Икс,у,т), а дно жидкой области находится на z = −час(Икс,у).

Свободная поверхность граничные условия за поверхностные гравитационные волны - используя потенциальный поток описание - состоит из кинематический и динамичный граничное условие.^[47]В кинематический граничное условие гарантирует, что нормальный компонент жидкости скорость потока, ${ Displaystyle { bf {u}} = [ partial Phi / partial x ~~~ partial Phi / partial y ~~~ partial Phi / partial z] ^ { mathrm {T} }}$ в матричных обозначениях на свободной поверхности равна нормальной составляющей скорости движения свободной поверхности z = η(Икс,у,т):

${ displaystyle { frac { partial eta} { partial t}} + { frac { partial Phi} { partial x}} , { frac { partial eta} { partial x} } + { frac { partial Phi} { partial y}} , { frac { partial eta} { partial y}} = { frac { partial Phi} { partial z}} qquad { text {at}} z = eta (x, y, t).}$

(C)

В динамичный граничное условие гласит, что без поверхностное натяжение эффекты, атмосферное давление чуть выше свободной поверхности равно жидкости давление чуть ниже поверхности. Для нестационарного потенциального потока это означает, что Уравнение Бернулли наносится на свободную поверхность. В случае постоянного атмосферного давления динамическое граничное условие принимает следующий вид:

${ Displaystyle { frac { partial Phi} { partial t}} + { tfrac {1} {2}} , left | mathbf {u} right | ^ {2} + g , eta = 0 qquad { text {at}} z = eta (x, y, t),}$

(D)

где постоянное атмосферное давление принято равным нулю, не теряя общий смысл.

Оба граничных условия содержат потенциал Φ а также отметку поверхности η. (Динамическое) граничное условие в терминах только потенциала Φ можно построить, взяв материальная производная динамического граничного условия и с использованием кинематического граничного условия:^[46][47][48]

${ displaystyle { color {Gray} {{ Bigl (} { frac { partial} { partial t}} + mathbf {u} cdot { boldsymbol { nabla}} { Bigr)} , left ({ frac { partial Phi} { partial t}} + { tfrac {1} {2}} , | mathbf {u} | ^ {2} + g , eta справа) = 0}}}$

${ displaystyle { color {Gray} { Rightarrow quad { frac { partial ^ {2} Phi} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi} { partial z}} + mathbf {u} cdot { boldsymbol { nabla}} { frac { partial Phi} { partial t}} + { tfrac {1} {2}} , { frac { partial} { partial t}} left (| mathbf {u} | ^ {2} right) + { tfrac {1} {2}} , mathbf {u} cdot { boldsymbol { nabla}} left (| mathbf {u} | ^ {2} right) = 0}}}$

${ displaystyle { color {Gray} { Rightarrow quad}} { frac { partial ^ {2} Phi} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi} { partial z}} + { frac { partial} { partial t}} left (| mathbf {u} | ^ {2} right) + { tfrac {1} {2}} , mathbf {u} cdot { boldsymbol { nabla}} left (| mathbf {u} | ^ {2} right) = 0 qquad { text {at}} z = eta ( x, y, t).}$

(E)

Внизу слоя жидкости, непроницаемость требует нормальный компонент скорости потока в нуль:^[46]

${ displaystyle { frac { partial Phi} { partial n}} = { frac {1} { sqrt {1+ left ({ frac { partial h} { partial x}} right ) ^ {2} + left ({ frac { partial h} { partial y}} right) ^ {2}}}} , left {{ frac { partial Phi} { частичное z}} + { frac { partial h} { partial x}} , { frac { partial Phi} { partial x}} + { frac { partial h} { partial y} } , { frac { partial Phi} { partial y}} right } = 0, qquad { text {at}} z = -h (x, y),}$

(F)

куда час(Икс,у) - глубина пласта ниже датум z = 0 и п - координатная составляющая в направлении нормально к кровати.

Для постоянных волн над горизонтальным слоем средняя глубина час является константой, а граничное условие на дне становится:

${ displaystyle { frac { partial Phi} { partial z}} = 0 qquad { text {at}} z = -h.}$

Ряд Тейлора в граничных условиях для свободной поверхности

Граничные условия для свободной поверхности (D) и (E) применять на еще неизвестной отметке свободной поверхности z = η(Икс,у,т). Их можно преобразовать в граничные условия на фиксированной высоте. z = константа с использованием Серия Тейлор расширение поля потока вокруг этой возвышенности.^[46]Без ограничения общности среднюю отметку поверхности, вокруг которой построены серии Тейлора, можно взять на z = 0. Это гарантирует, что расширение происходит примерно на возвышении в непосредственной близости от фактического превышения свободной поверхности. Сходимость ряда Тейлора для установившегося движения малой амплитуды доказана Леви-Чивита (1925).

Используются следующие обозначения: ряд Тейлора некоторого поля ж(Икс,у,z,т) вокруг z = 0 - и оценен в z = η(Икс,у,т) - является:^[49]

${ Displaystyle е (х, у, эта, т) = влево [е вправо] _ {0} + эта , влево [{ гидроразрыва { partial f} { partial z}} вправо ] _ {0} + { frac {1} {2}} , eta ^ {2} , left [{ frac { partial ^ {2} f} { partial z ^ {2}} } right] _ {0} + cdots}$

с нулевым индексом означает оценку при z = 0, например: [ж]₀ = ж(Икс,у,0,т).

Применение разложения Тейлора к граничному условию свободной поверхности Уравнение (E) по потенциалу Φ дает:^[46][49]

${ displaystyle { begin {align} & left [{ frac { partial ^ {2} Phi} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi} { partial z}} right] _ {0} + eta left [{ frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi} { partial z}} right) right] _ {0} + left [{ frac { partial} { partial t}} left (| mathbf {u} | ^ {2} right) right] _ {0} & quad + { tfrac {1} {2}} , eta ^ {2 } left [{ frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi} { partial t ^ {2}} } + g , { frac { partial Phi} { partial z}} right) right] _ {0} + eta left [{ frac { partial ^ {2}} { partial t , partial z}} left (| mathbf {u} | ^ {2} right) right] _ {0} + { biggl [} { tfrac {1} {2}} , mathbf {u} cdot { boldsymbol { nabla}} left (| mathbf {u} | ^ {2} right) { biggr]} _ {0} & quad + cdots = 0, конец {выровнено}}}$

(грамм)

показывать термины до трех произведений η, Φ и ты, как требуется для построения разложения Стокса до третьего порядка О((ка)³). Здесь, ка крутизна волны, с k характеристика волновое число и а характерная волна амплитуда для исследуемой проблемы. Поля η, Φ и ты считаются О(ка).

Граничное условие динамической свободной поверхности Уравнение (D) могут быть оценены в количественном выражении на z = 0 в качестве:^[46][49]

${ displaystyle { begin {align} & left [{ frac { partial Phi} { partial t}} + g , eta right] _ {0} + eta left [{ frac { partial ^ {2} Phi} { partial t , partial z}} right] _ {0} + { biggl [} { tfrac {1} {2}} , left | mathbf {u} right | ^ {2} { biggr]} _ {0} & quad + { tfrac {1} {2}} , eta ^ {2} left [{ frac { partial ^ {3} Phi} { partial t , partial z ^ {2}}} right] _ {0} + eta left [{ frac { partial} { partial z} } left ({ tfrac {1} {2}} , left | mathbf {u} right | ^ {2} right) right] _ {0} + cdots = 0. end { выровнен}}}$

(ЧАС)

Преимущества этих разложений в ряд Тейлора полностью проявляются в сочетании с подходом ряда возмущений для слабонелинейных волн. (ка ≪ 1).

Подход к серии возмущений

В ряд возмущений с точки зрения малого параметра порядка ε ≪ 1 - что впоследствии оказывается пропорциональным (и по порядку) наклону волны ка, см. решение серии в эта секция.^[50] Итак, возьмите ε = ка:

${ displaystyle { begin {align} eta & = varepsilon , eta _ {1} + varepsilon ^ {2} , eta _ {2} + varepsilon ^ {3} , eta _ {3} + cdots, Phi & = varepsilon , Phi _ {1} + varepsilon ^ {2} , Phi _ {2} + varepsilon ^ {3} , Phi _ {3} + cdots quad { text {и}} mathbf {u} & = varepsilon , mathbf {u} _ {1} + varepsilon ^ {2} , mathbf {u } _ {2} + varepsilon ^ {3} , mathbf {u} _ {3} + cdots. End {align}}}$

При применении в уравнениях потока они должны быть действительными независимо от конкретного значения ε. Приравнивая в степенях ε, каждый член пропорционален ε до определенной степени должно равняться нулю. В качестве примера того, как работает подход рядов возмущений, рассмотрим нелинейное граничное условие (ГРАММ); это становится:^[6]

${ displaystyle { begin {align} & varepsilon , left {{ frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} right } & + varepsilon ^ {2} , left {{ frac { partial ^ {2} Phi _ {2}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {2}} { partial z}} + eta _ {1} , { frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} right) + { frac { partial} { partial t}} left (| mathbf {u} _ {1} | ^ {2} right ) right } & + varepsilon ^ {3} , left {{ frac { partial ^ {2} Phi _ {3}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {3}} { partial z}} + eta _ {1} , { frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ {2}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {2}} { partial z}} right) вправо. & qquad quad left. + eta _ {2} , { frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} right) +2 , { frac { partial } { partial t}} left ( mathbf {u} _ {1} cdot mathbf {u} _ {2} right) right. & qquad quad left. + { tfrac {1} {2}} , eta _ {1} ^ {2} , { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2 }}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} right) + eta _ {1} , { frac { partial ^ {2}} { partial t , partial z}} left (| mathbf {u} _ {1} | ^ {2} right) + { tfrac {1} {2}} , mathbf {u} _ {1} cdot { boldsymbol { nabla}} left (| mathbf {u} _ {1} | ^ {2} right) right } & + { mathcal {O}} left ( varepsilon ^ {4} right) = 0, qquad { text {at}} z = 0. end {выравнивается}}}$

Полученные граничные условия при z = 0 для первых трех заказов:

Первый заказ:

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} = 0,}$

(J1)

Второго порядка:

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} Phi _ {2}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {2}} { partial z}} = - eta _ {1} , { frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} right) - { frac { partial} { partial t}} left (| mathbf {u} _ {1} | ^ {2} right),}$

(J2)

Третий порядок:

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial ^ {2} Phi _ {3}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ { 3}} { partial z}} = & - eta _ {1} , { frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ { 2}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {2}} { partial z}} right) - eta _ {2} , { frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} right) & - 2 , { frac { partial} { partial t}} left ( mathbf {u} _ {1} cdot mathbf {u} _ {2} right) - { tfrac {1} {2}} , eta _ {1} ^ {2} , { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi _ {1}} { partial t ^ {2}}} + g , { frac { partial Phi _ {1}} { partial z}} right) & - eta _ {1} , { frac { partial ^ {2}} { partial t , partial z}} слева (| mathbf {u} _ {1} | ^ {2} right) - { tfrac {1} {2}} , mathbf {u} _ {1} cdot { boldsymbol { nabla }} left (| mathbf {u} _ {1} | ^ {2} right). end {выравнивается}}}$

(J3)

Аналогичным образом - из динамического граничного условия (ЧАС) - условия на z = 0 при порядках 1, 2 и 3 становятся:

Первый заказ:

${ displaystyle { frac { partial Phi _ {1}} { partial t}} + g , eta _ {1} = 0,}$

(K1)

Второго порядка:

${ displaystyle { frac { partial Phi _ {2}} { partial t}} + g , eta _ {2} = - eta _ {1} , { frac { partial ^ { 2} Phi _ {1}} { partial t , partial z}} - { tfrac {1} {2}} , left | mathbf {u} _ {1} right | ^ { 2},}$

(K2)

Третий порядок:

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial Phi _ {3}} { partial t}} + g , eta _ {3} = & - eta _ {1} , { frac { partial ^ {2} Phi _ {2}} { partial t , partial z}} - eta _ {2} , { frac { partial ^ {2} Phi _ { 1}} { partial t , partial z}} - mathbf {u} _ {1} cdot mathbf {u} _ {2} & - { tfrac {1} {2}} , eta _ {1} ^ {2} , { frac { partial ^ {3} Phi _ {1}} { partial t , partial z ^ {2}}} - eta _ { 1} , { frac { partial} { partial z}} left ({ tfrac {1} {2}} , left | mathbf {u} _ {1} right | ^ {2 } right). end {align}}}$

(K3)

Для линейных уравнений (А), (В) и (F) метод возмущений приводит к ряду уравнений, не зависящих от решений возмущений в других порядках:

${ displaystyle left. { begin {array} {rcl} mathbf {u} _ {j} & = & { boldsymbol { nabla}} Phi _ {j}, [1ex] nabla ^ {2} Phi _ {j} & = & 0, [1ex] displaystyle { frac { partial Phi _ {j}} { partial n}} & = & 0 quad { text {at} } z = -h, end {array}} right } qquad { text {для всех заказов}} j in mathbb {N} ^ {+}.}$

(L)

Вышеупомянутые уравнения возмущений могут быть решены последовательно, т.е. начиная с первого порядка, затем переходя ко второму порядку, третьему порядку и т. Д.

Применение к прогрессирующим периодическим волнам постоянной формы

Воспроизвести медиа

Анимация крутых волн Стокса на глубокой воде с длина волны примерно вдвое большей глубины воды для трех последовательных волн периоды. В высота волны составляет 90% максимальной высоты волны.
Описание анимации: Белые точки представляют собой частицы жидкости, за которыми следуют во времени. В показанном здесь случае иметь в виду Эйлеров горизонтальный скорость ниже волны впадина равно нулю.^[51]

Волны постоянной формы распространяются с постоянным фазовая скорость (или же быстрота ), обозначаемый как c. Если установившееся волновое движение идет по горизонтали Икс-направление, величина потока η и ты не зависят отдельно от Икс и время т, но являются функциями Икс − ct:^[52]

${ displaystyle eta (x, t) = eta (x-ct) quad { text {and}} quad mathbf {u} (x, z, t) = mathbf {u} (x- ct, z).}$

Кроме того, волны периодические - и поскольку они также имеют постоянную форму - как в горизонтальном пространстве. Икс и со временем т, с длина волны λ и период τ соответственно. Обратите внимание, что Φ(Икс,z,т) сама по себе не обязательно периодическая из-за возможности постоянного (линейного) дрейфа в Икс и / или т:^[53]

${ Displaystyle Phi (x, z, t) = бета x- gamma t + varphi (x-ct, z),}$

с φ(Икс,z,т) - а также производные ∂Φ/∂т и ∂Φ/∂Икс - периодичность. Здесь β - средняя скорость потока ниже впадина уровень, и γ относится к гидравлическая головка как отмечено в точка зрения движется с фазовой скоростью волны c (так поток становится устойчивый в этой системе отсчета).

Чтобы применить разложение Стокса к прогрессивным периодическим волнам, их полезно описать через Ряд Фурье как функция фаза волны θ(Икс,т):^[45][53]

${ displaystyle theta = kx- omega t = k left (x-ct right),}$

если предположить, что волны распространяются в Икс-направление. Здесь k = 2π / λ это волновое число, ω = 2π / τ это угловая частота и c = ω / k (= λ / τ) это фазовая скорость.

Теперь высота свободной поверхности η(Икс,т) периодической волны можно описать как Ряд Фурье:^[11][53]

${ displaystyle eta = sum _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} , cos , (n theta).}$

Аналогично соответствующее выражение для потенциала скорости Φ(Икс,z,т) является:^[53]

${ displaystyle Phi = beta x- gamma t + sum _ {n = 1} ^ { infty} B_ {n} , { biggl [} cosh , left (nk , (z + h) right) { biggr]} , sin , (n theta),}$

удовлетворяя как Уравнение лапласа ∇²Φ = 0 внутри жидкости, а также граничное условие ∂Φ/∂z = 0 у кровати z = −час.

При заданном значении волнового числа k, параметры: А_п, B_п (с п = 1, 2, 3, ...), c, β и γ еще предстоит определить. Все они могут быть разложены в ряд возмущений в ε. Фентон (1990) предоставляет эти значения для волновой теории Стокса пятого порядка.

Для прогрессивных периодических волн производные по Икс и т функций ж(θ,z) из θ(Икс,т) можно выразить как производные по θ:

${ displaystyle { frac { partial f} { partial x}} = + к , { frac { partial f} { partial theta}} qquad { text {and}} qquad { frac { partial f} { partial t}} = - omega , { frac { partial f} { partial theta}}.}$

Важный момент для нелинейных волн - в отличие от линейных Теория волн Эйри - фазовая скорость c также зависит от амплитуда волны а, помимо его зависимости от длины волны λ = 2π / k и средняя глубина час. Пренебрежение зависимостью c от амплитуды волны приводит к появлению светские условия, в вкладах высшего порядка в решение ряда возмущений. Стокса (1847) уже применили необходимую нелинейную поправку к фазовой скорости c в целях предотвращения светского поведения. Общий подход к этому теперь известен как Метод Линдштедта – Пуанкаре. Поскольку волновое число k задано и, таким образом, зафиксировано, нелинейное поведение фазовой скорости c = ω / k учитывается также расширением угловой частоты ω в ряд возмущений:^[9]

${ displaystyle omega = omega _ {0} + varepsilon , omega _ {1} + varepsilon ^ {2} , omega _ {2} + cdots.}$

Здесь ω₀ окажется связанным с волновым числом k через линейный соотношение дисперсии. Однако производные по времени через ∂ж/∂т = −ω ∂ж/∂θ, теперь также делайте взносы - содержащие ω₁, ω₂и др. - к определяющим уравнениям на высших порядках в ряду возмущений. Тюнингом ω₁, ω₂и т.д., светское поведение можно предотвратить. Для поверхностных гравитационных волн установлено, что ω₁ = 0 а первый ненулевой вклад в дисперсионное соотношение дает ω₂ (см., например, подраздел "Соотношение дисперсии третьего порядка " над).^[9]

Два определения скорости волны Стокса

Для нелинейных поверхностных волн, как правило, существует неоднозначность разделения полного движения на волновую часть и иметь в виду часть. Как следствие, появляется некоторая свобода выбора фазовой скорости (скорости) волны. Стокса (1847) идентифицировал два логических определения фазовой скорости, известные как первое и второе определение скорости волны Стокса:^[6][11][54]

1. Первое определение скорости волны Стокса имеет для чисто волнового движения среднее значение горизонтального Эйлеров скорость потока Ū_E в любом месте ниже впадина уровень равен нулю. Из-за безвыходность потенциального потока, вместе с горизонтальным морским дном и периодичностью средней горизонтальной скорости, средняя горизонтальная скорость является постоянной между уровнем дна и желоба. Итак, в первом определении Стокса волна рассматривается от точка зрения движется со средней горизонтальной скоростью Ū_E. Это выгодный подход, когда средняя эйлерова скорость потока Ū_E известно, например из измерений.
2. Второе определение скорости волны Стокса для системы отсчета, где средний горизонтальный общественный транспорт волнового движения равна нулю. Это отличается от первого определения из-за массового транспорта в зона брызг, то есть между впадиной и уровнем гребня, в направлении распространения волны. Этот индуцированный волной перенос массы вызван положительным корреляция между отметкой поверхности и горизонтальной скоростью. В системе отсчета для второго определения Стокса вызванный волной перенос массы компенсируется противоположным откат (так Ū_E <0 для волн, распространяющихся в положительной Икс-направление). Это логическое определение волн, генерируемых в волновой лоток в лаборатории, или волны, движущиеся перпендикулярно к пляжу.

Как указал Майкл Э. Макинтайр, средний горизонтальный перенос массы будет (близок) к нулю для группа волн приближение к неподвижной воде, а также в глубокой воде массоперенос, вызванный волнами, уравновешенными противоположным массовым переносом в обратном потоке (подводный поток).^[55] Это связано с тем, что в противном случае потребуется большая средняя сила для ускорения водоема, в котором распространяется группа волн.

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Цзюнь Чжан, Апплет волн Стокса, Техасский университет A&M, получено 2012-08-09