Вектор интервала - Interval vector

Пример Z-отношение на двух наборах высоты тона, анализируемых как набор или получаемых из набора 5-Z17[1]:99 Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация )с интервалами между классами основного тона, помеченными для простоты сравнения между двумя наборами и их общим вектором интервалов, 212320.
Вектор интервала: аккорд до мажор, сет 3-11Б, {0,4,7}: 001110.
Диатоническая гамма в хроматический круг с каждым вектором интервала свой цвет, каждый встречается уникальное количество раз
Мажорная шкала с обозначенными интервалами; вектор: 254361
Вся шкала тонов на C с помеченными классами интервалов; вектор: 060603

В теория музыкального набора, интервал вектор это массив натуральные числа которые резюмируют интервалы присутствует в набор из классы поля. (То есть набор поля куда октавы игнорируются.) Другие имена включают: ic вектор (или вектор интервального класса), PIC вектор (или интервальный вектор питч-класса) и Вектор APIC (или абсолютный интервальный вектор питч-класса, который, по словам Мишеля Шуйера, является более подходящим.)[1]:48

Будучи в первую очередь аналитическим инструментом, интервальные векторы также могут быть полезны для композиторов, поскольку они быстро показывают звуковые качества, создаваемые различными наборами классов высоты звука. То есть наборы с высокой концентрацией условно диссонирующих интервалов (т. Е. Секунд и седьмых) звучат более диссонантно, тогда как наборы с большим количеством условно согласных интервалов (т. Е. Третей и шестых) звучат более диссонирующими. согласный звук. В то время как реальное восприятие консонанса и диссонанса включает множество контекстных факторов, таких как регистр, тем не менее, интервальный вектор может быть полезным инструментом.

Определение

В двенадцатитонный ровный темперамент, интервальный вектор состоит из шести цифр, каждая цифра представляет количество раз интервальный класс появляется в комплекте. Поскольку используются классы интервалов, вектор интервалов для данного набора остается неизменным, независимо от перестановка или вертикальное расположение. Классы интервалов, обозначенные каждой цифрой, восходят слева направо. То есть:

  1. второстепенные секунды / мажорные седьмые доли (1 или 11 полутонов)
  2. мажорные секунды / минорные седьмые (2 или 10 полутонов)
  3. минорные трети / мажорные шестые (3 или 9 полутонов)
  4. основные трети / второстепенные шестые (4 или 8 полутонов)
  5. идеальные четверти / идеальные квинты (5 или 7 полутонов)
  6. тритоны (6 полутонов) (тритон инверсионно эквивалентный себе.)

Класс интервалов 0, представляющий унисоны и октавы, опускается.

В своей книге 1960 г. Гармонические материалы современной музыки, Говард Хэнсон представил одночлен метод обозначения этого понятия, который он назвал интервал содержания: пемdпc.sбdатж [примечание 1] для чего бы сейчас было написано ⟨abcdef⟩. Современные обозначения, введенные Аллен Форте[когда? ][нужна цитата ], имеет значительные преимущества[уточнить ] и распространяется на любой равное деление октавы.

Шкала, интервальный вектор которой состоит из шести уникальных цифр, называется свойство глубокого масштаба. Этим свойством обладают мажорная шкала и ее режимы.

В качестве практического примера интервальный вектор для C мажорная триада (3-11Б ) в корневой позиции, {C E G} (Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация )), составляет ⟨001110⟩. Это означает, что в наборе есть одна мажорная треть или малая шестая часть (то есть от C до E или от E до C), одна малая треть или мажорная шестая часть (то есть от E до G или от G до E) и одна идеальная квинта или идеальная четвертый (то есть от C до G или от G до C). Поскольку вектор интервала не изменяется при транспонировании или инверсии, он принадлежит всей установить класс, что означает, что «001110» - вектор всех мажорных (и минорных) трезвучий. Некоторые интервальные векторы соответствуют более чем одному наборам, которые нельзя транспонировать или инвертировать для создания другого. (Они называются Z-связанные наборы, объяснено ниже).

Для набора п классы высоты тона сумма всех чисел в векторе интервалов набора равна треугольное число Тп−1 = п × (п − 1)/2.

Расширенная форма интервального вектора также используется в теория трансформации, как изложено в Дэвид Левин с Обобщенные музыкальные интервалы и преобразования.[требуется полная цитата ]

Z-отношение

Последовательные гексахорды, связанные с Z из акта 3 Воццек[2] Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация ).

В теории музыкальных множеств Z-отношение, также называемый изомерное отношение, представляет собой отношение между двумя наборами классов основного тона, в которых два набора имеют одинаковое интервальное содержимое (и, следовательно, один и тот же вектор интервалов), но не являются транспозиционно связаны (имеют разные Tп-тип) или инверсионно связаны (имеют разные Tп/ ТпЯ печатаю).[1]:99 Например, два набора 4-z15A {0,1,4,6} и 4-z29A {0,1,3,7} имеют одинаковый вектор интервалов ⟨111111⟩, но нельзя транспонировать и / или инвертировать один установить на другой.

В случае гексахорды каждый может быть назван Z-шестигранник. Любой гексахорд не типа "Z" является своим. дополнять в то время как дополнение Z-гексахорда является его Z-корреспондентом, например 6-Z3 и 6-Z36.[2] Видеть: 6-Z44, 6-Z17, 6-Z11, и Номер Форте.

Срок для "зиготический " (запряженный или слияние двух репродуктивных клеток),[1]:98 Schuijer (2008), стр.98 и 98n18. возникла у Аллена Форте в 1964 году, но, похоже, впервые это понятие было рассмотрено Говардом Хэнсоном. Хэнсон назвал это изомерные отношения, и определил два таких множества как изомерный.[3] Видеть: изомер.

Согласно Michiel Schuijer (2008), теорема о гексахорде, что любые два дополнительных гексахорда класса основного тона имеют одинаковый интервальный вектор, даже если они не эквивалентны при транспонировании и инверсии, было впервые предложено Милтон Бэббит, и, "открытие связи" было "сообщено" Дэвид Левин в 1960 году как пример теорема дополнения: что разница между интервалами классов основного тона в двух дополнительных наборах классов основного тона равна разнице между кардинальными числами наборов (для двух гексахордов эта разница равна 0).[1]:96–7[4] Математические доказательства теоремы о гексахорде были опубликованы Касслером (1961), Регенером (1974) и Уилкоксом (1983).[1]:96–7

Хотя обычно наблюдается, что Z-связанные множества всегда встречаются парами, Дэвид Левин отметил, что это результат двенадцатитоновой равный темперамент (12-ET).[нужна цитата ] В 16-ET наборы, связанные с Z, находятся в виде троек. Джонатан Уайлд, ученик Левина, продолжил эту работу для других систем настройки, найдя связанные с Z кортежи, содержащие до 16 членов в более высоких системах ET.[нужна цитата ]

Страус утверждает, что «[множества] в Z-отношении будут звучать одинаково, потому что они имеют одинаковое содержание интервала»,[5][1]:125 что побудило некоторых композиторов использовать Z-отношение в своей работе. Например, игра между {0,1,4,6} и {0,1,3,7} очевидна в Эллиот Картер с Второй струнный квартет.[нужна цитата ]

Умножение

Немного Z-связанные аккорды связаны M или же Я (умножение на 5 или умножение на 7) из-за идентичных записей для 1 и 5 в векторе интервала.[1]:83, 110

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Чтобы количественно оценить содержание согласного-диссонанса в наборе, Хэнсон упорядочил интервалы в соответствии с их степенью диссонанса, с п=ппятый, м=мбольшая треть, п= miпили в-третьих, s= основной sвторой, d= (подробнее dисонант) второстепенная, т=тритон

Источники

  1. ^ а б c d е ж грамм час Schuijer, Michiel (2008). Анализ атональной музыки: теория множеств питч-класса и ее контексты. Университет Рочестера. ISBN  978-1-58046-270-9.
  2. ^ а б Форте, Аллен (1977). Структура атональной музыки (Нью-Хейвен и Лондон: издательство Йельского университета), стр. 79. ISBN  0-300-02120-8.
  3. ^ Хэнсон, Ховард (1960). Гармонические материалы современной музыки (Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts), стр. 22. ISBN  0-89197-207-2.
  4. ^ Левин, Дэвид. "Интерваллическое содержание собрания нот, интервальные отношения между собранием нот и его дополнением: приложение к шестнадцатеричным пьесам Шенберга", Журнал теории музыки 4/1 (1960): 98–101.
  5. ^ Штраус, Джозеф Натан (1990). Введение в посттональную теорию, стр.67. 1-е изд. Прентис Холл: Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси. ISBN  0-13-189890-6. Цитируется по Schuijer (2008), p.125.

дальнейшее чтение

  • Ран, Джон (1980). Основная атональная теория. Нью-Йорк: Лонгман. ISBN  9780582281172. Перепечатано в 1987 году, Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон: Кольер Макмиллан. ISBN  0-02-873160-3.

внешняя ссылка