Математика, форма и функции - Mathematics, Form and Function

Математика, форма и функции это обзор всего математика, включая его происхождение и глубокую структуру, американским математиком Saunders Mac Lane.

Математика и человеческая деятельность

На протяжении всей своей книги, и особенно в главе I.11, Мак Лейн неформально обсуждает, как математика основывается на более обычной конкретной и абстрактной деятельности человека. Следующая таблица адаптирована из таблицы, приведенной на стр. 35 из Mac Lane (1986). Строки очень грубо упорядочены от наиболее к наименее фундаментальным. Маркированный список, который можно сравнить и сопоставить с этой таблицей, см. В разделе 3 Откуда пришла математика.

Человеческая активностьСвязанная математическая идеяМатематическая техника
СборКоллекция объектовНабор; учебный класс; мультимножество; список; семья
ПодключениеПричина и следствиеупорядоченная пара; связь; функция; операция
"Близость; связьТопологическое пространство; мереотопология
СледующийПоследовательные действияСостав функций; группа трансформации
СравнениеПеречислениеБиекция; количественное числительное; порядок
ВремяДо послеЛинейный порядок
ПодсчетПреемникФункция преемника; порядковый номер
ВычислениеОперации на числаСложение, умножение, рекурсивно определенное; абелева группа; кольца
Глядя на предметыСимметрияГруппа симметрии; инвариантность; изометрии
Строительство; формированиеФорма; точкаНаборы из точки; геометрия; число Пи
ПерестановкаПерестановкаБиекция; группа перестановок
Выбор; различениеОтчаяниеПодмножество; порядок; теория решетки; мереология
СпорятДоказательствоЛогика первого порядка
ИзмерениеРасстояние; степеньРациональное число; метрическое пространство
Бесконечное повторениебесконечность;[1] РекурсияРекурсивный набор; Бесконечный набор
ОценкаПриближениеНастоящий номер; реальное поле
Перемещение через Космос & время:кривизнаисчисление; дифференциальная геометрия
--Без езды на велосипедеИзменятьРеальный анализ; группа трансформации
- С велоспортомРепетициячисло Пи; тригонометрия; комплексное число; комплексный анализ
--ОбеДифференциальные уравнения; математическая физика
Только движение во времениРост и распаде; экспоненциальная функция; натуральные логарифмы;
Изменение формДеформацияДифференциальная геометрия; топология
Наблюдение за закономерностямиАбстракцияАксиоматическая теория множеств; универсальная алгебра; теория категорий; морфизм
Стремясь добиться большегоОптимизацияИсследование операций; теория оптимального управления; динамическое программирование
Выбор; играть в азартные игрыШансТеория вероятности; математическая статистика; мера

Также см. Соответствующие диаграммы на следующих страницах Mac Lane (1986): 149, 184, 306, 408, 416, 422-28.

Mac Lane (1986) цитирует родственную монографию автора Ларс Гординг (1977).

Актуальность Мак Лейна для философии математики

Сооснователь Mac Lane теория категорий с Сэмюэл Эйленберг, что позволяет единый подход математических структур и отношений между ними, за счет вырваться из когнитивной основы. Тем не менее его взгляды - пусть даже неформальные - являются ценным вкладом в философия и антропология математики.[2] Его взгляды в некоторых отношениях предвосхищают более подробное изложение познавательная основа математики данный Джордж Лакофф и Рафаэль Э. Нуньес в их Откуда пришла математика. Лакофф и Нуньес утверждают, что математика возникает через концептуальные метафоры основанный на тело человека, его движение через Космос и время, и в человеческом восприятии.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Также см. «Основные Метафора из бесконечность "в Lakoff and Núñez (2000), гл. 8.
  2. ^ Об антропологическом обосновании математики см. White (1947) и Hersh (1997).


Рекомендации

  • Гординг, Ларс, 1977. Встреча с математикой. Springer-Verlag.
  • Рубен Херш, 1997. Что такое математика на самом деле? Oxford Univ. Нажмите.
  • Джордж Лакофф и Рафаэль Э. Нуньес, 2000. Откуда пришла математика. Основные книги.
  • Мак-Лейн, Сондерс (1986). Математика, форма и функции. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96217-4.
  • Лесли Уайт, 1947, "Локус математической реальности: антропологическая сноска", Философия науки 14: 289-303. Перепечатано в Hersh, R., ed., 2006. 18 нетрадиционных эссе по природе математики. Springer: 304–19.