Функция плотности вероятности - Probability density function

Boxplot и функция плотности вероятности нормальное распределение N(0, σ²).

Геометрическая визуализация Режим, медиана и значить произвольной функции плотности вероятности.^[1]

В теория вероятности, а функция плотности вероятности (PDF), или плотность из непрерывная случайная величина, это функция чье значение в любой заданной выборке (или точке) в образец пространства (набор возможных значений, принимаемых случайной величиной) можно интерпретировать как предоставление относительная вероятность что значение случайной переменной будет равно этой выборке.^[2] Другими словами, пока абсолютная вероятность для непрерывной случайной переменной, которая принимает какое-либо конкретное значение, является 0 (поскольку существует бесконечный набор возможных значений для начала), значение PDF в двух разных выборках может использоваться для вывода в любом конкретном розыгрыше случайного переменной, насколько более вероятно, что случайная величина будет равна одной выборке по сравнению с другой выборкой.

В более точном смысле PDF используется для определения вероятности случайная переменная падение в определенном диапазоне значений, а не принимать одно значение. Эта вероятность дается интеграл PDF этой переменной в этом диапазоне, то есть она задается областью под функцией плотности, но выше горизонтальной оси и между наименьшим и наибольшим значениями диапазона. Функция плотности вероятности всюду неотрицательна, а ее интеграл по всему пространству равен 1.

Условия "функция распределения вероятностей"^[3] и "функция вероятности"^[4] также иногда использовались для обозначения функции плотности вероятности. Однако такое использование не является стандартным среди специалистов по теории вероятностей и статистиков. В других источниках «функция распределения вероятностей» может использоваться, когда распределение вероятностей определяется как функция над общими наборами значений или может относиться к кумулятивная функция распределения, или это может быть функция массы вероятности (PMF), а не плотность. Сама «функция плотности» также используется для функции массы вероятности, что ведет к дальнейшему недоразумению.^[5] Однако в целом PMF используется в контексте дискретных случайных величин (случайных величин, принимающих значения в счетном наборе), в то время как PDF используется в контексте непрерывных случайных величин.

пример

Предположим, бактерии определенного вида обычно живут от 4 до 6 часов. Вероятность того, что бактерия живет именно так 5 часов равно нулю. Многие бактерии живут приблизительно 5 часов, но нет никаких шансов, что какая-либо конкретная бактерия погибнет ровно в 5.0000000000 ... часов. Однако вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,01 часа, поддается количественной оценке. Предположим, ответ 0,02 (т.е. 2%). Тогда вероятность того, что бактерия погибнет между 5 часами и 5,001 часами, должна быть около 0,002, так как этот временной интервал в десять раз меньше предыдущего. Вероятность того, что бактерия погибнет от 5 часов до 5 0001 часов, должна быть около 0,0002 и так далее.

В этих трех примерах отношение (вероятность умереть во время интервала) / (продолжительность интервала) примерно постоянное и равно 2 в час (или 2 часа в час).⁻¹). Например, вероятность смерти 0,02 в интервале 0,01 часа от 5 до 5,01 часа, а (вероятность 0,02 / 0,01 часа) = 2 часа.⁻¹. Это количество 2 часа⁻¹ называется плотностью вероятности смерти примерно через 5 часов. Следовательно, вероятность того, что бактерия погибнет через 5 часов, может быть записана как (2 часа⁻¹) dt. Это вероятность того, что бактерия умрет в бесконечно малом временном окне около 5 часов, где dt продолжительность этого окна. Например, вероятность того, что он живет дольше 5 часов, но меньше (5 часов + 1 наносекунда), составляет (2 часа⁻¹) × (1 наносекунда) ≈ 6×10⁻¹³ (с использованием преобразование единиц измерения 3.6×10¹² наносекунды = 1 час).

Есть функция плотности вероятности ж с участием ж(5 часов) = 2 часа⁻¹. В интеграл из ж в любом временном окне (не только бесконечно малых, но и больших окнах) - вероятность того, что бактерия погибнет в этом окне.

Абсолютно непрерывные одномерные распределения

Функция плотности вероятности чаще всего связана с абсолютно непрерывный одномерные распределения. А случайная переменная ${ displaystyle X}$ имеет плотность ${ displaystyle f_ {X}}$, где ${ displaystyle f_ {X}}$ неотрицательный Интегрируемый по Лебегу функция, если:

${ displaystyle Pr [a leq X leq b] = int _ {a} ^ {b} f_ {X} (x) , dx.}$

Следовательно, если ${ displaystyle F_ {X}}$ это кумулятивная функция распределения из ${ displaystyle X}$, тогда:

${ Displaystyle F_ {X} (x) = int _ {- infty} ^ {x} f_ {X} (u) , du,}$

и если ${ displaystyle f_ {X}}$ непрерывно на ${ displaystyle x}$)

${ displaystyle f_ {X} (x) = { frac {d} {dx}} F_ {X} (x).}$

Интуитивно можно представить ${ Displaystyle f_ {X} (х) , dx}$ как вероятность ${ displaystyle X}$ попадая в бесконечно малый интервал ${ Displaystyle [х, х + dx]}$.

Формальное определение

(Это определение может быть расширено до любого распределения вероятностей с помощью теоретико-мерный определение вероятности.)

А случайная переменная ${ displaystyle X}$ со значениями в измеримое пространство ${ displaystyle ({ mathcal {X}}, { mathcal {A}})}$ (обычно ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с Наборы Бореля как измеримые подмножества) имеет как распределение вероятностей мера Икс_∗п на ${ displaystyle ({ mathcal {X}}, { mathcal {A}})}$: the плотность из ${ displaystyle X}$ относительно контрольной меры ${ displaystyle mu}$ на ${ displaystyle ({ mathcal {X}}, { mathcal {A}})}$ это Производная Радона – Никодима:

${ displaystyle f = { frac {dX _ {*} P} {d mu}}.}$

Это, ж - любая измеримая функция со свойством:

${ displaystyle Pr [X in A] = int _ {X ^ {- 1} A} , dP = int _ {A} f , d mu}$

для любого измеримого множества ${ displaystyle A in { mathcal {A}}.}$

Обсуждение

в непрерывный одномерный случай выше, эталонной мерой является Мера Лебега. В функция массы вероятности из дискретная случайная величина - плотность относительно счетная мера над пространством выборки (обычно набор целые числа или их часть).

Невозможно определить плотность со ссылкой на произвольную меру (например, нельзя выбрать счетную меру в качестве эталона для непрерывной случайной величины). Кроме того, когда он существует, его плотность равна почти всюду уникальный.

Дальнейшие подробности

В отличие от вероятности функция плотности вероятности может принимать значения больше единицы; например, равномерное распределение на интервале [0, ½] имеет плотность вероятности ж(Икс) = 2 для 0 ≤Икс ≤ ½ и ж(Икс) = 0 в другом месте.

Стандарт нормальное распределение имеет плотность вероятности

${ displaystyle f (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} ; e ^ {- x ^ {2} / 2}.}$

Если случайная величина Икс задано, и его распределение допускает функцию плотности вероятности ж, то ожидаемое значение из Икс (если ожидаемое значение существует) можно рассчитать как

${ displaystyle operatorname {E} [X] = int _ {- infty} ^ { infty} x , f (x) , dx.}$

Не каждое распределение вероятностей имеет функцию плотности: распределения дискретные случайные величины не; и не Канторовское распределение, даже если он не имеет дискретной составляющей, то есть не приписывает положительной вероятности какой-либо отдельной точке.

Распределение имеет функцию плотности тогда и только тогда, когда его кумулятивная функция распределения F(Икс) является абсолютно непрерывный. В таком случае: F является почти всюду дифференцируемый, а его производная может использоваться как плотность вероятности:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} F (x) = f (x).}$

Если распределение вероятностей допускает плотность, то вероятность каждого одноточечного набора {а} равно нулю; то же самое верно для конечных и счетных множеств.

Две плотности вероятности ж и г представляют то же самое распределение вероятностей именно если они различаются только по набору Лебег измерять ноль.

В области статистическая физика, неформальная переформулировка указанного выше отношения между производной от кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности обычно используется как определение функции плотности вероятности. Это альтернативное определение следующее:

Если dt бесконечно малое число, вероятность того, что Икс входит в интервал (т, т + dt) равно ж(т) dt, или:

${ Displaystyle Pr (T <Икс$

Связь между дискретным и непрерывным распределениями

Можно представить определенные дискретные случайные величины, а также случайные величины, включающие как непрерывную, так и дискретную часть, с помощью обобщенный функция плотности вероятности, используя Дельта-функция Дирака. (Это невозможно с функцией плотности вероятности в смысле, определенном выше, это может быть сделано с помощью распространение.) Например, рассмотрим двоичную дискретную случайная переменная имея Распределение Радемахера - то есть, принимая -1 или 1 за значения с вероятностью 1/2 каждое. Плотность вероятности, связанная с этой переменной, равна:

${ displaystyle f (t) = { frac {1} {2}} ( delta (t + 1) + delta (t-1)).}$

В более общем смысле, если дискретная переменная может принимать п различных значений среди действительных чисел, тогда соответствующая функция плотности вероятности будет:

${ Displaystyle е (т) = сумма _ {я = 1} ^ {п} р_ {я} , дельта (т-х_ {я}),}$

где ${ displaystyle x_ {1} ldots, x_ {n}}$ дискретные значения, доступные переменной и ${ displaystyle p_ {1}, ldots, p_ {n}}$ - вероятности, связанные с этими значениями.

Это существенно унифицирует рассмотрение дискретных и непрерывных распределений вероятностей. Например, вышеприведенное выражение позволяет определить статистические характеристики такой дискретной переменной (например, ее значить, его отклонение и это эксцесс ), исходя из приведенных формул для непрерывного распределения вероятности.

Семейства плотностей

Это обычное явление для функций плотности вероятности (и вероятностные массовые функции ) быть параметризованным, то есть характеризоваться неопределенным параметры. Например, нормальное распределение параметризуется через значить и отклонение, обозначаемый ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ соответственно, давая семейство плотностей

${ displaystyle f (x; mu, sigma ^ {2}) = { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} e ^ {- { frac {1} {2 }} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2}}.}$

Важно помнить о разнице между домен семейства плотностей и параметров семейства. Разные значения параметров описывают разные распределения разных случайные переменные на том же пространство образца (тот же набор всех возможных значений переменной); это пространство выборки является областью семейства случайных величин, которое описывает это семейство распределений. Данный набор параметров описывает единичное распределение внутри семейства, разделяющее функциональную форму плотности. С точки зрения данного распределения параметры являются константами, а члены функции плотности, которые содержат только параметры, но не переменные, являются частью коэффициент нормализации распределения (мультипликативный коэффициент, который гарантирует, что площадь под плотностью - вероятность что нибудь в возникшей области - равно 1). Этот коэффициент нормализации находится за пределами ядро распределения.

Поскольку параметры являются константами, повторное параметрирование плотности с точки зрения различных параметров, чтобы дать характеристику другой случайной переменной в семействе, означает простую замену новых значений параметров в формулу вместо старых. Однако изменение области определения плотности вероятности сложнее и требует дополнительных усилий: см. Раздел ниже, посвященный замене переменных.

Плотности, связанные с несколькими переменными

Для непрерывного случайные переменные Икс₁, ..., Икс_п, также можно определить функцию плотности вероятности, связанную с множеством в целом, часто называемую совместная функция плотности вероятности. Эта функция плотности определяется как функция п переменные, такие что для любого домена D в п-мерное пространство значений переменных Икс₁, ..., Икс_пвероятность попадания реализации заданных переменных в область D является

${ displaystyle Pr left (X_ {1}, ldots, X_ {n} in D right) = int _ {D} f_ {X_ {1}, ldots, X_ {n}} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) , dx_ {1} cdots dx_ {n}.}$

Если F(Икс₁, ..., Икс_п) = Pr (Икс₁ ≤ Икс₁, ..., Икс_п ≤ Икс_п) это кумулятивная функция распределения вектора (Икс₁, ..., Икс_п), то совместная функция плотности вероятности может быть вычислена как частная производная

${ displaystyle f (x) = { frac { partial ^ {n} F} { partial x_ {1} cdots partial x_ {n}}} { bigg |} _ {x}}$

Предельные плотности

Для я = 1, 2, ...,п, позволять ж_Икся(Икс_я) - функция плотности вероятности, связанная с переменной Икс_я один. Это называется маргинальной функцией плотности, и ее можно вывести из плотности вероятности, связанной со случайными величинами. Икс₁, ..., Икс_п путем интегрирования по всем значениям другого п - 1 переменная:

${ displaystyle f_ {X_ {i}} (x_ {i}) = int f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) , dx_ {1} cdots dx_ {i-1} , dx_ {i + 1} cdots dx_ {n}.}$

Независимость

Непрерывные случайные величины Икс₁, ..., Икс_п допускающие совместную плотность все независимый друг от друга тогда и только тогда, когда

${ displaystyle f_ {X_ {1}, ldots, X_ {n}} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = f_ {X_ {1}} (x_ {1}) cdots f_ { X_ {n}} (x_ {n}).}$

Следствие

Если совместная функция плотности вероятности вектора п случайные величины можно разложить на п функции одной переменной

${ displaystyle f_ {X_ {1}, ldots, X_ {n}} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = f_ {1} (x_ {1}) cdots f_ {n} ( x_ {n}),}$

(где каждый ж_я не обязательно плотность), то п все переменные в наборе независимый друг от друга, а предельная функция плотности вероятности каждого из них определяется выражением

${ displaystyle f_ {X_ {i}} (x_ {i}) = { frac {f_ {i} (x_ {i})} { int f_ {i} (x) , dx}}.}$

пример

Этот элементарный пример иллюстрирует приведенное выше определение многомерных функций плотности вероятности в простом случае функции от набора двух переменных. Позвоните нам ${ displaystyle { vec {R}}}$ двумерный случайный вектор координат (Икс, Y): вероятность получить ${ displaystyle { vec {R}}}$ в четверть плоскости положительного Икс и у является

${ displaystyle Pr left (X> 0, Y> 0 right) = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} f_ {X, Y} (x, y) , dx , dy.}$

Функция случайных величин и замена переменных в функции плотности вероятности

Если функция плотности вероятности случайной величины (или вектора) Икс дается как ж_Икс(Икс) можно (но часто не обязательно; см. ниже) вычислить функцию плотности вероятности некоторой переменной Y = г(Икс). Это также называется «изменением переменной» и на практике используется для генерации случайной величины произвольной формы. ж_г(Икс) = ж_Y с помощью известного (например, равномерного) генератора случайных чисел.

Заманчиво думать, что для определения математического ожидания E(г(Икс)) необходимо сначала найти плотность вероятности ж_г(Икс) новой случайной величины Y = г(Икс). Однако вместо вычислений

${ displaystyle operatorname {E} { big (} g (X) { big)} = int _ {- infty} ^ { infty} yf_ {g (X)} (y) , dy, }$

вместо этого можно найти

${ displaystyle operatorname {E} { big (} g (X) { big)} = int _ {- infty} ^ { infty} g (x) f_ {X} (x) , dx .}$

Значения двух интегралов одинаковы во всех случаях, когда оба Икс и г(Икс) действительно имеют функции плотности вероятности. Не обязательно, чтобы г быть индивидуальная функция. В некоторых случаях последний интеграл вычисляется намного проще, чем первый. Увидеть Закон бессознательного статистика.

Скаляр в скаляр

Позволять ${ displaystyle g: { mathbb {R}} rightarrow { mathbb {R}}}$ быть монотонная функция, то результирующая функция плотности будет

${ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} { big (} g ^ {- 1} (y) { big)} left | { frac {d} {dy}} { big (} g ^ {- 1} (y) { big)} right |.}$

Вот г⁻¹ обозначает обратная функция.

Это следует из того факта, что вероятность, содержащаяся в дифференциальной области, должна быть инвариантной относительно замены переменных. Это,

${ displaystyle left | f_ {Y} (y) , dy right | = left | f_ {X} (x) , dx right |,}$

или

${ displaystyle f_ {Y} (y) = left | { frac {dx} {dy}} right | f_ {X} (x) = left | { frac {d} {dy}} (x ) right | f_ {X} (x) = left | { frac {d} {dy}} { big (} g ^ {- 1} (y) { big)} right | f_ {X } { big (} g ^ {- 1} (y) { big)} = {{ big |} { big (} g ^ {- 1} { big)} '(y) { big |}} cdot f_ {X} { big (} g ^ {- 1} (y) { big)}.}$

Для функций, которые не являются монотонными, функция плотности вероятности для у является

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n (y)} left | { frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {- 1} (y) right | cdot f_ { X} { big (} g_ {k} ^ {- 1} (y) { big)},}$

где п(у) - количество решений в Икс для уравнения ${ Displaystyle г (х) = у}$, и ${ displaystyle g_ {k} ^ {- 1} (y)}$ эти решения.

Вектор в вектор

Вышеприведенные формулы можно обобщить на переменные (которые мы снова будем называть у) в зависимости от более чем одной переменной. ж(Икс₁, ..., Икс_п) будет обозначать функцию плотности вероятности переменных, которые у зависит от, и зависимость должна быть у = г(Икс₁, …, Икс_п). Тогда результирующая функция плотности будет^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle int limits _ {y = g (x_ {1}, ldots, x_ {n})} { frac {f (x_ {1}, ldots, x_ {n})} { sqrt { sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial g} { partial x_ {j}}} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) ^ {2}}} } , dV,}$

где интеграл ведется по всей (п - 1) -мерное решение индексного уравнения и символьного dV необходимо заменить параметризацией этого решения для конкретного расчета; переменные Икс₁, ..., Икс_п тогда, конечно, являются функциями этой параметризации.

Это происходит из следующего, возможно, более интуитивного представления: Предположим, Икс является п-мерная случайная величина с совместной плотностью ж. Если у = ЧАС(Икс), где ЧАС это биективный, дифференцируемая функция, тогда у имеет плотность г:

${ Displaystyle г ( mathbf {y}) = е { Big (} H ^ {- 1} ( mathbf {y}) { Big)} left vert det left [{ frac {dH ^ {- 1} ( mathbf {z})} {d mathbf {z}}} { Bigg vert} _ { mathbf {z} = mathbf {y}} right] right vert}$

с дифференциалом, рассматриваемым как Якобиан обратного ЧАС(.), оценивается в у.^[6]

Например, в двумерном случае Икс = (Икс₁, Икс₂), пусть преобразование ЧАС дается как у₁ = ЧАС₁(Икс₁, Икс₂), у₂ = ЧАС₂(Икс₁, Икс₂) с обратными Икс₁ = ЧАС₁⁻¹(у₁, у₂), Икс₂ = ЧАС₂⁻¹(у₁, у₂). Совместное распределение для у = (у₁, y₂) имеет плотность^[7]

${ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} { big (} H_ {1} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ {2}) { big)} left vert { frac { partial H_ {1} ^ {- 1}} { partial y_ {1}}} { frac { partial H_ {2} ^ {- 1}} { partial y_ {2}}} - { frac { partial H_ {1} ^ {- 1}} { partial y_ {2}}} { frac { partial H_ {2} ^ {- 1}} { partial y_ {1}}} right vert.}$

Вектор в скаляр

Позволять ${ Displaystyle V: { mathbb {R}} ^ {n} rightarrow { mathbb {R}}}$ - дифференцируемая функция и ${ displaystyle X}$ быть случайным вектором, принимающим значения в ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {п}}$, ${ displaystyle f_ {X} ( cdot)}$ - функция плотности вероятности ${ displaystyle X}$ и ${ Displaystyle дельта ( cdot)}$ быть Дельта Дирака функция. Можно использовать приведенные выше формулы для определения ${ displaystyle f_ {Y} ( cdot)}$, функция плотности вероятности ${ Displaystyle Y = V (X)}$, который будет дан

${ displaystyle f_ {Y} (y) = int _ {{ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} ( mathbf {x}) delta { big (} yV ( mathbf { x}) { big)} , d mathbf {x}.}$

Этот результат приводит к Закон бессознательного статистика:

${ displaystyle operatorname {E} _ {Y} [Y] = int _ { mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = int _ { mathbb {R}} y int _ { { mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} ( mathbf {x}) delta { big (} yV ( mathbf {x}) { big)} , d mathbf {x } dy = int _ {{ mathbb {R}} ^ {n}} int _ { mathbb {R}} yf_ {X} ( mathbf {x}) delta { big (} yV ( mathbf {x}) { big)} , dyd mathbf {x} = int _ {{ mathbb {R}} ^ {n}} V ( mathbf {x}) f_ {X} ( mathbf {x}) d mathbf {x} = operatorname {E} _ {X} [V (X)].}$

Доказательство:

Позволять ${ displaystyle Z}$ - сжатая случайная величина с функцией плотности вероятности ${ displaystyle p_ {Z} (z) = delta (z)}$ (т.е. константа, равная нулю). Пусть случайный вектор ${ Displaystyle { тильда {X}}}$ и преобразование ${ displaystyle H}$ быть определенным как

${ Displaystyle H (Z, X) = { begin {bmatrix} Z + V (X) X end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} Y { tilde {X}} end {bmatrix}}}$.

Ясно, что ${ displaystyle H}$ является биективным отображением, а якобиан ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ дан кем-то:

${ displaystyle { frac {dH ^ {- 1} (y, { tilde { mathbf {x}}})} {dy , d { tilde { mathbf {x}}}}} = { begin {bmatrix} 1 & - { frac {dV ({ tilde { mathbf {x}}})} {d { tilde { mathbf {x}}}}} mathbf {0} _ {n times 1} & mathbf {I} _ {n times n} end {bmatrix}}}$,

которая является верхнетреугольной матрицей с единицами на главной диагонали, поэтому ее определитель равен 1. Применяя теорему о замене переменной из предыдущего раздела, получаем, что

${ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} ( mathbf {x}) delta { big (} y-V ( mathbf {x}) { big)}}$,

которые в случае маргинализации ${ displaystyle x}$ приводит к желаемой функции плотности вероятности.

Суммы независимых случайных величин

Функция плотности вероятности суммы двух независимый случайные переменные U и V, каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, является свертка их отдельных функций плотности:

${ displaystyle f_ {U + V} (x) = int _ {- infty} ^ { infty} f_ {U} (y) f_ {V} (xy) , dy = left (f_ {U } * f_ {V} right) (x)}$

Можно обобщить предыдущее соотношение на сумму N независимых случайных величин с плотностями U₁, ..., U_N:

${ displaystyle f_ {U_ {1} + cdots + U_ {N}} (x) = left (f_ {U_ {1}} * cdots * f_ {U_ {N}} right) (x)}$

Это может быть получено путем двусторонней замены переменных с участием Y = U + V и Z = V, аналогично приведенному ниже примеру для частного независимых случайных величин.

Произведения и отношения независимых случайных величин

Учитывая две независимые случайные величины U и V, каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, плотность произведения Y = УФ и частное Y=U/V можно вычислить заменой переменных.

Пример: частное распределение

Чтобы вычислить частное Y = U/V двух независимых случайных величин U и V, определите следующее преобразование:

${ Displaystyle Y = U / V}$

${ Displaystyle Z = V}$

Тогда плотность стыков п(у,z) можно вычислить заменой переменных из U, V к Y, Z, и Y может быть получен маргинализация Z от плотности стыка.

Обратное преобразование:

${ displaystyle U = YZ}$

${ Displaystyle V = Z}$

В Матрица якобиана ${ Displaystyle J (U, V середина Y, Z)}$ этого преобразования

${ displaystyle { begin {vmatrix} { frac { partial u} { partial y}} & { frac { partial u} { partial z}} { frac { partial v} { partial y}} & { frac { partial v} { partial z}} end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} z ​​& y 0 & 1 end {vmatrix}} = | z |.}$

Таким образом:

${ Displaystyle п (Y, Z) знак равно п (и, v) , J (и, v середина у, г) = п (и) , р (v) , J (и, v середина у , z) = p_ {U} (yz) , p_ {V} (z) , | z |.}$

И распределение Y можно вычислить маргинализация Z:

${ displaystyle p (y) = int _ {- infty} ^ { infty} p_ {U} (yz) , p_ {V} (z) , | z | , dz}$

Этот метод критически требует, чтобы преобразование из U,V к Y,Z быть биективный. Вышеупомянутое преобразование соответствует этому, потому что Z может быть напрямую отображен на V, и для данного V частное U/V является монотонный. То же самое и с суммой U + V, разница U − V и продукт УФ.

Точно такой же метод можно использовать для вычисления распределения других функций от нескольких независимых случайных величин.

Пример: частное двух стандартных нормалей

Учитывая два стандартный нормальный переменные U и V, частное можно вычислить следующим образом. Во-первых, переменные имеют следующие функции плотности:

${ displaystyle p (u) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {u ^ {2}} {2}}}}$

${ displaystyle p (v) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {v ^ {2}} {2}}}}$

Трансформируем как описано выше:

${ Displaystyle Y = U / V}$

${ Displaystyle Z = V}$

Это ведет к:

${ Displaystyle { begin {выровненный} p (y) & = int _ {- infty} ^ { infty} p_ {U} (yz) , p_ {V} (z) , | z | , dz [5pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {1} {2 }} y ^ {2} z ^ {2}} { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {1} {2}} z ^ {2}} | z | , dz [5pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {2 pi}} e ^ {- { frac {1} {2} } (y ^ {2} +1) z ^ {2}} | z | , dz [5pt] & = 2 int _ {0} ^ { infty} { frac {1} {2 pi}} e ^ {- { frac {1} {2}} (y ​​^ {2} +1) z ^ {2}} z , dz [5pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { pi}} e ^ {- (y ^ {2} +1) u} , du && u = { tfrac {1} {2}} z ^ {2} [5pt] & = left .- { frac {1} { pi (y ^ {2} +1)}} e ^ {- (y ^ {2} +1) u} right] _ { u = 0} ^ { infty} [5pt] & = { frac {1} { pi (y ^ {2} +1)}} end {выровнено}}}$

Это плотность эталона Распределение Коши.

Смотрите также

• Оценка плотности
• Оценка плотности ядра
• Функция правдоподобия
• Список вероятностных распределений
• Вероятностная функция масс
• Вторичная мера
• Используется как плотность вероятности положения:
  • Атомная орбиталь
  • Домашний ассортимент

использованная литература

дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1979). Вероятность и мера. Нью-Йорк, Торонто, Лондон: Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-00710-2.
• Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистические выводы (Второе изд.). Томсон обучения. С. 34–37. ISBN  0-534-24312-6.
• Стирзакер, Дэвид (2003). Элементарная вероятность. ISBN  0-521-42028-8. Главы с 7 по 9 посвящены непрерывным переменным.

внешние ссылки

• Ушаков, Н. (2001) [1994], «Плотность распределения вероятностей», Энциклопедия математики, EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. "Функция плотности вероятности". MathWorld.