Петербургский парадокс - St. Petersburg paradox

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Октябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Петербургский парадокс или же Санкт-Петербургская лотерея^[1] это парадокс относится к вероятность и теория принятия решений в экономика. Он основан на теоретическом лотерея игра, которая приводит к случайная переменная с бесконечным ожидаемое значение (т. е. бесконечный ожидаемый выигрыш), но, тем не менее, кажется участникам очень небольшой. Парадокс Санкт-Петербурга - это ситуация, когда критерий наивного решения, учитывающий только ожидаемое значение, предсказывает курс действий, на который, по-видимому, не захочет пойти ни один реальный человек. Было предложено несколько разрешений парадокса.

Парадокс получил свое название от разрешения Даниэль Бернулли, единовременно проживающий в одноименный российский город, который опубликовал свои аргументы в Комментарии Императорской Академии наук Санкт-Петербург (Бернулли 1738 ). Однако проблема была изобретена двоюродным братом Даниила, Николя Бернулли,^[2] кто первым заявил об этом в письме Пьер Раймон де Монморт 9 сентября 1713 г.de Montmort 1713 ).^[3]

Парадокс

Казино предлагает азартная игра для одного игрока, в котором подброшена честная монета на каждом этапе. Начальная ставка начинается с 2 долларов и удваивается каждый раз, когда выпадает орел. Когда решка выпадает в первый раз, игра заканчивается, и игрок выигрывает все, что находится в банке. Таким образом, игрок выигрывает 2 доллара, если решка выпадает при первой подбрасывании, 4 доллара, если орел выпадает при первой подбрасывании, и решка при втором, 8 долларов, если орел выпадает при первых двух подбрасываниях, и решка при третьей, и так далее. Математически игрок выигрывает ${ displaystyle 2 ^ {k}}$ долларов, где ${ displaystyle k}$ положительное целое число, равное количеству бросков. Какова будет справедливая цена, которую должно заплатить казино за вход в игру?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подумать, какой будет средняя выплата: с вероятностью 1/2, игрок выигрывает 2 доллара; с вероятностью 1/4 игрок выигрывает 4 доллара; с вероятностью 1/8 игрок выигрывает 8 долларов и так далее. В ожидаемое значение таким образом

${ displaystyle { begin {align} E & = { frac {1} {2}} cdot 2 + { frac {1} {4}} cdot 4 + { frac {1} {8}} cdot 8 + { frac {1} {16}} cdot 16+ cdots & = 1 + 1 + 1 + 1 + cdots & = infty ,. end {выровнено}}}$

Если предположить, что игра может продолжаться до тех пор, пока в результате подбрасывания монеты выпадет орел, и, в частности, если у казино неограниченные ресурсы, эта сумма растет без ограничений, поэтому ожидаемый выигрыш при повторной игре - бесконечная сумма денег. Принимая во внимание только ожидаемую величину чистого изменения денежного богатства, следует поэтому играть в игру любой ценой, если предоставляется возможность. Тем не менее, в опубликованных описаниях игры многие люди выразили недоверие результату. Мартин Роберт цитирует Ян Хакинг он говорит, что «мало кто из нас заплатит даже 25 долларов за участие в такой игре», и говорит, что большинство комментаторов согласятся.^[4] Парадокс заключается в несоответствии между тем, что люди, кажется, готовы платить, чтобы войти в игру, и бесконечным ожидаемым значением.

Решения

Было предложено несколько подходов к разрешению парадокса.

Теория ожидаемой полезности

Классическое разрешение парадокса включало явное введение вспомогательная функция, гипотеза ожидаемой полезности, и презумпция убывающая предельная полезность денег.

По словам Даниэля Бернулли:

Определение стоимости предмета должно основываться не на цене, а на полезности, которую он приносит…. Несомненно, выигрыш в тысячу дукаты для бедняка важнее, чем для богатого, хотя оба получают одинаковую сумму.

Общая полезная модель, предложенная самим Бернулли, - это логарифмическая функция U(ш) = ln (ш) (известный как утилита журнала). Это функция от общего богатства игрока. ш, и в него встроена концепция убывающей предельной полезности денег. Гипотеза ожидаемой полезности утверждает, что существует функция полезности, знак которой ожидаемое чистое изменение от принятия игры является хорошим критерием для поведения реальных людей. Для каждого возможного события изменение полезности ln (богатство после события) - ln (богатство до события) будет взвешен по вероятности того, что событие произойдет. Позволять c быть платой за вход в игру. Ожидаемая дополнительная полезность лотереи теперь сходится к конечному значению:

${ displaystyle Delta E (U) = sum _ {k = 1} ^ {+ infty} { frac {1} {2 ^ {k}}} left [ ln left (w + 2 ^ {k} -c right) - ln (w) right] <+ infty ,.}$

Эта формула дает неявную связь между богатством игрока и тем, сколько он должен быть готов заплатить, чтобы играть (в частности, любые c что дает положительное изменение ожидаемой полезности). Например, с помощью утилиты естественного журнала миллионер (1000000 долларов) должны быть готовы заплатить до 20,88 долларов, человек с 1000 долларов должен заплатить до 10,95 долларов, человек с 2 долларами должен занять 1,35 доллара и заплатить до 3,35 доллара.

До того, как Даниэль Бернулли опубликовал в 1728 году, математик из Женева, Габриэль Крамер, уже нашли части этой идеи (также мотивированной парадоксом Санкт-Петербурга), заявив, что

математики оценивают деньги пропорционально их количеству, а здравомыслящие люди - пропорционально тому, как они могут их использовать.

Он продемонстрировал в письме Николя Бернулли^[5] что функция квадратного корня, описывающая убывающую предельную выгоду от прироста, может решить проблему. Однако, в отличие от Даниэля Бернулли, он рассматривал не общее богатство человека, а только выигрыш от лотереи.

Однако это решение Крамера и Бернулли не полностью удовлетворяет, поскольку лотерею можно легко изменить таким образом, чтобы парадокс повторился. Для этого нам просто нужно изменить игру так, чтобы она приносила еще более быстро растущие выплаты. Для любой неограниченной функции полезности можно найти лотерею, допускающую вариант петербургского парадокса, на что впервые указал Менгер (Менгер 1934 ).

Недавно теория ожидаемой полезности была расширена, чтобы получить больше модели поведенческих решений. В некоторых из этих новых теорий, например в совокупная теория перспектив, Санкт-Петербургский парадокс снова возникает в некоторых случаях, даже когда функция полезности вогнута, но не в том случае, если она ограничена (Ригер и Ван 2006 ).

Взвешивание вероятности

Сам Николас Бернулли предложил альтернативную идею решения парадокса. Он предположил, что люди будут пренебрегать маловероятными событиями (de Montmort 1713 ). Поскольку в лотерее Санкт-Петербурга только маловероятные события приносят высокие призы, которые приводят к бесконечному ожидаемому значению, это может разрешить парадокс. Идея вероятностного взвешивания всплыла гораздо позже в работе над теория перспектив к Даниэль Канеман и Амос Тверски.

Кумулятивная теория перспектив одно из популярных обобщений теория ожидаемой полезности который может предсказать многие закономерности поведения (Тверски и Канеман 1992 ). Тем не менее, чрезмерный вес событий с малой вероятностью, введенный в теории кумулятивных перспектив, может восстановить парадокс Санкт-Петербурга. Кумулятивная теория перспектив избегает парадокса Санкт-Петербурга только тогда, когда коэффициент мощности полезность функция ниже, чем коэффициент мощности весовой функции вероятности (Блаватский 2005 ). Интуитивно, функция полезности должна быть не просто вогнутой, но и вогнутой относительно функции взвешивания вероятностей, чтобы избежать парадокса Санкт-Петербурга. Можно утверждать, что формулы для теории перспектив получаются в районе менее 400 долларов (Тверски и Канеман 1992 ). Это не применимо к бесконечно возрастающим суммам в парадоксе Санкт-Петербурга.

Отказ от математического ожидания

Различные авторы, в том числе Жан ле Ронд д'Аламбер и Джон Мейнард Кейнс, отвергли максимизацию ожидания (даже полезности) как надлежащее правило поведения. Кейнс, в частности, настаивал на том, чтобы относительный риск^{[требуется разъяснение ]} альтернативы может быть достаточно высокой, чтобы отвергнуть ее, даже если ее ожидания огромны.^{[нужна цитата ]} Недавно некоторые исследователи предложили заменить ожидаемое значение на медиана как справедливая стоимость. ^[6][7]

Конечные лотереи Санкт-Петербурга

Классическая петербургская лотерея предполагает наличие у казино бесконечных ресурсов. Это предположение нереалистично, особенно в связи с парадоксом, который связан с реакцией обычных людей на лотерею. Конечно, ресурсы реального казино (или любого другого потенциального спонсора лотереи) ограничены. Что еще более важно, только ожидаемая стоимость лотереи логарифмически растет с ресурсами казино. В результате ожидаемая ценность лотереи, даже если играть против казино с самыми крупными ресурсами, которые можно реально представить, довольно скромна. Если общие ресурсы (или общий максимальный джекпот) казино равны W долларов, тогда L = этаж (бревно₂(W)) - это максимальное количество раз, которое казино может сыграть, прежде чем оно перестанет полностью покрывать следующую ставку. Ожидаемое значение E лотереи становится:

${ displaystyle { begin {align} E & = sum _ {k = 1} ^ {L} { frac {1} {2 ^ {k}}} cdot 2 ^ {k} + sum _ {k = L + 1} ^ {+ infty} { frac {1} {2 ^ {k}}} cdot W & = L + { frac {W} {2 ^ {L}}} ,. конец {выровнено}}}$

В следующей таблице показано ожидаемое значение. E игры с различными потенциальными банкирами и их банкроллом W (при условии, что если вы выиграете больше, чем банкролл, вам заплатят столько, сколько имеет банк):

Рациональный человек может не обнаружить, что лотерея стоит даже скромных сумм в приведенной выше таблице, предполагая, что наивная модель решения ожидаемого дохода вызывает по существу те же проблемы, что и для бесконечной лотереи. Но даже в этом случае возможное расхождение между теорией и реальностью гораздо менее драматично.

Предпосылка о безграничных ресурсах порождает множество парадоксов в экономике. в система ставок мартингейл, игрок, делающий ставку на подброшенную монету, удваивает свою ставку после каждого проигрыша, чтобы возможный выигрыш покрыл все проигрыши; эта система не работает с любым конечным банкроллом. В разорение игрока концепция показывает, что упорный игрок разорится, даже если игра дает положительные результаты. ожидаемое значение, и нет системы ставок можно избежать этой неизбежности.

Недавние обсуждения

Хотя этому парадоксу уже три столетия, новые аргументы все еще вводятся.

Вальщик

Математически правильное решение с использованием выборки было предложено Уильям Феллер.^[10] Чтобы правильно понять ответ Феллера, необходимы достаточные знания теории вероятностей и статистики, но это можно понять интуитивно, «чтобы провести эту игру с большим количеством людей и вычислить ожидаемое значение из выборки». В этом методе, когда возможны игры бесконечное число раз, ожидаемое значение будет бесконечным, а в случае конечного значения ожидаемое значение будет намного меньшим.

Самуэльсон

Самуэльсон разрешает парадокс, утверждая, что, даже если бы у сущности было бесконечное количество ресурсов, игра никогда не была бы предложена. Если лотерея представляет собой бесконечный ожидаемый выигрыш для игрока, то она также представляет собой бесконечный ожидаемый убыток для хозяина. Никто не мог заметить, что платит за игру, потому что она никогда не будет предложена. В качестве Пол Самуэльсон описывает аргумент:

«Павел никогда не захочет отдать столько, сколько Петр потребует за такой контракт, и, следовательно, указанная деятельность будет происходить на равновесном уровне с нулевой интенсивностью». (Самуэльсон 1960 )

Дальнейшие обсуждения

Предельная полезность и философский взгляд

В прошлом парадокс Санкт-Петербурга и теория предельной полезности вызывали большие споры. Обсуждение с точки зрения философа см. В (Мартин 2004 ).

Эвристические параметры и риски

Недавно некоторые авторы предложили использовать эвристические параметры ^[11] (например, оценка возможных выигрышей без пренебрежения рисками лотереи в Санкт-Петербурге) из-за сильно стохастического контекста этой игры (Cappiello 2016 ). Поэтому ожидаемый результат следует оценивать в ограниченный период, когда мы, вероятно, можем сделать свой выбор, и, помимо неэргодических характеристик (Peters 2011a ), учитывая некоторые неподходящие последствия, которые мы могли бы приписать ожидаемому значению (Feller 1968 ).

Смотрите также

Примечания и ссылки

Цитаты

Процитированные работы

• Эрроу, Кеннет Дж. (Февраль 1974 г.). «Использование неограниченных функций полезности в максимизации ожидаемой полезности: отклик» (PDF). Ежеквартальный журнал экономики. 88 (1): 136–138. Дои:10.2307/1881800. JSTOR  1881800.

• Бернулли, Даниэль; первоначально опубликовано в 1738 г .; переведена доктором Луизой Соммер (январь 1954 г.). «Изложение новой теории измерения риска». Econometrica. 22 (1): 22–36. Дои:10.2307/1909829. JSTOR  1909829. Получено 30 мая, 2006.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Блаватский, Павел (апрель 2005 г.). "Назад к петербургскому парадоксу?" (PDF). Наука управления. 51 (4): 677–678. Дои:10.1287 / mnsc.1040.0352.

• Каппиелло, Антонио (2016). «Принятие решений и парадокс Санкт-Петербурга: акцент на эвристических параметрах, с учетом неэргодического контекста и рисков, связанных с азартными играми». Ривиста итальянская экономика, демография и статистика. 70 (4): 147–158. ISSN  0035-6832. RePEc: ite: iteeco: 160406.

• де Монморт, Пьер Ремон (1713). Essay d'analyse sur les jeux de risk [Очерки анализа азартных игр] (Переиздано в 2006 г.) (на французском языке) (Второе изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3781-8. как переведено и размещено на Пульскэмп, Ричард Дж. "Переписка Николя Бернулли по поводу Петербургской игры" (PDF). Получено 22 июля, 2010.

• Феллер, Уильям. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Том I.

• Лаплас, Пьер Симон (1814). Аналитическая теория вероятностей [Аналитическая теория вероятностей] (на французском языке) (Второе изд.). Париж: Ve. Courcier.

• Мартин, Роберт (2004). «Петербургский парадокс». В Эдварде Н. Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (Издание осенью 2004 г.). Стэнфорд, Калифорния: Стэндфордский Университет. ISSN  1095-5054. Получено 30 мая, 2006.

• Менгер, Карл (Август 1934 г.). "Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel". Zeitschrift für Nationalökonomie. 5 (4): 459–485. Дои:10.1007 / BF01311578. ISSN  0931-8658. S2CID  151290589. (Бумага) (Интернет).

• Петерс, Оле (октябрь 2011b). «Возвращение к Менгеру 1934 года». arXiv:1110.1578 [q-fin.RM ].

• Петерс, Оле (2011a). «Временное разрешение петербургского парадокса». Философские труды Королевского общества. 369 (1956): 4913–4931. arXiv:1011.4404. Bibcode:2011RSPTA.369.4913P. Дои:10.1098 / rsta.2011.0065. ЧВК  3270388. PMID  22042904.

• Петерс, Оле; Гелл-Манн, Мюррей (2016). «Оценка азартных игр с помощью динамики». Хаос. 26 (2): 023103. arXiv:1405.0585. Bibcode:2016 Хаос..26b3103P. Дои:10.1063/1.4940236. PMID  26931584. S2CID  9726238.

• Пьянка, Паоло (сентябрь 2007 г.). «Санкт-Петербургский парадокс: историческая экспозиция, приложение к растущим акциям и некоторые методы моделирования» (PDF). Quaderni di Didattica, факультет прикладной математики, Венецианский университет. 24: 1–15.

• Ригер, Марк Оливер; Ван, Мэй (Август 2006 г.). «Кумулятивная теория перспектив и парадокс Санкт-Петербурга» (PDF). Экономическая теория. 28 (3): 665–679. Дои:10.1007 / s00199-005-0641-6. HDL:20.500.11850/32060. ISSN  0938-2259. S2CID  790082. (Бумага) (Интернет). (Общедоступная, более старая версия. )

• Самуэльсон, Пол (январь 1960). «Петербургский парадокс как расходящийся двойной предел». Международное экономическое обозрение. 1 (1): 31–37. Дои:10.2307/2525406. JSTOR  2525406.
• Самуэльсон, Пол (Март 1977 г.). "Петербургские парадоксы: разоблаченные, вскрытые и исторически описанные". Журнал экономической литературы. 15 (1): 24–55. JSTOR  2722712.

• Тодхантер, Исаак (1865). История математической теории вероятностей. Macmillan & Co.

• Тверски, Амос; Канеман (1992). «Достижения в теории перспектив: кумулятивное представление неопределенности». Журнал рисков и неопределенностей. 5 (4): 297–323. Дои:10.1007 / bf00122574. S2CID  8456150.

Библиография

• Ауманн, Роберт Дж. (Апрель 1977 г.). «Санкт-Петербургский парадокс: обсуждение некоторых недавних комментариев». Журнал экономической теории. 14 (2): 443–445. Дои:10.1016/0022-0531(77)90143-0.
• Феллер, Уильям (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения Том I, II. Вайли. ISBN  978-0471257080.
• Дюран, Дэвид (сентябрь 1957 г.). «Рост акций и парадокс Петербурга». Журнал финансов. 12 (3): 348–363. Дои:10.2307/2976852. JSTOR  2976852.

• "Бернулли и петербургский парадокс". История экономической мысли. Новая школа социальных исследований, Нью-Йорк. Архивировано из оригинал 18 июня 2006 г.. Получено 30 мая, 2006.

• Хей, Джон (1999). Принимая шансы. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. стр.330. ISBN  978-0198526636.(Глава 4)
• Сен, П.К .; Сингер, Дж. М. (1993). Методы больших выборок в статистике. Введение в приложения. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0412042218.

внешняя ссылка

• Онлайн-симулятор петербургской лотереи