Новая загадка индукции - Википедия - New riddle of induction

"Grue and bleen" перенаправляется сюда. О лингвистическом термине «grue», используемом для перевода с естественных языков, см. Различие синего и зеленого в разных языках.

Гру и бледнеть являются примерами логических предикаты придуманный Нельсон Гудман в Факт, вымысел и прогноз чтобы проиллюстрировать "новая загадка индукции"- преемник Исходная проблема Юма. Эти предикаты необычны, потому что их применение зависит от времени; многие пытались разгадать новую загадку на этих условиях, но Хилари Патнэм и другие утверждали, что такая зависимость от времени зависит от принятого языка, и в некоторых языках это в равной степени справедливо для естественно звучащих предикатов, таких как «зеленый». Для Гудмана они иллюстрируют проблему проецируемых предикатов и, в конечном счете, какие эмпирические обобщения законопослушный а какие нет.[1][2] Построение Гудмана и использование грустный и бледнеть показывает, как философы используют простые примеры в концептуальный анализ.

Груди и блин

Гудман определил «грусть» относительно произвольного, но фиксированного времени. т:[примечание 1] объект грязный если и только если это наблюдается раньше т и зеленый, иначе не наблюдается и синий. Объект «бледнеет» тогда и только тогда, когда он наблюдается раньше. т и является синим, иначе не наблюдается и является зеленым.[3]

На какое-то произвольное будущее время т, скажем, 1 января 2030 г., для всех зеленых вещей, наблюдавшихся до т, такие как изумруды и хорошо политый трава, оба предиката зеленый и грустный подать заявление. То же самое для всех синих вещей, наблюдавшихся до т, Такие как синие птицы или синие цветы, оба предиката синий и бледнеть подать заявление. Однако 2 января 2030 года изумруды и хорошо политая трава станут бледнеть и синие птицы или синие цветы грустный. Предикаты грустный и бледнеть не являются типами предикатов, используемых в повседневной жизни или в науке, но они применяются точно так же, как и предикаты зеленый и синий до будущего времени т. С точки зрения наблюдателей раньше времени т неизвестно, какие предикаты проецируются в будущем (зеленый и синий или грустный и бледнеть).

Новая загадка индукции

В этом разделе излагается новая загадка индукции Гудмана, чтобы задать контекст для его введения предикатов. грустный и бледнеть и тем самым проиллюстрировать их философское значение.[2][4]

Старая проблема индукции и ее растворение

Позы Гудмана Проблема индукции Юма как проблема действительности предсказания мы делаем. Поскольку прогнозы касаются того, что еще предстоит наблюдать, и поскольку нет необходимой связи между тем, что наблюдалось, и тем, что будет наблюдаться, у этих прогнозов нет объективного обоснования. Дедуктивная логика не может использоваться для вывода прогнозов о будущих наблюдениях на основе прошлых наблюдений, потому что не существует действительных правил дедуктивной логики для таких выводов. Ответ Юма заключался в том, что наблюдения одного вида событий, следующих за событиями другого типа, приводят к появлению привычек регулярности (т. Е. Ассоциированию одного вида событий с другим). Прогнозы тогда основываются на этих закономерностях или привычках ума.

Гудман считает ответ Юма серьезным. Он отвергает возражение других философов о том, что Юм просто объясняет происхождение наших предсказаний, а не их оправдание. По его мнению, Юм обнаружил нечто более глубокое. Чтобы проиллюстрировать это, Гудман обращается к проблеме обоснования система правил удержания. Для Гудмана обоснованность дедуктивной системы оправдывается ее соответствием хорошей дедуктивной практике. Обоснование правил дедуктивной системы зависит от наших суждений о том, следует ли отвергать или принимать конкретные дедуктивные выводы. Таким образом, для Гудмана проблема индукции растворяется в той же проблеме, что и обоснование дедуктивной системы, и хотя, согласно Гудману, Юм был на правильном пути с привычками ума, проблема сложнее, чем предполагал Юм.

В контексте обоснования правил индукции это становится проблемой подтверждения обобщений для Гудмана. Однако подтверждение - это не проблема обоснования, а проблема точного определения того, как доказательства подтверждают обобщения. Именно с этим поворотом грустный и бледнеть играют свою философскую роль в представлении Гудмана об индукции.

Проецируемые предикаты

Пример правительства США для предикатов, зависящих от времени: До марта 1797 г., произвольно много наблюдений подтвердят обе версии прогноза "The Силы США всегда были приказал к { Джордж Вашингтон
президент США }, следовательно, он будет им командовать в будущем ", который сегодня известен как { ложный
истинный }, похожий на "Изумруды всегда были { грустный
зеленый }, следовательно, так и будет в будущем ".

Новая загадка индукции для Гудмана зиждется на нашей способности различать законопослушный от неправомерный обобщения. Законный обобщения способны подтвердить, в то время как неправомерный обобщений нет. Законный Для предсказаний необходимы обобщения. Используя примеры Гудмана, обобщение того, что вся медь проводит электричество, может быть подтверждено конкретным куском меди, тогда как обобщение, что все люди в данной комнате являются третьими сыновьями, не является законопослушный но случайно. Обобщение того, что вся медь проводит электричество, является основой для предсказания того, что этот кусок меди будет проводить электричество. Однако обобщение, что все мужчины в данной комнате являются третьими сыновьями, не является основанием для предсказания, что данный мужчина в этой комнате является третьим сыном.

Следовательно, вопрос в том, что делает некоторые обобщения законопослушный и другие случайные. Для Гудмана это становится проблемой определения, какие предикаты проецируемы (т. Е. Могут использоваться в законопослушный обобщения, которые служат предсказаниями), а которые нет. Гудман утверждает, что в этом и заключается основная проблема. Эта проблема известна как Парадокс гудмана: из очевидных убедительных доказательств того, что все изумруды изученные до сих пор были зелеными, можно индуктивно заключить, что все будущие изумруды будут зелеными. Однако, верен ли этот прогноз законопослушный или нет, зависит от предикатов, используемых в этом прогнозе. Гудман заметил, что (предполагая т еще не прошло) в равной степени верно, что каждый изумруд, который был замечен, грустный. Таким образом, по тем же данным мы можем сделать вывод, что все будущие изумруды будут грустный. Новая проблема индукции становится проблемой различения проецируемых предикатов, таких как зеленый и синий от непроецируемых предикатов, таких как грустный и бледнеть.

Хьюм, утверждает Гудман, упустил эту проблему. Мы по привычке делаем обобщения не из всех ассоциаций наблюдаемых событий, а только из некоторых из них. Все изумруды, которые мы наблюдали в прошлом, были зелеными, и у нас сформировалась привычка думать, что следующий изумруд будет зеленым, но они были в равной степени мрачными, и мы не формируем привычек, касающихся грубости. Законный предсказания (или прогнозы) в конечном итоге различимы по предикатам, которые мы используем. Решение Гудмана состоит в том, чтобы утверждать, что законопослушный прогнозы основаны на прогнозируемых предикатах, таких как зеленый и синий а не на непроецируемых предикатах, таких как грустный и бледнеть и то, что делает предикаты проецируемыми, - это их окоп, что зависит от их успешных прошлых прогнозов. Таким образом, грустный и бледнеть функция в аргументах Гудмана как для иллюстрации новой загадки индукции, так и для иллюстрации различия между проецируемыми и непроектируемыми предикатами через их относительное закрепление.

Ответы

Один из ответов - обращение к искусственно дизъюнктивный определение grue. Понятие предиката окоп не требуется. Гудман сказал, что это не удастся. Если мы возьмем грустный и бледнеть как примитивные предикаты, мы можем определить зеленый как "грустный если впервые заметил раньше т и бледнеть в противном случае », и то же самое для синего. Отрицать приемлемость этого дизъюнктивного определения зеленого означало бы прошу вопрос.

Другое предложенное решение, не требующее предиката окоп в том, что "Икс is grue "не только предикат Икс, но из Икс и время т- мы можем знать, что объект зеленый, не зная времени т, но мы не можем знать, что это грубо. В таком случае не следует ожидать "Икс grue "оставаться верным, когда время меняется. Однако можно спросить, почему"Икс зеленый "это не считается предикатом определенного времени т- более распространенное определение зеленый не требует упоминания времени т, но определение грустный делает. Гудман также рассматривает и отвергает это предложенное решение как вопрос напрашивается потому что синий можно определить с точки зрения грустный и бледнеть, которые явно относятся ко времени.[5]

Суинберн

Ричард Суинберн преодолевает возражения, что зеленый может быть переопределен с точки зрения грустный и бледнеть проводя различие на основе того, как мы проверяем применимость предиката в конкретном случае. Он различает качественные предикаты и предикаты местоположения. Качественные предикаты, как зеленые, может оцениваться без знания пространственного или временного отношения Икс к определенному времени, месту или событию. Предикаты местоположения, например грустный, не можешь оцениваться без знания пространственного или временного отношения Икс к определенному времени, месту или событию, в данном случае будь то Икс наблюдается до или после времени т. Хотя зеленому можно дать определение в терминах предикатов местоположения грустный и бледнеть, это не имеет отношения к тому факту, что зеленый соответствует критерию качественного предиката, тогда как грустный просто местонахождение. Он заключает, что если некоторые Икс'исследуемые объекты, как и изумруды, удовлетворяют как качественному, так и локальному предикату, но проецирование этих двух предикатов дает противоречивые прогнозы, а именно, будут ли изумруды, исследованные через некоторое время т будет зеленым или зеленым, мы должны спроецировать качественный предикат, в данном случае зеленый.[6]

Карнап

Рудольф Карнап ответил[7] к статье Гудмана 1946 года. Подход Карнапа к индуктивной логике основан на понятии степень подтверждения c(час,е) данной гипотезы час на основании данных доказательств е.[заметка 2] И то и другое час и е логические формулы, выраженные простым языком L что позволяет

  • многократная количественная оценка ("для каждого Икс Существует y такой, что ... "),
  • унарные и бинарные предикатные символы (свойства и отношения), и
  • отношение равенства "=".

В вселенная дискурса состоит из бесчисленного множества особей, каждая из которых обозначена своим постоянным символом; такие люди должны рассматриваться как позиции («как точки пространства-времени в нашем реальном мире»), а не как протяженные физические тела.[8] Описание состояния - это (обычно бесконечное) соединение, содержащее все возможные основные атомарные предложения, как отрицательные, так и необязательные; такое соединение описывает возможное состояние всей вселенной.[9] Карнап требует следующих семантических свойств:

  • Атомарные предложения должны быть логически независимыми друг от друга.[10] В частности, разные постоянные символы должны обозначать разных и совершенно разных людей.[заметка 3] Более того, разные предикаты должны быть логически независимыми.[примечание 4][примечание 5]
  • Качества и отношения, обозначенные предикатами, должны быть простыми, то есть их нельзя анализировать на более простые компоненты.[11] Видимо, Карнап имел в виду иррефлексивный, частичный, и обоснованный[примечание 6] порядок[примечание 7] проще чем.
  • Набор примитивных предикатов в L должны быть полными, то есть во всех отношениях, в которых два положения во Вселенной могут быть обнаружены различными при прямом наблюдении, должны быть выражены в L.[12]

Карнап различает три вида свойств:

  1. Чисто качественные свойства; то есть свойства, выражаемые без использования отдельных констант, но не без примитивных предикатов,
  2. Чисто позиционные свойства; то есть свойства, выражаемые без примитивных предикатов, и
  3. Смешанные свойства; то есть все остальные выразимые свойства.

Чтобы прояснить эту таксономию, позвольте Икс быть переменной и а постоянный символ; тогда пример 1. может быть "Икс синий или Икс нетепло ", пример 2".Икс = а", и пример 3."Икс красный, а не Икс = а".

Основываясь на своей теории индуктивной логики, изложенной выше, Карнап формализует понятие Гудмана о проецируемости свойства. W следующим образом: чем выше относительная частота W в наблюдаемой выборке тем выше вероятность того, что ненаблюдаемый человек обладает свойством W. Карнап предлагает «в качестве предварительного ответа» Гудману, что все чисто качественные свойства проецируемы, все чисто позиционные свойства непроектируемы, а смешанные свойства требуют дальнейшего исследования.[13]

Куайн

Уиллард Ван Орман Куайн обсуждает подход к рассмотрению только "натуральные виды "как проецируемые предикаты.[14]Сначала он связывает ужасный парадокс Гудмана с Hempel с парадокс ворона путем определения двух предикатов F и г быть (одновременно) проецируемым, если все их общие экземпляры засчитываются для подтверждения утверждения "каждый F это г".[15] Тогда парадокс Хемпеля просто показывает, что дополнения проецируемых предикатов (таких как «является ворон» и «является черным») не обязательно должны быть проецируемыми,[примечание 8] в то время как парадокс Гудмана показывает, что "зеленый" проецируем, а "грубо" - нет.

Далее, Куайн сводит проецируемость к субъективному понятию сходство. Два зеленых изумруда обычно считаются более похожими, чем два серых, если только один из них зеленый. Наблюдение за зеленым изумрудом заставляет нас ожидать аналогичного наблюдения (то есть зеленого изумруда) в следующий раз. Зеленые изумруды - это естественный вид, а вот серые изумруды - нет. Куайн исследует «сомнительную научную ценность общего понятия подобия или вида».[16] Оба являются базовыми для мышления и языка, как и логические понятия, например, идентичность, отрицание, дизъюнкция. Однако остается неясным, как связать логические понятия с сходство или своего рода;[примечание 9] Поэтому Куайн пытается связать по крайней мере два последних понятия друг с другом.

Контрпример Гудмана против определения «естественного вида», основанного на Карнапе
Неудачная попытка определить вид как набор всех объектов Икс которые больше похожи на объект "парадигма" п чем п к объекту "фольга", по аналогии с определением круг область в геометрии

Связь между подобием и добром

Предполагая конечное число виды только понятие сходство можно определить как своего рода: объект А больше похоже на B чем C если А и B принадлежат вместе к большему количеству видов[примечание 10] чем А и C делать.[17][примечание 11]

И наоборот, снова остается неясным, как определять своего рода от сходство. Определение, например, вид красных вещей как набор всех вещей, которые больше похожи на фиксированный «парадигматический» красный объект, чем на другой фиксированный «фольгированный» некрасный объект (см. левое изображение), не является удовлетворительным, поскольку степень общего сходства, включая, например, форма, вес мало что говорят о степени покраснения.[17] (На картинке желтый перец можно считать более похожим на красный, чем на оранжевый.)

Альтернативный подход, вдохновленный Карнап определяет естественный вид как набор чьи члены более похожи друг на друга, чем каждый нечлен по крайней мере на одного члена.[18][примечание 12]Однако Гудман[19] утверждал, что это определение сделало бы набор всех красных круглых вещей, красных деревянных предметов и круглых деревянных предметов (см. правый рисунок), отвечающим предложенному определению естественного вида,[примечание 13] в то время как «конечно, это не то, что кто-либо имеет в виду под видом».[примечание 14][20]

Хотя ни одно из понятий подобия и вида не может быть определено другим, они, по крайней мере, различаются вместе: если А переоценен, чтобы быть более похожим на C чем B а не наоборот, назначение А, B, C по видам будут переставлены соответственно; и наоборот.[20]

Основное значение сходства и вида

В языке каждый общий термин обязан своей общностью некоторому сходству вещей. сослался к. Обучение использование слова зависит от двойного сходства, а именно. между настоящими и прошлыми обстоятельствами, в которых использовалось это слово, и между настоящими и прошлыми фонетическими произнесениями слова.[21]

Каждое разумное ожидание зависит от сходства обстоятельств, а также от нашей склонности ожидать, что аналогичные причины будут иметь аналогичные последствия.[16] Это включает в себя любой научный эксперимент, поскольку он может быть воспроизведен только при аналогичных, но не полностью идентичных обстоятельствах. Уже Гераклит Знаменитая поговорка «Ни один человек никогда не ступит в одну и ту же реку дважды» подчеркнула различие между одинаковыми и идентичными обстоятельствами.

Генезис подобия и доброты

В поведенческий В смысле, люди и другие животные обладают врожденным стандартом сходства. Это часть нашего животного права по рождению, и для животных характерно отсутствие интеллектуального статуса, например его чуждость математике и логике,[25] ср. пример птицы.

Формирование привычки

Сама по себе индукция ожидание животных или формирование привычки. Показательное обучение[26] это случай индукции, и он на удивление удобен, поскольку разброс качеств и доброты каждого человека достаточно похож на его соседа.[27] Напротив, «грубая иррациональность нашего чувства сходства» дает мало оснований ожидать, что оно каким-то образом созвучно неодушевленной природе, чего мы никогда не создавали.[примечание 15] Почему следует доверять индуктивно полученным теориям об этом - это извечный философский проблема индукции. Куайн, следуя Ватанабэ,[28] предлагает Дарвин теория в качестве объяснения: если врожденное расстояние между качествами людей является генетически связанным признаком, то интервал, который обеспечивал наиболее успешные индукции, будет иметь тенденцию преобладать через естественный отбор.[29] Однако это не может объяснить способность человека динамически уточнять свой набор качеств в процессе знакомства с новой областью.[примечание 16]

Подобные предикаты используются в философском анализе

Quus

В его книге Витгенштейн о правилах и частном языке, Саул Крипке предложил связанный аргумент, который ведет к скептицизму по поводу смысла, а не к скептицизму по поводу индукции, как часть его личной интерпретации (по прозвищу "Крипкенштейн "некоторыми[30]) из аргумент частного языка. Он предложил новую форму сложения, которую назвал Quus, который идентичен "+" во всех случаях, за исключением тех, в которых любое из добавленных чисел равно или больше 57; в этом случае ответ будет 5, то есть:

Затем он спрашивает, как при определенных очевидных обстоятельствах кто-либо мог знать, что раньше, когда я думал, что имел в виду "+", я на самом деле не имел в виду Quus. Крипке затем приводит доводы в пользу интерпретации Витгенштейн как утверждающий, что значения слов не содержат индивидуально ментальных сущностей.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Исторически Гудман использовал "День Победы " и "определенное время t" в Запрос на подтверждение (стр. 383) и Факт, вымысел и прогноз (3-е изд. 1973 г., стр. 73) соответственно.
  2. ^ п. 138; позже с. 143f, он использует другой вариант, c*(час,е), для которой он дает формулу для вычисления фактических значений; отличается от Лапласа Правило преемственности. См. Книгу Карнапа Исследования по индуктивной логике и вероятности, Том 1. University of California Press, 1971, для более подробной информации, в частности, в разделе IV.16 для c, и приложение A.1 для c*.
  3. ^ Например, если а и б были частью общего, то "а тепло и б не тепло "было бы невозможным сочетанием.
  4. ^ Например, «это ворон» и «это птица» не могут быть одновременно допустимыми предикатами, поскольку первое исключает отрицание второго. Другой пример: «теплый» и «теплее, чем» оба не могут быть предикатами, поскольку »а тепло и б теплее чем а и б не тепло »- невозможное сочетание.
  5. ^ Карнап утверждает (стр. 135), что логическая независимость необходима также и для дедуктивной логики, чтобы множество аналитические предложения быть разрешимым.
  6. ^ «... довести до конца анализ [сложных предикатов на более простые компоненты]», с. 137.
  7. ^ Карнап не рассматривает предикаты, которые взаимно определяются друг другом, что приводит к Предварительный заказ.
  8. ^ Наблюдение за черным вороном считается подтверждением утверждения «все вороны черные», в то время как логически эквивалентный утверждение, что «все не-черные существа - не вороны», не считается подтвержденным путем наблюдения, например, зеленый лист.
  9. ^ Определение двух вещей как похожих, если они имеют все, или большинство, или много общих свойств, не имеет смысла, если свойства, такие как математические наборы Возьмите вещи во всех возможных комбинациях. Куайн (1970), стр. 43. Предполагая конечную вселенную п вещи, любые два из них принадлежат ровно 2п-2 наборов, и поделитесь ровно этим количеством экстенсиональный свойства. Ватанабэ назвал это "Теорема о гадком утенке ".)
  10. ^ Вместо произвольных наборов
  11. ^ Куайнс использует это тернарное отношение, чтобы допустить разные уровни сходства, например, красные вещи могут быть больше похожи друг на друга, чем просто цветные.
  12. ^ Формально: Набор K вид, если ∀Y ∉ K. ∃ Икс1 ∈ K. ∀ Икс2 ∈ K. (Икс1 больше похоже на Икс2 чем Y).
  13. ^ Каждый член набора похож на другого члена, будучи красным, или круглым, или деревянным, или даже несколькими из этих свойств.
  14. ^ Набор содержит, например, желтый крокет мячи и красные резиновые мячи, но не желтые резиновые мячи.
  15. ^ Куайн, кажется, намекает на Вико принцип истинного факта здесь.
  16. ^ Продемонстрировано психологическими экспериментами, например. о классификации ранее невиданных искусственные объекты

использованная литература

  1. ^ Нельсон Гудман (июль 1946 г.). «Запрос на подтверждение» (PDF). Журнал Философии. 43 (14): 383–385. Дои:10.2307/2020332. JSTOR  2020332.
  2. ^ а б Нельсон Гудман (1983). Факт, вымысел и прогноз. Издательство Гарвардского университета. п. 74. ISBN  978-0-674-29071-6. Получено 8 марта 2012.
  3. ^ Залта, Эдуард Н., изд. (26 апреля, 2017). "Нельсон Гудман". Стэнфордская энциклопедия философии.
  4. ^ Питер Годфри-Смит (2003). Теория и реальность. Издательство Чикагского университета. п. 53. ISBN  978-0-226-30063-4. Получено 23 октября 2012.
  5. ^ Гудман, стр. 79.
  6. ^ Р. Дж. Суинберн, «Гру», Анализ, Том. 28, № 4 (март 1968 г.), стр. 123–128.
  7. ^ Рудольф Карнап (1947). «О применении индуктивной логики» (PDF). Философия и феноменологические исследования. 8 (1): 133–148. Дои:10.2307/2102920. JSTOR  2102920. Архивировано из оригинал (PDF) на 20.09.2006. Получено 2014-01-27. Здесь: стр. 139.
  8. ^ Карнап (1947), стр. 134.
  9. ^ Это можно рассматривать как соответствующее Витгенштейн с Tractatus, №1.11.
  10. ^ ср. Tractatus №1.21
  11. ^ Карнап (1947), стр. 136.
  12. ^ Карнап (1947), стр. 138.
  13. ^ Карнап (1947), стр. 146.
  14. ^ Уиллард Ван Орман Куайн (1970). «Натуральные виды» (PDF). У Николая Решера; и другие. (ред.). Очерки в честь Карла Г. Хемпеля. Дордрехт: Д. Рейдел. С. 41–56. Печатается на: Куайн, В. В. (1969). «Натуральные виды». Онтологическая теория относительности и другие очерки. Нью-Йорк: издательство Колумбийского университета. п. 114.
  15. ^ Куайн (1970), стр. 41 год
  16. ^ а б Куайн (1970), стр. 42.
  17. ^ а б Куайн (1970), стр. 44
  18. ^ Куайн (1970), стр. 44–45.
  19. ^ Нельсон Гудман (1951). Структура внешнего вида. Здесь: стр. 163f.
  20. ^ а б Куайн (1970), стр. 45.
  21. ^ Куайн (1970), стр. 42, 45–48.
  22. ^ Дональд Д. Хоффман (1998). Визуальный интеллект. Как мы создаем то, что видим. Нью-Йорк: Нортон. здесь: Глава 1.
  23. ^ Тинберген, Н. (1951). Изучение инстинкта. Кларендон. здесь: Глава IV
  24. ^ Тинберген, Н. (март 1948 г.). «Социальные релизеры и экспериментальный метод, необходимый для их изучения» (PDF). Уилсон Булл. 60 (1): 6–52. п. 34, Рис. 21C.
  25. ^ Куайн (1970), стр. 46.
  26. ^ Более подробно исследовано в Уиллард Ван Орман Куайн (1974). Истоки ссылок. Ла Саль, Иллинойс: Open Court Publishing Co. Разд. 11.
  27. ^ Куайн (1970), стр. 47.
  28. ^ Сатоси Ватанабэ (1965). "Une Explication Mathématique du Classement d'Objets". В Станислав I. Доккс; Пол Бернейс (ред.). Информация и прогнозирование в науке. Нью-Йорк: Academic Press.С. 39–76. LCCN  64-24655. OCLC  522269. Здесь: стр. 41.
  29. ^ Куайн (1970), стр. 48.
  30. ^ Джон П. Берджесс, Гидеон Розен (1999). Субъект без объекта: стратегии номиналистической интерпретации математики, п. 53. ISBN  978-0-19-825012-8.

дальнейшее чтение

  • Гудман, Нельсон (1955). Факт, вымысел и прогноз. Кембридж, Массачусетс: Гарвардский университет, 1955. 2-е издание, Индианаполис: Боббс-Меррилл, 1965. 3-е. издание Индианаполис: Боббс-Меррилл, 1973. 4-е издание, Кембридж, Массачусетс: Гарвардский университет, 1983.
  • Крипке, Саул (1982). Витгенштейн о правилах и частном языке. Издательство Бэзила Блэквелла. ISBN  0-631-13521-9.
  • Вольперт, Дэвид (1996). «Отсутствие априорных различий между алгоритмами обучения». Нейронные вычисления. 8 (7): 1341–1390. Дои:10.1162 / neco.1996.8.7.1341.
  • Сталкер, Дуглас (1994). Гру! Новая загадка индукции. Издательство Open Court. ISBN  0-8126-9218-7.
  • Франчески, Пол, Одно решение для парадокса Гудмана, Диалог, том 40, 2001, стр. 99–123, английский перевод.
  • Элгин, Екатерина, изд. (1997). Философия Нельсона Гудмана: Избранные очерки. Vol. 2, Новая загадка индукции Нельсона Гудмана. Нью-Йорк: Гарленд. ISBN  0-8153-2610-6.
  • Оригинальное определение grue от Гудмана