Усеченные 24 ячейки - Википедия - Truncated 24-cells

24-элементный	Усеченный 24-элементный	Урезанный 24-элементный
Диаграммы Шлегеля с центром в одном [3,4] (клетки в противоположных точках в [4,3])

В геометрия, а усеченный 24-элементный это равномерный 4-многогранник (4-х мерная униформа многогранник ) образовалась как усечение регулярного 24-элементный.

Есть две степени усечения, включая битовое усечение.

Усеченный 24-элементный

Диаграмма Шлегеля
Усеченный 24-элементный
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символы Шлефли	т {3,4,3} tr {3,3,4} = ${ displaystyle t left {{ begin {array} {l} 3 3,4 end {array}} right }}$ т {3^1,1,1} = ${ displaystyle t left {{ begin {array} {l} 3 3 3 end {array}} right }}$
Диаграмма Кокстера
Клетки	48	24 4.6.6 24 4.4.4
Лица	240	144 {4} 96 {6}
Края	384
Вершины	192
Фигура вершины	равносторонняя треугольная пирамида
Группа симметрии	F₄ [3,4,3], заказ 1152
Подгруппа вращения	[3,4,3]⁺, заказ 576
Подгруппа коммутатора	[3⁺,4,3⁺], заказ 288
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	23 24 25

В усеченный 24-элементный или же усеченный икозитетрахорон - равномерный 4-мерный многогранник (или равномерный 4-многогранник ), что ограничено 48 клетки: 24 кубики, и 24 усеченные октаэдры. Каждая вершина соединяет три усеченных октаэдра и один куб в равностороннюю треугольную пирамиду. вершина фигуры.

Строительство

В усеченный 24-элементный можно построить из многогранников с тремя группами симметрии:

F₄ [3,4,3]: A усечение из 24-элементный.
B₄ [3,3,4]: A усечение из 16 ячеек, с двумя семействами усеченных октаэдрических ячеек.
D₄ [3^1,1,1]: An омниусечение из demitesseract, с тремя семействами усеченных октаэдрических ячеек.

Группа Кокстера	${ displaystyle {F} _ {4}}$ = [3,4,3]	${ displaystyle {C} _ {4}}$ = [4,3,3]	${ displaystyle {D} _ {4}}$ = [3,3^1,1]
Символ Шлефли	т {3,4,3}	tr {3,3,4}	т {3^1,1,1}
Заказ	1152	384	192
Полный симметрия группа	[3,4,3]	[4,3,3]	<[3,3^1,1]> = [4,3,3] [3[3^1,1,1]] = [3,4,3]
Диаграмма Кокстера
Грани	3: 1:	2: 1: 1:	1,1,1: 1:
Фигура вершины

Зонотоп

Это также зонотоп: он может быть сформирован как Сумма Минковского шести отрезков прямых, соединяющих противоположные пары среди двенадцати перестановок вектора (+ 1, −1,0,0).

Декартовы координаты

В Декартовы координаты вершин усеченной 24-ячейки с длиной ребра sqrt (2) являются перестановками координат и комбинациями знаков:

(0,1,2,3) [4!×2³ = 192 вершины]

Двойственная конфигурация имеет координаты при всех перестановках координат и знаки

(1,1,1,5) [4×2⁴ = 64 вершины]

(1,3,3,3) [4×2⁴ = 64 вершины]

(2,2,2,4) [4×2⁴ = 64 вершины]

Структура

24 кубических ячейки соединены своими квадратными гранями с усеченными октаэдрами; и 24 усеченных октаэдра соединены друг с другом своими шестиугольными гранями.

Прогнозы

Параллельная проекция усеченной 24-ячейки в 3-мерное пространство, сначала усеченный октаэдр, имеет следующую схему:

Конверт проекции - это усеченный кубооктаэдр.
Два усеченных октаэдра выступают на усеченный октаэдр, лежащий в центре оболочки.
Шесть кубовидных объемов соединяют квадратные грани этого центрального усеченного октаэдра с центром восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра. Это изображения 12 кубических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.
12 квадратных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями остальных 12 кубов.
Шесть восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями шести усеченных октаэдров.
8 (неоднородных) усеченных октаэдров, лежащих между шестиугольными гранями оболочки проекции и центральным усеченным октаэдром, являются изображениями остальных 16 усеченных октаэдров, пары ячеек для каждого изображения.

Изображений

орфографические проекции
Самолет Кокстера	F₄
График
Двугранная симметрия	[12]
Самолет Кокстера	B₃ / А₂ (а)	B₃ / А₂ (б)
График
Двугранная симметрия	[6]	[6]
Самолет Кокстера	B₄	B₂ / А₃
График
Двугранная симметрия	[8]	[4]

Диаграмма Шлегеля (кубический ячейки видны)	Диаграмма Шлегеля Видны 8 из 24 усеченных октаэдрических ячеек
Стереографическая проекция Сосредоточено на усеченный тетраэдр

Сети
Усеченный 24-элементный	Двойной на усеченный 24-элементный

Связанные многогранники

Выпуклая оболочка усеченной 24-клеточной и двойственной ей (в предположении, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 480 клеток: 48 кубики, 144 квадратные антипризмы, 288 тетраэдры (как тетрагональные дифеноиды) и 384 вершины. Его вершинная фигура - гексакис треугольный купол.

Фигура вершины

Урезанный 24-элементный

Урезанный 24-элементный
Диаграмма Шлегеля с центром на усеченном кубе, чередующиеся ячейки скрыты
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	2т {3,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	48 (3.8.8)
Лица	336	192 {3} 144 {8}
Края	576
Вершины	288
Край фигура	3.8.8
Фигура вершины	тетрагональный дисфеноид
двойственный многогранник	Дисфеноидальный 288-элементный
Группа симметрии	Aut (F₄), [[3,4,3]], заказ 2304
Характеристики	выпуклый, изогональный, изотоксальный, изохорный
Единый индекс	26 27 28

Сеть

В усеченный битами 24 ячейки. 48 ячеек, или же тетраконтоктахорон является 4-мерной однородной многогранник (или же равномерный 4-многогранник ) полученный из 24-элементный.

Э. Л. Элте идентифицировал его в 1912 г. как полуправильный многогранник.

Он построен усечение битов 24 ячейки (усечение на полпути до глубины, которая даст двойной 24-ячеечная).

Будучи равномерным 4-многогранником, он вершинно-транзитивный. Кроме того, это клеточно-транзитивный, состоящий из 48 усеченные кубики, а также реберно-транзитивный, с 3 усеченные кубики ячеек на ребро и с одним треугольником и двумя восьмиугольниками по каждому краю.

48 ячеек усеченных битами 24 ячеек соответствуют 24 ячейкам и 24 вершинам 24 ячеек. Таким образом, центры 48 ячеек образуют корневая система типа F₄.

Его вершина - фигура тетрагональный дисфеноид, тетраэдр с двумя противоположными ребрами длиной 1 и всеми четырьмя боковыми ребрами длиной √ (2 + √2).

Альтернативные названия

24-ячеечная обрезка (Норман В. Джонсон )
48 ячеек как клеточно-транзитивный 4-многогранник
Bitruncated icositetrachoron
Битроусеченный полиоктаэдр
Тетраконтаоктахорон (продолжение) (Джонатан Бауэрс)

Структура

Усеченные кубы соединены друг с другом своими восьмиугольными гранями в анти ориентация; я. е., два смежных усеченных куба повернуты на 45 градусов друг относительно друга, так что никакие две треугольные грани не имеют общего ребра.

Последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными восьмиугольными гранями, образует цикл из 8. Каждый усеченный куб принадлежит 3 таким циклам. С другой стороны, последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными треугольными гранями, образует цикл из 6. Каждый усеченный куб принадлежит 4 таким циклам.

Видно в матрица конфигурации, показаны все числа случаев между элементами. Диагональ f-вектор числа выводятся через Строительство Wythoff, разделяя полный порядок групп в порядке подгрупп, удаляя по одному зеркалу за раз. Края существуют в 4 положениях симметрии. Квадраты существуют в 3 позициях, шестиугольники - в двух и восьмиугольники - в одной. Наконец, существуют 4 типа ячеек с центрами в 4 углах основного симплекса.^[1]

F₄	k-лицо	ж_k	ж₀	ж₁		ж₂			ж₃		k-фигура	Примечания
А₁А₁	( )	ж₀	288	2	2	1	4	1	2	2	с {2,4}	F₄/ А₁А₁ = 288
	{ }	ж₁	2	288	*	1	2	0	2	1	{} v ()
	{ }	ж₁	2	*	288	0	2	1	1	2	{} v ()
А₂А₁	{3}	ж₂	3	3	0	96	*	*	2	0	{ }	F₄/ А₂А₁ = 1152/6/2 = 96
B₂	т {4}		8	4	4	*	144	*	1	1		F₄/ B₂ = 1152/8 = 144
А₂А₁	{3}		3	0	3	*	*	96	0	2		F₄/ А₂А₁ = 1152/6/2 = 96
B₃	т {4,3}	ж₃	24	24	12	8	6	0	24	*	( )	F₄/ B₃ = 1152/48 = 24
B₃	т {4,3}	ж₃	24	12	24	0	6	8	*	24	( )	F₄/ B₃ = 1152/48 = 24

Координаты

В Декартовы координаты усеченной битовой ячейки 24-ячеек с длиной ребра 2 - это все перестановки координат и знака:

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)

(1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)

Прогнозы

Проекция в 2 измерения

орфографические проекции
Самолет Кокстера	F₄	B₄
График
Двугранная симметрия	[[12]] = [24]	[8]
Самолет Кокстера	B₃ / А₂	B₂ / А₃
График
Двугранная симметрия	[6]	[[4]] = [8]

Проекция в 3 измерения

Орфографический	Перспектива
Следующая анимация показывает ортогональную проекцию усеченных битами 24-ячеек в 3 измерениях. Сама анимация представляет собой перспективную проекцию из статического 3D-изображения в 2D, с добавленным вращением, чтобы сделать его структуру более очевидной. Образы 48 усеченных кубов выложены следующим образом: Центральный усеченный куб - это ячейка, ближайшая к точке обзора 4D, выделенная для облегчения просмотра. Чтобы уменьшить визуальный беспорядок, вершины и ребра, лежащие на этом центральном усеченном кубе, были опущены. Этот центральный усеченный куб окружают 6 усеченных кубов, прикрепленных через восьмиугольные грани, и 8 усеченных кубов, прикрепленных через треугольные грани. Эти ячейки сделаны прозрачными, так что центральная ячейка видна. 6 внешних квадратных граней оболочки проекции являются изображениями еще 6 усеченных кубов, а 12 продолговатых восьмиугольных граней оболочки проекции являются изображениями еще 12 усеченных кубов. Остальные ячейки были отбракованы, потому что они лежат на дальней стороне усеченных битом 24-ячеек и не видны с точки зрения 4D. К ним относятся усеченный противоположный куб, который проецировался бы в тот же объем, что и выделенный усеченный куб, с 6 другими усеченными кубами, окружающими его, прикрепленными через восьмиугольные грани, и 8 других усеченных кубов, окружающих его, прикрепленных через треугольные грани.	Следующая анимация показывает перспективную проекцию усеченных битом 24-ячеек в 3-х измерениях. Его структура такая же, как и у предыдущей анимации, за исключением того, что есть ракурс за счет перспективной проекции.

Стереографическая проекция

Связанный правильный косой многогранник

В правильный косой многогранник, {8,4 | 3}, существует в 4-мерном пространстве с четырьмя восьмиугольниками вокруг каждой вершины в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти восьмиугольные грани можно увидеть на усеченных битами 24 ячейках, использующих все 576 ребер и 288 вершин. 192 треугольных грани усеченных битом 24-ячеек можно увидеть как удаленные. Двойственный правильный косой многогранник, {4,8 | 3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями многогранника. беглый 24-элементный.

Дисфеноидальный 288-элементный

Дисфеноидальный 288-элементный
Тип	идеально^[2] полихорон
Символ	ж_1,2F₄^[2] (1,0,0,0)_F₄ ⊕ (0,0,0,1)_F₄^[3]
Coxeter
Клетки	288 конгруэнтных тетрагональные дифеноиды
Лица	576 конгруэнтных равнобедренный (2 коротких края)
Края	336	192 длины ${ displaystyle scriptstyle 1}$ 144 длины ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}$
Вершины	48
Фигура вершины	(Октаэдр Триаки )
Двойной	Урезанный 24-элементный
Группа Кокстера	Aut (F₄), [[3,4,3]], заказ 2304
Вектор орбиты	(1, 2, 1, 1)
Характеристики	выпуклый, изохорный

В дисфеноидальный 288-элементный это двойной из усеченный битами 24 ячейки. Это 4-х мерный многогранник (или же полихорон ) полученный из 24-элементный. Он создается путем удвоения и вращения 24-элементной ячейки, а затем построения выпуклый корпус.

Являясь двойником однородного полихорона, он клеточно-транзитивный, состоящий из 288 конгруэнтных тетрагональные дифеноиды. Кроме того, это вершинно-транзитивный под группой Aut (F₄).^[3]

Изображений

Ортогональные проекции
Самолеты Кокстера	B₂	B₃	F₄
Дисфеноидальный 288 ячеек
Bitruncated 24-элементный

Геометрия

Вершинами 288-ячеек в точности являются 24 Кватернионы единиц Гурвица с нормой в квадрате 1, объединенной с 24 вершинами двойственной 24-ячейки с нормой в квадрате 2, спроецированной на единицу 3-сфера. Эти 48 вершин соответствуют бинарная октаэдрическая группа, <2,3,4>, заказ 48.

Таким образом, 288-ячейка - единственный нерегулярный 4-многогранник, который является выпуклой оболочкой кватернионной группы, не считая бесконечного множества дициклический (такие же, как бинарные диэдральные) группы; обычные - это 24-элементный (≘ 2Т, <2,3,3>, порядок 24) и 120 ячеек (≘ 2I, <2,3,5>, заказ 120). (The 16 ячеек соответствует бинарная группа диэдра 2D₂, <2,2,2>, порядок 16.)

Вписанная 3-сфера имеет радиус 1/2 +√2/ 4 ≈ 0,853553 и касается 288-ячеек в центрах 288 тетраэдров, которые являются вершинами двойных усеченных битами 24-ячеек.

Вершины могут быть окрашен в 2 цвета, скажем, красный и желтый, с 24 единицами Hurwitz красным и 24 двойными желтыми, желтый 24-элементный конгруэнтно красному. Таким образом, продукт 2 одинаково окрашенных кватернионов красный, а продукт 2 смешанных цветов - желтый.

Имеется 192 длинных ребра длиной 1, соединяющих одинаковые цвета, и 144 коротких ребра длины. √2–√2 ≈ 0,765367 соединяющих смешанных цветов. 192 * 2/48 = 8 длинных и 144 * 2/48 = 6 коротких, то есть вместе 14 ребер пересекаются в любой вершине.

576 лиц равнобедренный с 1 длинным и 2 короткими краями, все совпадающие. Углы в основании - arccos (√4+√8/ 4) ≈ 49,210 °. 576 * 3/48 = 36 граней пересекаются в вершине, 576 * 1/192 = 3 на длинном крае и 576 * 2/144 = 8 на коротком.

288 ячеек представляют собой тетраэдры с 4 короткими ребрами и 2 противоположными и перпендикулярными длинными ребрами, одна из которых соединяет 2 красные, а другие 2 желтые вершины. Все клетки конгруэнтны. 288 * 4/48 = 24 клетки встречаются в вершине. 288 * 2/192 = 3 ячейки встречаются на длинном крае, 288 * 4/144 = 8 - на коротком. 288 * 4/576 = 2 ячейки встречаются в треугольнике.

Область, край	Слой	Широта	красный	желтый
Северное полушарие	3	1	1	0
	2	√2/2	0	6
	1	1/2	8	0
Экватор	0	0	6	12
Южное полушарие	–1	–1/2	8	0
	–2	–√2/2	0	6
	–3	–1	1	0
	Общий		24	24

Поместив фиксированную красную вершину на северном полюсе (1,0,0,0), мы получим 6 желтых вершин на следующей более глубокой «широте» в (√2/ 2, x, y, z), за которым следуют 8 красных вершин по широте в точке (1/2, x, y, z). Следующая более глубокая широта - это гиперплоскость экватора, пересекающая 3-сферу в 2-сфере, которая населена 6 красными и 12 желтыми вершинами.

Слой 2 - это 2-сфера, описывающая правильный октаэдр, ребра которого имеют длину 1. Тетраэдр с вершинным северным полюсом имеет 1 из этих ребер в виде длинного ребра, две вершины которого соединены короткими ребрами с северным полюсом. Еще один длинный край идет от северного полюса в слой 1 и 2 коротких края оттуда в слой 2.

Связанные многогранники

D₄ однородная полихора


{3,3^1,1} ч {4,3,3}	2r {3,3^1,1} час₃{4,3,3}	т {3,3^1,1} час₂{4,3,3}	2т {3,3^1,1} час_2,3{4,3,3}	г {3,3^1,1} {3^1,1,1}={3,4,3}	рр {3,3^1,1} г {3^1,1,1} = г {3,4,3}	tr {3,3^1,1} т {3^1,1,1} = t {3,4,3}	sr {3,3^1,1} с {3^1,1,1} = s {3,4,3}

B₄ семейство однородных многогранников:

Многогранники симметрии B4
Имя	тессеракт	исправленный тессеракт	усеченный тессеракт	скошенный тессеракт	разбитый тессеракт	усеченный битами тессеракт	усеченный тессеракт	runcitruncated тессеракт	всесторонне усеченный тессеракт
Coxeter диаграмма		=				=
Schläfli символ	{4,3,3}	т₁{4,3,3} г {4,3,3}	т_0,1{4,3,3} т {4,3,3}	т_0,2{4,3,3} рр {4,3,3}	т_0,3{4,3,3}	т_1,2{4,3,3} 2т {4,3,3}	т_0,1,2{4,3,3} tr {4,3,3}	т_0,1,3{4,3,3}	т_0,1,2,3{4,3,3}
Шлегель диаграмма
B₄

Имя	16 ячеек	исправленный 16 ячеек	усеченный 16 ячеек	скошенный 16 ячеек	разбитый 16 ячеек	усеченный битами 16 ячеек	усеченный 16 ячеек	runcitruncated 16 ячеек	всесторонне усеченный 16 ячеек
Coxeter диаграмма	=	=	=	=		=	=
Schläfli символ	{3,3,4}	т₁{3,3,4} г {3,3,4}	т_0,1{3,3,4} т {3,3,4}	т_0,2{3,3,4} рр {3,3,4}	т_0,3{3,3,4}	т_1,2{3,3,4} 2т {3,3,4}	т_0,1,2{3,3,4} tr {3,3,4}	т_0,1,3{3,3,4}	т_0,1,2,3{3,3,4}
Шлегель диаграмма
B₄

F₄ семейство однородных многогранников:

24-элементные семейные многогранники
Имя	24-элементный	усеченный 24-элементный	курносый 24-элементный	выпрямленный 24-элементный	наклонный 24-элементный	усеченный битами 24 ячейки	усеченный 24-элементный	беглый 24-элементный	усеченный 24-элементный	комплексно усеченные 24 ячейки
Schläfli символ	{3,4,3}	т_0,1{3,4,3} т {3,4,3}	с {3,4,3}	т₁{3,4,3} г {3,4,3}	т_0,2{3,4,3} рр {3,4,3}	т_1,2{3,4,3} 2т {3,4,3}	т_0,1,2{3,4,3} tr {3,4,3}	т_0,3{3,4,3}	т_0,1,3{3,4,3}	т_0,1,2,3{3,4,3}
Coxeter диаграмма
Шлегель диаграмма
F₄
B₄
B₃(а)
B₃(б)
B₂