Усеченные 24 ячейки - Википедия - Truncated 24-cells

Schlegel wireframe 24-cell.png
24-элементный
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Шлегель полутвердый усеченный 24-cell.png
Усеченный 24-элементный
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Bitruncated 24-элементный Schlegel halfsolid.png
Урезанный 24-элементный
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Диаграммы Шлегеля с центром в одном [3,4] (клетки в противоположных точках в [4,3])

В геометрия, а усеченный 24-элементный это равномерный 4-многогранник (4-х мерная униформа многогранник ) образовалась как усечение регулярного 24-элементный.

Есть две степени усечения, включая битовое усечение.

Усеченный 24-элементный

Шлегель полутвердый усеченный 24-cell.png
Диаграмма Шлегеля
Усеченный 24-элементный
ТипРавномерный 4-многогранник
Символы Шлефлит {3,4,3}
tr {3,3,4} =
т {31,1,1} =
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png
Клетки4824 4.6.6 Усеченный октаэдр.png
24 4.4.4 Hexahedron.png
Лица240144 {4}
96 {6}
Края384
Вершины192
Фигура вершиныУсеченный 24-элементный verf.png
равносторонняя треугольная пирамида
Группа симметрииF4 [3,4,3], заказ 1152
Подгруппа вращения[3,4,3]+, заказ 576
Подгруппа коммутатора[3+,4,3+], заказ 288
Характеристикивыпуклый
Единый индекс23 24 25

В усеченный 24-элементный или же усеченный икозитетрахорон - равномерный 4-мерный многогранник (или равномерный 4-многогранник ), что ограничено 48 клетки: 24 кубики, и 24 усеченные октаэдры. Каждая вершина соединяет три усеченных октаэдра и один куб в равностороннюю треугольную пирамиду. вершина фигуры.

Строительство

В усеченный 24-элементный можно построить из многогранников с тремя группами симметрии:

Группа Кокстера = [3,4,3] = [4,3,3] = [3,31,1]
Символ Шлефлит {3,4,3}tr {3,3,4}т {31,1,1}
Заказ1152384192
Полный
симметрия
группа
[3,4,3][4,3,3]<[3,31,1]> = [4,3,3]
[3[31,1,1]] = [3,4,3]
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png
Грани3: CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
1: CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2: CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
1: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
1: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
1,1,1: CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
1: CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Фигура вершиныУсеченный 24-элементный verf.pngCantitruncated 16-cell verf.pngУсеченный demitesseract verf.png

Зонотоп

Это также зонотоп: он может быть сформирован как Сумма Минковского шести отрезков прямых, соединяющих противоположные пары среди двенадцати перестановок вектора (+ 1, −1,0,0).

Декартовы координаты

В Декартовы координаты вершин усеченной 24-ячейки с длиной ребра sqrt (2) являются перестановками координат и комбинациями знаков:

(0,1,2,3) [4!×23 = 192 вершины]

Двойственная конфигурация имеет координаты при всех перестановках координат и знаки

(1,1,1,5) [4×24 = 64 вершины]
(1,3,3,3) [4×24 = 64 вершины]
(2,2,2,4) [4×24 = 64 вершины]

Структура

24 кубических ячейки соединены своими квадратными гранями с усеченными октаэдрами; и 24 усеченных октаэдра соединены друг с другом своими шестиугольными гранями.

Прогнозы

Параллельная проекция усеченной 24-ячейки в 3-мерное пространство, сначала усеченный октаэдр, имеет следующую схему:

  • Конверт проекции - это усеченный кубооктаэдр.
  • Два усеченных октаэдра выступают на усеченный октаэдр, лежащий в центре оболочки.
  • Шесть кубовидных объемов соединяют квадратные грани этого центрального усеченного октаэдра с центром восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра. Это изображения 12 кубических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.
  • 12 квадратных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями остальных 12 кубов.
  • Шесть восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями шести усеченных октаэдров.
  • 8 (неоднородных) усеченных октаэдров, лежащих между шестиугольными гранями оболочки проекции и центральным усеченным октаэдром, являются изображениями остальных 16 усеченных октаэдров, пары ячеек для каждого изображения.

Изображений

орфографические проекции
Самолет КокстераF4
График24-элементный t01 F4.svg
Двугранная симметрия[12]
Самолет КокстераB3 / А2 (а)B3 / А2 (б)
График24-элементный t01 B3.svg24-элементный t23 B3.svg
Двугранная симметрия[6][6]
Самолет КокстераB4B2 / А3
График4-кубик t123.svg24-элементный t01 B2.svg
Двугранная симметрия[8][4]
Шлегель полутвердый усеченный 24-cell.png
Диаграмма Шлегеля
(кубический ячейки видны)
Schlegel полутвердый cantitruncated 16-cell.png
Диаграмма Шлегеля
Видны 8 из 24 усеченных октаэдрических ячеек
Усеченный ксилотетрон stereographic oblique.png
Стереографическая проекция
Сосредоточено на усеченный тетраэдр
Сети
Усеченный 24-cell net.png
Усеченный 24-элементный
Dual tico net.png
Двойной на усеченный 24-элементный

Связанные многогранники

Выпуклая оболочка усеченной 24-клеточной и двойственной ей (в предположении, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 480 клеток: 48 кубики, 144 квадратные антипризмы, 288 тетраэдры (как тетрагональные дифеноиды) и 384 вершины. Его вершинная фигура - гексакис треугольный купол.

Bitruncatotetracontaoctachoron vertex figure.png
Фигура вершины

Урезанный 24-элементный

Урезанный 24-элементный
Bitruncated 24-элементный Schlegel halfsolid.png
Диаграмма Шлегеля с центром на усеченном кубе, чередующиеся ячейки скрыты
ТипРавномерный 4-многогранник
Символ Шлефли2т {3,4,3}
Диаграмма КокстераCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Клетки48 (3.8.8) Усеченный шестигранник.png
Лица336192 {3}
144 {8}
Края576
Вершины288
Край фигура3.8.8
Фигура вершиныBitruncated 24-х клеточная вершина figure.png
тетрагональный дисфеноид
двойственный многогранникДисфеноидальный 288-элементный
Группа симметрииAut (F4), [[3,4,3]], заказ 2304
Характеристикивыпуклый, изогональный, изотоксальный, изохорный
Единый индекс26 27 28

В усеченный битами 24 ячейки. 48 ячеек, или же тетраконтоктахорон является 4-мерной однородной многогранник (или же равномерный 4-многогранник ) полученный из 24-элементный.

Э. Л. Элте идентифицировал его в 1912 г. как полуправильный многогранник.

Он построен усечение битов 24 ячейки (усечение на полпути до глубины, которая даст двойной 24-ячеечная).

Будучи равномерным 4-многогранником, он вершинно-транзитивный. Кроме того, это клеточно-транзитивный, состоящий из 48 усеченные кубики, а также реберно-транзитивный, с 3 усеченные кубики ячеек на ребро и с одним треугольником и двумя восьмиугольниками по каждому краю.

48 ячеек усеченных битами 24 ячеек соответствуют 24 ячейкам и 24 вершинам 24 ячеек. Таким образом, центры 48 ячеек образуют корневая система типа F4.

Его вершина - фигура тетрагональный дисфеноид, тетраэдр с двумя противоположными ребрами длиной 1 и всеми четырьмя боковыми ребрами длиной √ (2 + √2).

Альтернативные названия

Структура

Усеченные кубы соединены друг с другом своими восьмиугольными гранями в анти ориентация; я. е., два смежных усеченных куба повернуты на 45 градусов друг относительно друга, так что никакие две треугольные грани не имеют общего ребра.

Последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными восьмиугольными гранями, образует цикл из 8. Каждый усеченный куб принадлежит 3 таким циклам. С другой стороны, последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными треугольными гранями, образует цикл из 6. Каждый усеченный куб принадлежит 4 таким циклам.

Видно в матрица конфигурации, показаны все числа случаев между элементами. Диагональ f-вектор числа выводятся через Строительство Wythoff, разделяя полный порядок групп в порядке подгрупп, удаляя по одному зеркалу за раз. Края существуют в 4 положениях симметрии. Квадраты существуют в 3 позициях, шестиугольники - в двух и восьмиугольники - в одной. Наконец, существуют 4 типа ячеек с центрами в 4 углах основного симплекса.[1]

F4CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngk-лицожkж0ж1ж2ж3k-фигураПримечания
А1А1CDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.png( )ж02882214122с {2,4}F4/ А1А1 = 288
CDel node x.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.png{ }ж12288*12021{} v ()
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.png2*28802112
А2А1CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.png{3}ж233096**20{ }F4/ А2А1 = 1152/6/2 = 96
B2CDel node x.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngт {4}844*144*11F4/ B2 = 1152/8 = 144
А2А1CDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png{3}303**9602F4/ А2А1 = 1152/6/2 = 96
B3CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngт {4,3}ж324241286024*( )F4/ B3 = 1152/48 = 24
CDel node x.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png241224068*24

Координаты

В Декартовы координаты усеченной битовой ячейки 24-ячеек с длиной ребра 2 - это все перестановки координат и знака:

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)
(1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)

Прогнозы

Проекция в 2 измерения

орфографические проекции
Самолет КокстераF4B4
График24-элементный t12 F4.svg24-элементный t12 B4.svg
Двугранная симметрия[[12]] = [24][8]
Самолет КокстераB3 / А2B2 / А3
График24-элементный t12 B3.svg24-элементный t12 B2.svg
Двугранная симметрия[6][[4]] = [8]

Проекция в 3 измерения

ОрфографическийПерспектива
Следующая анимация показывает ортогональную проекцию усеченных битами 24-ячеек в 3 измерениях. Сама анимация представляет собой перспективную проекцию из статического 3D-изображения в 2D, с добавленным вращением, чтобы сделать его структуру более очевидной.
Bitruncated-24cell-parallelproj-01.gif
Образы 48 усеченных кубов выложены следующим образом:
  • Центральный усеченный куб - это ячейка, ближайшая к точке обзора 4D, выделенная для облегчения просмотра. Чтобы уменьшить визуальный беспорядок, вершины и ребра, лежащие на этом центральном усеченном кубе, были опущены.
  • Этот центральный усеченный куб окружают 6 усеченных кубов, прикрепленных через восьмиугольные грани, и 8 усеченных кубов, прикрепленных через треугольные грани. Эти ячейки сделаны прозрачными, так что центральная ячейка видна.
  • 6 внешних квадратных граней оболочки проекции являются изображениями еще 6 усеченных кубов, а 12 продолговатых восьмиугольных граней оболочки проекции являются изображениями еще 12 усеченных кубов.
  • Остальные ячейки были отбракованы, потому что они лежат на дальней стороне усеченных битом 24-ячеек и не видны с точки зрения 4D. К ним относятся усеченный противоположный куб, который проецировался бы в тот же объем, что и выделенный усеченный куб, с 6 другими усеченными кубами, окружающими его, прикрепленными через восьмиугольные грани, и 8 других усеченных кубов, окружающих его, прикрепленных через треугольные грани.
Следующая анимация показывает перспективную проекцию усеченных битом 24-ячеек в 3-х измерениях. Его структура такая же, как и у предыдущей анимации, за исключением того, что есть ракурс за счет перспективной проекции.

Bitruncated 24cell перспектива 04.gif

Стереографическая проекция
Усеченный ксилотетрон стереографический крупный план.png

Связанный правильный косой многогранник

В правильный косой многогранник, {8,4 | 3}, существует в 4-мерном пространстве с четырьмя восьмиугольниками вокруг каждой вершины в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти восьмиугольные грани можно увидеть на усеченных битами 24 ячейках, использующих все 576 ребер и 288 вершин. 192 треугольных грани усеченных битом 24-ячеек можно увидеть как удаленные. Двойственный правильный косой многогранник, {4,8 | 3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями многогранника. беглый 24-элементный.

Дисфеноидальный 288-элементный

Дисфеноидальный 288-элементный
Типидеально[2] полихорон
Символж1,2F4[2]
(1,0,0,0)F4 ⊕ (0,0,0,1)F4[3]
CoxeterCDel node.pngCDel 3.pngУзел CDel f1.pngCDel 4.pngУзел CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
КлеткиДисфеноид тетраэдр.png
288 конгруэнтных тетрагональные дифеноиды
Лица576 конгруэнтных равнобедренный
(2 коротких края)
Края336192 длины
144 длины
Вершины48
Фигура вершиныДисфеноидальная вершина из 288 ячеек figure.png
(Октаэдр Триаки )
ДвойнойУрезанный 24-элементный
Группа КокстераAut (F4), [[3,4,3]], заказ 2304
Вектор орбиты(1, 2, 1, 1)
Характеристикивыпуклый, изохорный

В дисфеноидальный 288-элементный это двойной из усеченный битами 24 ячейки. Это 4-х мерный многогранник (или же полихорон ) полученный из 24-элементный. Он создается путем удвоения и вращения 24-элементной ячейки, а затем построения выпуклый корпус.

Являясь двойником однородного полихорона, он клеточно-транзитивный, состоящий из 288 конгруэнтных тетрагональные дифеноиды. Кроме того, это вершинно-транзитивный под группой Aut (F4).[3]

Изображений

Ортогональные проекции
Самолеты КокстераB2B3F4
Дисфеноидальный
288 ячеек
Двойной обрезанный 24-элементный B2-3.pngКорни F4 на 24-элементные дуалы. Svg
Bitruncated
24-элементный
24-элементный t12 B2.svg24-элементный t12 B3.svg24-элементный t12 F4.svg

Геометрия

Вершинами 288-ячеек в точности являются 24 Кватернионы единиц Гурвица с нормой в квадрате 1, объединенной с 24 вершинами двойственной 24-ячейки с нормой в квадрате 2, спроецированной на единицу 3-сфера. Эти 48 вершин соответствуют бинарная октаэдрическая группа, <2,3,4>, заказ 48.

Таким образом, 288-ячейка - единственный нерегулярный 4-многогранник, который является выпуклой оболочкой кватернионной группы, не считая бесконечного множества дициклический (такие же, как бинарные диэдральные) группы; обычные - это 24-элементный (≘ , <2,3,3>, порядок 24) и 120 ячеек (≘ 2I, <2,3,5>, заказ 120). (The 16 ячеек соответствует бинарная группа диэдра 2D2, <2,2,2>, порядок 16.)

Вписанная 3-сфера имеет радиус 1/2 +2/ 4 ≈ 0,853553 и касается 288-ячеек в центрах 288 тетраэдров, которые являются вершинами двойных усеченных битами 24-ячеек.

Вершины могут быть окрашен в 2 цвета, скажем, красный и желтый, с 24 единицами Hurwitz красным и 24 двойными желтыми, желтый 24-элементный конгруэнтно красному. Таким образом, продукт 2 одинаково окрашенных кватернионов красный, а продукт 2 смешанных цветов - желтый.

Имеется 192 длинных ребра длиной 1, соединяющих одинаковые цвета, и 144 коротких ребра длины. 2–2 ≈ 0,765367 соединяющих смешанных цветов. 192 * 2/48 = 8 длинных и 144 * 2/48 = 6 коротких, то есть вместе 14 ребер пересекаются в любой вершине.

576 лиц равнобедренный с 1 длинным и 2 короткими краями, все совпадающие. Углы в основании - arccos (4+8/ 4) ≈ 49,210 °. 576 * 3/48 = 36 граней пересекаются в вершине, 576 * 1/192 = 3 на длинном крае и 576 * 2/144 = 8 на коротком.

288 ячеек представляют собой тетраэдры с 4 короткими ребрами и 2 противоположными и перпендикулярными длинными ребрами, одна из которых соединяет 2 красные, а другие 2 желтые вершины. Все клетки конгруэнтны. 288 * 4/48 = 24 клетки встречаются в вершине. 288 * 2/192 = 3 ячейки встречаются на длинном крае, 288 * 4/144 = 8 - на коротком. 288 * 4/576 = 2 ячейки встречаются в треугольнике.

Область, крайСлойШиротакрасныйжелтый
Северное полушарие3110
22/206
11/280
Экватор00612
Южное полушарие–1–1/280
–22/206
–3–110
Общий2424

Поместив фиксированную красную вершину на северном полюсе (1,0,0,0), мы получим 6 желтых вершин на следующей более глубокой «широте» в (2/ 2, x, y, z), за которым следуют 8 красных вершин по широте в точке (1/2, x, y, z). Следующая более глубокая широта - это гиперплоскость экватора, пересекающая 3-сферу в 2-сфере, которая населена 6 красными и 12 желтыми вершинами.

Слой 2 - это 2-сфера, описывающая правильный октаэдр, ребра которого имеют длину 1. Тетраэдр с вершинным северным полюсом имеет 1 из этих ребер в виде длинного ребра, две вершины которого соединены короткими ребрами с северным полюсом. Еще один длинный край идет от северного полюса в слой 1 и 2 коротких края оттуда в слой 2.

Связанные многогранники

B4 семейство однородных многогранников:

F4 семейство однородных многогранников:

Рекомендации

  1. ^ Клитцинг, Ричард. "o3x4x3o - продолжение".
  2. ^ а б О совершенных 4-многогранниках Габор Жеве Вклад в алгебру и геометрию, том 43 (2002), № 1, 243-259] Таблица 2, стр. 252
  3. ^ а б Кватернионное построение многогранников W (F4) с двойственными многогранниками и ветвлением по подгруппам W (B4) и W (B3) × W (A1) Мехмет Коджа 1, Мудхахир Аль-Аджми 2 и Назифе Оздес Коджа 3 Отделение физики, Научный колледж, Университет Султана Кабуса P.O. Box 36, Al-Khoud 123, Muscat, Sultanate of Oman, p.18. 5.7 Двойственный многогранник многогранника (0, 1, 1, 0) F4 = W (F4) (ω2+ ω3)