Усеченный тессеракт - Википедия - Truncated tesseract

Тессеракт	Усеченный тессеракт	Исправленный тессеракт	Обрезанный тессеракт
Диаграммы Шлегеля с центром в [4,3] (ячейки видны в [3,3])
16 ячеек	Усеченная 16-ячеечная	Выпрямленный 16-элементный (24-элементный )	Обрезанный тессеракт
Диаграммы Шлегеля с центром в [3,3] (ячейки видны в [4,3])

В геометрия, а усеченный тессеракт это равномерный 4-многогранник сформированный как усечение регулярного тессеракт.

Есть три усечения, включая битовое усечение, и усечение, которое создает усеченный 16-элементный.

Усеченный тессеракт

Усеченный тессеракт
Диаграмма Шлегеля (тетраэдр ячейки видны)
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т {4,3,3}
Диаграммы Кокстера
Клетки	24	8 3.8.8 16 3.3.3
Лица	88	64 {3} 24 {8}
Края	128
Вершины	64
Фигура вершины	() v {3}
Двойной	Тетракис 16-ти клеточный
Группа симметрии	B4, [4,3,3], заказ 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	12 13 14

В усеченный тессеракт ограничено 24 клетки: 8 усеченные кубики, и 16 тетраэдры.

Альтернативные имена

• Усеченный тессеракт (Норман В. Джонсон )
• Усеченный тессеракт (аббревиатура tat) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс)^[1]

Строительство

Усеченный тессеракт может быть построен с помощью усечение вершины тессеракт в ${ displaystyle 1 / ({ sqrt {2}} + 2)}$ длины кромки. В каждой усеченной вершине образуется правильный тетраэдр.

В Декартовы координаты вершин усеченного тессеракта, имеющего длину ребра 2, задается всеми перестановками:

${ displaystyle left ( pm 1, pm (1 + { sqrt {2}}), pm (1 + { sqrt {2}}), pm (1 + { sqrt { 2}}) right)}$

Прогнозы

А стереоскопический Трехмерная проекция усеченного тессеракта.

В первой параллельной проекции усеченного куба усеченного тессеракта в 3-мерное пространство изображение расположено следующим образом:

• Конверт проекции - это куб.
• Две из ячеек усеченного куба проецируются на усеченный куб, вписанный в кубическую оболочку.
• Остальные 6 усеченных кубиков выступают на квадратные грани конверта.
• 8 тетраэдрических объемов между огибающей и треугольными гранями центрального усеченного куба - это изображения 16 тетраэдров, пары ячеек для каждого изображения.

Изображений

орфографические проекции

Самолет Кокстера	B4	B3 / D4 / А2	B2 / D3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Кокстера	F4	А3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Многогранник сеть

Усеченный тессеракт проецируется на 3-сфера с стереографическая проекция в 3-х пространстве.

Связанные многогранники

В усеченный тессеракт, является третьим в последовательности усеченных гиперкубы:

Усеченные гиперкубы

Изображение								...
Имя	Восьмиугольник	Усеченный куб	Усеченный тессеракт	Усеченный 5-куб	Усеченный 6-куб	Усеченный 7-куб	Усеченный 8-куб
Диаграмма Кокстера
Фигура вершины	() v ()	() v {}	() v {3}	() v {3,3}	() v {3,3,3}	() v {3,3,3,3}	() v {3,3,3,3,3}

Обрезанный тессеракт

Обрезанный тессеракт
Два Диаграммы Шлегеля, с центром на усеченных тетраэдрических или усеченных октаэдрических ячейках, со скрытыми альтернативными типами ячеек.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	2т {4,3,3} 2т {3,31,1} час2,3{4,3,3}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	24	8 4.6.6 16 3.6.6
Лица	120	32 {3} 24 {4} 64 {6}
Края	192
Вершины	96
Фигура вершины	Дигональный дисфеноид
Группа симметрии	B4, [3,3,4], заказ 384 D4, [31,1,1], заказ 192
Характеристики	выпуклый, вершинно-транзитивный
Единый индекс	15 16 17

Сеть

В усеченный битами тессеракт, усеченный битами 16 ячеек, или же тессерактигексадекахорон построен битовое усечение операция применима к тессеракт. Его также можно назвать рунический тессеракт с половиной вершин Runcicantellated tesseract с строительство.

Альтернативные имена

• Bitruncated tesseract / Runcicantic tesseract (Норман В. Джонсон )
• Bitruncated tesseract (Acronym tah) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс)^[2]

Строительство

Тессеракт усекается усечение это клетки за их середину, повернув восемь кубики в восемь усеченные октаэдры. У них все еще общие квадратные грани, но шестиугольные грани образуют усеченные тетраэдры, которые разделяют свои треугольные грани друг с другом.

В Декартовы координаты вершин усеченного битами тессеракта, имеющего длину ребра 2, задается всеми перестановками:

${ displaystyle left (0, pm { sqrt {2}}, pm 2 { sqrt {2}}, pm 2 { sqrt {2}} right)}$

Структура

Усеченные октаэдры соединены друг с другом своими квадратными гранями, а с усеченными тетраэдрами - их шестиугольными гранями. Усеченные тетраэдры соединены между собой треугольными гранями.

Прогнозы

орфографические проекции

Самолет Кокстера	B4	B3 / D4 / А2	B2 / D3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Кокстера	F4	А3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Стереографические проекции

Проекция вначале усеченного октаэдра тессеракта в трехмерном пространстве имеет вид усеченный кубический конверт. Две из усеченных октаэдрических ячеек выступают на усеченный октаэдр, вписанный в эту оболочку, причем квадратные грани касаются центров октаэдрических граней. 6 октаэдрических граней - это изображения оставшихся 6 усеченных октаэдрических ячеек. Оставшийся промежуток между вписанным усеченным октаэдром и огибающей заполнен 8 уплощенными усеченными тетраэдрами, каждый из которых является изображением пары усеченных тетраэдрических ячеек.

Стереографические проекции

Раскрашен прозрачно розовыми треугольниками, синими квадратами и серыми шестиугольниками

Связанные многогранники

В усеченный битами тессеракт является вторым в последовательности усеченных битов гиперкубы:

Битрорезанные гиперкубы

Изображение							...
Имя	Битусеченный куб	Обрезанный тессеракт	Обрезанный бит 5-куб	Обрезанный битом 6-куб	Bitruncated 7-cube	Обрезанный битами 8-куб
Coxeter
Фигура вершины	() v {}	{} v {}	{} v {3}	{} v {3,3}	{} v {3,3,3}	{} v {3,3,3,3}

Усеченная 16-ячеечная

Усеченная 16-ячеечная Кантический тессеракт
Диаграмма Шлегеля (октаэдр ячейки видны)
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т {4,3,3} т {3,31,1} час2{4,3,3}
Диаграммы Кокстера	=
Клетки	24	8 3.3.3.3 16 3.6.6
Лица	96	64 {3} 32 {6}
Края	120
Вершины	48
Фигура вершины	квадратная пирамида
Двойной	Гексакис тессеракт
Группы Кокстера	B4 [3,3,4], заказ 384 D4 [31,1,1], заказ 192
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	16 17 18

В усеченный 16-элементный, усеченный гексадекахорон, кантик тессеракт что ограничено 24 клетки: 8 обычных октаэдры, и 16 усеченные тетраэдры. Он имеет половину вершин скошенный тессеракт со строительством .

Это связано, но не следует путать с 24-элементный, который является правильный 4-многогранник ограничен 24 правильными октаэдрами.

Альтернативные имена

• Усеченный 16-элементный / Кантический тессеракт (Норман В. Джонсон )
• Усеченный гексадекахорон (акроним thex) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс)^[3]

Строительство

Усеченная 16-ячеечная может быть построена из 16 ячеек усекая его вершины на 1/3 длины ребра. Это приводит к 16 усеченным тетраэдрическим ячейкам и вводит 8 октаэдров (фигуры вершин).

(Усечение 16-ячеек на 1/2 длины ребра приводит к 24-элементный, который имеет большую степень симметрии, поскольку усеченные ячейки становятся идентичными фигурам вершин.)

В Декартовы координаты вершин усеченной 16-ячейки с длиной ребра 2√2 задаются всеми перестановками и комбинациями знаков:

(0,0,1,2)

Альтернативная конструкция начинается с demitesseract с координатами вершины (± 3, ± 3, ± 3, ± 3), имеющими четное число каждого знака, и усекает его, чтобы получить перестановки

(1,1,3,3), с четным номером каждого знака.

Структура

Усеченные тетраэдры соединены друг с другом шестиугольными гранями. Октаэдры соединены с усеченными тетраэдрами своими треугольными гранями.

Прогнозы

С центром в октаэдре

Параллельная проекция первого октаэдра в 3 измерения с выделенными октаэдрическими ячейками

Параллельная проекция усеченной 16-ячейки с октаэдром в 3-мерное пространство имеет следующую структуру:

• Конверт проекции - это усеченный октаэдр.
• 6 квадратных граней конверта представляют собой изображения 6 октаэдрических ячеек.
• В центре оболочки лежит октаэдр, соединенный с центром шести квадратных граней шестью гранями. Это изображение двух других октаэдрических ячеек.
• Оставшееся пространство между оболочкой и центральным октаэдром заполнено 8 усеченными тетраэдрами (искаженными проекцией). Это изображения 16 усеченных тетраэдрических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению лиц в проекции усеченный октаэдр в 2-мерное пространство. Следовательно, усеченный 16-элементный элемент можно рассматривать как 4-мерный аналог усеченного октаэдра.

По центру усеченного тетраэдра

Проекция усеченной 16-ячеечной ячейки в 3-х измерениях с центром на усеченной тетраэдрической ячейке, с выделенными скрытыми ячейками

Первая параллельная проекция усеченного тетраэдра усеченной 16-ячейки в трехмерное пространство имеет следующую структуру:

• Конверт проекции - это усеченный куб.
• Ближайший к четырехмерной точке обзора усеченный тетраэдр проецируется в центр оболочки, а его треугольные грани соединены с 4-мя октаэдрическими объемами, которые соединяют его с 4-мя треугольными гранями оболочки.
• Оставшееся пространство оболочки заполнено четырьмя другими усеченными тетраэдрами.
• Эти объемы представляют собой изображения ячеек, лежащих на ближней стороне усеченной 16-ячейки; другие ячейки проецируются на тот же макет, за исключением двойной конфигурации.
• Шесть восьмиугольных граней конверта проекции - это изображения оставшихся 6 усеченных тетраэдрических ячеек.

Изображений

орфографические проекции

Самолет Кокстера	B4	B3 / D4 / А2	B2 / D3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Кокстера	F4	А3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Сеть	Стереографическая проекция (сосредоточено на усеченный тетраэдр )

Связанные многогранники

Усеченный 16-элементный, как кантический 4-куб, связан с размерным семейством кантических n-кубов:

Размерное семейство кантических n-кубов

п	3	4	5	6	7	8
Симметрия [1+,4,3п-2]	[1+,4,3] = [3,3]	[1+,4,32] = [3,31,1]	[1+,4,33] = [3,32,1]	[1+,4,34] = [3,33,1]	[1+,4,35] = [3,34,1]	[1+,4,36] = [3,35,1]
Кантик фигура
Coxeter	=	=	=	=	=	=
Schläfli	час2{4,3}	час2{4,32}	час2{4,33}	час2{4,34}	час2{4,35}	час2{4,36}

Связанные однородные многогранники

Связанные однородные многогранники в симметрии demitesseract

D4 однородная полихора
{3,31,1} ч {4,3,3}	2r {3,31,1} час3{4,3,3}	т {3,31,1} час2{4,3,3}	2т {3,31,1} час2,3{4,3,3}	г {3,31,1} {31,1,1}={3,4,3}	рр {3,31,1} г {31,1,1} = г {3,4,3}	tr {3,31,1} т {31,1,1} = t {3,4,3}	sr {3,31,1} с {31,1,1} = s {3,4,3}

Связанные однородные многогранники в симметрии тессеракта

Многогранники симметрии B4
Имя	тессеракт	исправленный тессеракт	усеченный тессеракт	канеллированный тессеракт	разбитый тессеракт	усеченный битами тессеракт	усеченный тессеракт	runcitruncated тессеракт	всесторонне усеченный тессеракт
Coxeter диаграмма		=				=
Schläfli символ	{4,3,3}	т1{4,3,3} г {4,3,3}	т0,1{4,3,3} т {4,3,3}	т0,2{4,3,3} рр {4,3,3}	т0,3{4,3,3}	т1,2{4,3,3} 2т {4,3,3}	т0,1,2{4,3,3} tr {4,3,3}	т0,1,3{4,3,3}	т0,1,2,3{4,3,3}
Шлегель диаграмма
B4
Имя	16 ячеек	исправленный 16 ячеек	усеченный 16 ячеек	канеллированный 16 ячеек	разбитый 16 ячеек	усеченный битами 16 ячеек	усеченный 16 ячеек	runcitruncated 16 ячеек	всесторонне усеченный 16 ячеек
Coxeter диаграмма	=	=	=	=		=	=
Schläfli символ	{3,3,4}	т1{3,3,4} г {3,3,4}	т0,1{3,3,4} т {3,3,4}	т0,2{3,3,4} рр {3,3,4}	т0,3{3,3,4}	т1,2{3,3,4} 2т {3,3,4}	т0,1,2{3,3,4} tr {3,3,4}	т0,1,3{3,3,4}	т0,1,2,3{3,3,4}
Шлегель диаграмма
B4

Примечания

Рекомендации

• Т. Госсет: О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений, Вестник математики, Macmillan, 1900 г.
• H.S.M. Coxeter:
  • Кокстер, Правильные многогранники, (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8, п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
  • H.S.M. Кокстер, Правильные многогранники, 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973, стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
  • Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайса, публикации Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) Х.С.М. Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 26. с. 409: Hemicubes: 1_n1)
• Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись (1991)
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. (1966)
• 2. Выпуклая однородная полихора на основе тессеракта (8-элементный) и гексадекахорон (16-элементный) - модели 13, 16, 17., Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры)». o3o3o4o - tat, o3x3x4o - tah, x3x3o4o - thex

внешняя ссылка

• Бумажная модель усеченного тессеракта созданы с использованием сетей, созданных Stella4D программного обеспечения