Теорема Виртингерса о представлении и проекции - Википедия - Wirtingers representation and projection theorem

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья требует внимания специалиста по математике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Май 2010 г.) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к Сделайте это понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Май 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике Представление и проекционная теорема Виртингера это теорема доказано Вильгельм Виртингер в 1932 г. в связи с некоторыми проблемами теория приближения. Эта теорема дает формулу представления для голоморфный подпространство ${ displaystyle left. right.H_ {2}}$ простой, невзвешенной голоморфной Гильбертово пространство ${ displaystyle left. right.L ^ {2}}$ функций квадратично интегрируемый по поверхности единичного диска ${ Displaystyle влево. вправо. {Z: | Z | <1 }}$ из комплексная плоскость, наряду с формой ортогональная проекция из ${ displaystyle left. right.L ^ {2}}$ к ${ displaystyle left. right.H_ {2}}$.

Бумага Виртингера ^[1] содержит следующую теорему, представленную также в Джозеф Л. Уолш известная монография^[2](стр. 150) с другим доказательством. Если ${ Displaystyle left. right. left.F (z) right.}$ из класса ${ displaystyle left. right.L ^ {2}}$ на ${ Displaystyle влево. вправо. | г | <1}$, т.е.

${ Displaystyle iint _ {| z | <1} | F (z) | ^ {2} , dS <+ infty,}$

куда ${ displaystyle left. right.dS}$ это элемент площади, то единственная функция ${ Displaystyle влево. right.f (г)}$ голоморфного подкласса ${ displaystyle H_ {2} subset L ^ {2}}$, так что

${ Displaystyle iint _ {| z | <1} | F (z) -f (z) | ^ {2} , dS}$

наименьший, дается

${ displaystyle f (z) = { frac {1} { pi}} iint _ {| zeta | <1} F ( zeta) { frac {dS} {(1 - { overline { zeta}} z) ^ {2}}}, quad | z | <1.}$

Последняя формула дает форму ортогональной проекции из ${ displaystyle left. right.L ^ {2}}$ к ${ displaystyle left. right.H_ {2}}$. Кроме того, замена ${ Displaystyle влево. right.F ( zeta)}$ к ${ Displaystyle влево. right.f ( zeta)}$ делает его представителем Wirtinger для всех ${ displaystyle f (z) in H_ {2}}$. Это аналог известного Интегральная формула Коши с квадратом ядра Коши. Позже, после 1950-х годов, степень ядра Коши была названа воспроизводящее ядро, а обозначение ${ displaystyle left. right.A_ {0} ^ {2}}$ стал обычным делом для класса ${ displaystyle left. right.H_ {2}}$.

В 1948 г. Мхитар Джрбашян^[3] расширенное представление Виртингера и проекция на более широкие весовые гильбертовы пространства ${ displaystyle left. right.A _ { alpha} ^ {2}}$ функций ${ Displaystyle влево. right.f (г)}$ голоморфный по ${ Displaystyle влево. вправо. | г | <1}$, удовлетворяющие условию

${ Displaystyle | е | _ {A _ { alpha} ^ {2}} = left {{ frac {1} { pi}} iint _ {| z | <1} | f (z ) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ { alpha -1} , dS right } ^ {1/2} <+ infty { text {для некоторых}} альфа in (0, + infty),}$

а также к некоторым гильбертовым пространствам целых функций. Распространение этих результатов на некоторые взвешенные ${ displaystyle left. right.A _ { omega} ^ {2}}$ пространства функций, голоморфных в ${ Displaystyle влево. вправо. | г | <1}$ и аналогичные пространства целых функций, объединения которых соответственно совпадают с все функции, голоморфные в ${ Displaystyle влево. вправо. | г | <1}$ и весь набор целых функций можно увидеть в.^[4]

Смотрите также

• Джербашян, А. М .; Закарян В.С. (2009). "Современное развитие теории факторизации М. М. Джрбашяна и смежные проблемы анализа". Изв. НАН Армении, Математика (английский перевод: Журнал современного математического анализа). 44 (6).

Рекомендации