Биномиальная теорема - Википедия - Binomial theorem

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Биномиальная теорема»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июнь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

${ Displaystyle { begin {array} {c} 1 1 quad 1 1 quad 2 quad 1 1 quad 3 quad 3 quad 1 1 quad 4 quad 6 quad 4 quad 1 1 quad 5 quad 10 quad 10 quad 5 quad 1 1 quad 6 quad 15 quad 20 quad 15 quad 6 quad 1 1 quad 7 quad 21 quad 35 quad 35 quad 21 quad 7 quad 1 end {array}}}$

В биномиальный коэффициент ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ появляется как б-я запись в пй ряд Треугольник Паскаля (отсчет начинается в 0). Каждая запись представляет собой сумму двух вышеупомянутых.

В элементарная алгебра, то биномиальная теорема (или же биномиальное разложение) описывает алгебраическое разложение полномочия из биномиальный. Согласно теореме можно разложить полином (Икс + у)^п в сумма включая условия формы топор^бу^c, где показатели б и c находятся неотрицательные целые числа с б + c = п, а коэффициент а каждого термина - это конкретный положительное число в зависимости от п и б. Например (для п = 4),

${ displaystyle (x + y) ^ {4} = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}.}$

Коэффициент а в срок топор^бу^c известен как биномиальный коэффициент ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ или же ${ displaystyle { tbinom {n} {c}}}$ (оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для варьирования п и б могут быть организованы в форме Треугольник Паскаля. Эти числа также встречаются в комбинаторика, куда ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ дает количество различных комбинации из б элементы который можно выбрать из п-элемент набор. Следовательно ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ часто произносится как "п выберите б".

История

Частные случаи биномиальной теоремы были известны по крайней мере с 4 века до нашей эры, когда Греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для экспоненты2.^[1][2] Есть свидетельства того, что биномиальная теорема для кубов была известна в Индии в VI веке нашей эры.^[1][2]

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие количество способов выбора k объекты из п без замены представляли интерес для древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это Чандамшастра индийского лирика Пингала (ок. 200 г. до н.э.), в котором содержится метод ее решения.^[3]:230 Комментатор Халаюда из 10 века нашей эры объясняет этот метод, используя то, что теперь известно как Треугольник Паскаля.^[3] К VI веку нашей эры индийские математики, вероятно, знали, как выразить это как частное. ${ displaystyle { frac {n!} {(n-k)! k!}}}$,^[4] и четкое изложение этого правила можно найти в тексте XII века. Лилавати к Бхаскара.^[4]

Первую формулировку биномиальной теоремы и таблицу биномиальных коэффициентов, насколько нам известно, можно найти в работе автора Аль-Караджи, цитируется Аль-Самав'ал в своем «аль-Бахире».^[5][6][7] Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов^[8] а также предоставил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математическая индукция.^[8] Персидский поэт и математик Омар Хайям вероятно, был знаком с этой формулой до более высоких порядков, хотя многие из его математических работ утеряны.^[2] Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII в. Ян Хуэй^[9] а также Чу Ши-Чи.^[2] Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту XI века. Цзя Сянь, хотя эти записи теперь также утеряны.^[3]:142

В 1544 г. Майкл Стифель ввел термин «биномиальный коэффициент» и показал, как их использовать для выражения ${ Displaystyle (1 + а) ^ {п}}$ с точки зрения ${ Displaystyle (1 + а) ^ {п-1}}$, через «треугольник Паскаля».^[10] Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своей Арифметический треугольник.^[11] Однако схема чисел была уже известна европейским математикам позднего Возрождения, в том числе Стифелю, Никколо Фонтана Тарталья, и Саймон Стевин.^[10]

Исаак Ньютон обычно приписывают обобщенную биномиальную теорему, справедливую для любого рационального показателя.^[10][12]

Заявление

Согласно теореме, можно расширить любую неотрицательную степень Икс + у в сумму вида

${ displaystyle (x + y) ^ {n} = {n choose 0} x ^ {n} y ^ {0} + {n choose 1} x ^ {n-1} y ^ {1} + { n choose 2} x ^ {n-2} y ^ {2} + cdots + {n choose n-1} x ^ {1} y ^ {n-1} + {n choose n} x ^ {0} y ^ {n},}$

куда ${ Displaystyle п geq 0}$ целое число и каждый ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ положительное целое число, известное как биномиальный коэффициент. (Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение мощности принимается равным 1, и этот мультипликативный коэффициент часто опускается в члене. Поэтому часто можно увидеть, что правая часть записывается как ${ Displaystyle { binom {п} {0}} х ^ {п} + ldots}$.) Эту формулу также называют биномиальная формула или биномиальная идентичность. С помощью обозначение суммирования, это можно записать как

${ displaystyle (x + y) ^ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} x ^ {nk} y ^ {k} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} x ^ {k} y ^ {nk}.}$

Окончательное выражение следует из предыдущего ввиду симметрии Икс и у в первом выражении, и из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична. Простой вариант биномиальной формулы получается следующим образом: замена 1 за у, так что в нем участвует только один Переменная. В таком виде формула выглядит так:

${ displaystyle (1 + x) ^ {n} = {n choose 0} x ^ {0} + {n choose 1} x ^ {1} + {n choose 2} x ^ {2} + cdots + {n choose {n-1}} x ^ {n-1} + {n choose n} x ^ {n},}$

или эквивалентно

${ displaystyle (1 + x) ^ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} x ^ {k}.}$

Примеры

Простым примером применения биномиальной теоремы является вывод формулы для квадрат из Икс + у:

${ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}.}$

Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, появляющиеся в этом разложении, соответствуют второй строке треугольника Паскаля. (Верхняя «1» треугольника по соглашению считается строкой 0). Коэффициенты при более высоких степенях Икс + у соответствуют нижним рядам треугольника:

${ displaystyle { begin {align} (x + y) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} + y ^ {3}, [8pt] (x + y) ^ {4} & = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}, [ 8pt] (x + y) ^ {5} & = x ^ {5} + 5x ^ {4} y + 10x ^ {3} y ^ {2} + 10x ^ {2} y ^ {3} + 5xy ^ {4} + y ^ {5}, [8pt] (x + y) ^ {6} & = x ^ {6} + 6x ^ {5} y + 15x ^ {4} y ^ {2} + 20x ^ {3} y ^ {3} + 15x ^ {2} y ^ {4} + 6xy ^ {5} + y ^ {6}, [8pt] (x + y) ^ {7} & = x ^ {7} + 7x ^ {6} y + 21x ^ {5} y ^ {2} + 35x ^ {4} y ^ {3} + 35x ^ {3} y ^ {4} + 21x ^ {2 } y ^ {5} + 7xy ^ {6} + y ^ {7}, [8pt] (x + y) ^ {8} & = x ^ {8} + 8x ^ {7} y ​​+ 28x ^ {6} y ^ {2} + 56x ^ {5} y ^ {3} + 70x ^ {4} y ^ {4} + 56x ^ {3} y ^ {5} + 28x ^ {2} y ^ { 6} + 8xy ^ {7} + y ^ {8}. End {align}}}$

Из этих примеров можно увидеть несколько закономерностей. В общем, для расширения (Икс + у)^п:

1. полномочия Икс начать с п и уменьшать на 1 в каждом члене, пока не достигнет 0 (с Икс⁰ = 1, часто неписаные);
2. полномочия у начинаются с 0 и увеличиваются на 1, пока не достигнут п;
3. то п-я строка Треугольника Паскаля будет коэффициентами расширенного бинома, когда члены расположены таким образом;
4. количество членов в разложении до объединения одинаковых членов является суммой коэффициентов и равно 2^п; и
5. будут п + 1 термины в выражении после объединения одинаковых терминов в раскрытии.

Простой пример с конкретным положительным значением у:

${ displaystyle { begin {align} (x + 2) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} (2) + 3x (2) ^ {2} + 2 ^ {3} & = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 12x + 8. end {align}}}$

Простой пример с конкретным отрицательным значением у:

${ displaystyle { begin {align} (x-2) ^ {3} & = x ^ {3} -3x ^ {2} (2) + 3x (2) ^ {2} -2 ^ {3} & = x ^ {3} -6x ^ {2} + 12x-8. end {выравнивается}}}$

Геометрическое объяснение

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Для положительных значений а и б, биномиальная теорема с п = 2 является геометрически очевидным фактом, что квадрат со стороной а + б можно разрезать на квадрат со стороны а, квадрат стороны б, и два прямоугольника со сторонами а и б. С п = 3, теорема утверждает, что куб со стороной а + б можно нарезать кубиком стороны а, куб стороны б, три а × а × б прямоугольные коробки и три а × б × б прямоугольные коробки.

В исчисление, эта картина также дает геометрическое доказательство производная ${ displaystyle (x ^ {n}) '= nx ^ {n-1}:}$^[13] если установить ${ Displaystyle а = х}$ и ${ displaystyle b = Delta x,}$ устный перевод б как бесконечно малый изменение в а, то на этой картинке видно бесконечно малое изменение объема п-размерный гиперкуб, ${ Displaystyle (х + дельта х) ^ {п},}$ где коэффициент при линейном члене (в ${ displaystyle Delta x}$) является ${ displaystyle nx ^ {n-1},}$ площадь п лица, каждое из измерений п − 1:

${ displaystyle (x + Delta x) ^ {n} = x ^ {n} + nx ^ {n-1} Delta x + { binom {n} {2}} x ^ {n-2} ( Delta x) ^ {2} + cdots.}$

Подставив это в определение производной через коэффициент разницы и принятие ограничений означает, что условия более высокого порядка, ${ displaystyle ( Delta x) ^ {2}}$ и выше, становятся незначительными и дает формулу ${ Displaystyle (х ^ {п}) '= пх ^ {п-1},}$ интерпретируется как

"бесконечно малая скорость изменения объема п-куб при изменении длины стороны - это площадь п своего (п − 1)-мерные лица ».

Если интегрировать эту картину, что соответствует применению основная теорема исчисления, получается Квадратурная формула Кавальери, интеграл ${ displaystyle textstyle { int x ^ {n-1} , dx = { tfrac {1} {n}} x ^ {n}}}$ - видеть доказательство квадратурной формулы Кавальери для подробностей.^[13]

Биномиальные коэффициенты

Коэффициенты, входящие в биномиальное разложение, называются биномиальные коэффициенты. Обычно они пишутся ${ displaystyle { tbinom {n} {k}},}$ и произносится "п выберите k".

Формулы

Коэффициент Икс^п−kу^k дается формулой

${ displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {n!} {k! (n-k)!}},}$

который определяется в терминах факториал функция п!. Эквивалентно эту формулу можно записать

${ displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {n (n-1) cdots (n-k + 1)} {k (k-1) cdots 1}} = prod _ { ell = 1} ^ {k} { frac {n- ell +1} { ell}} = prod _ { ell = 0} ^ {k-1} { frac {n- ell } {k- ell}}}$

с k множители в числителе и знаменателе дробная часть. Хотя эта формула включает дробь, биномиальный коэффициент ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ на самом деле целое число.

Комбинаторная интерпретация

Биномиальный коэффициент ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ можно интерпретировать как количество способов выбора k элементы из п-элементный набор. Это связано с биномами по следующей причине: если мы напишем (Икс + у)^п как товар

${ Displaystyle (х + у) (х + у) (х + у) cdots (х + у),}$

тогда, согласно распределительный закон, в расширении будет один член для каждого выбора Икс или же у от каждого из биномов произведения. Например, будет только один термин Икс^п, соответствующий выбору Икс от каждого бинома. Однако будет несколько условий вида Икс^п−2у², по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов, которые вносят у. Поэтому после объединение похожих терминов, коэффициент Икс^п−2у² будет равно количеству способов выбрать точно 2 элементы из п-элементный набор.

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Пример

Коэффициент ху² в

${ displaystyle { begin {align} (x + y) ^ {3} & = (x + y) (x + y) (x + y) & = xxx + xxy + xyx + { underline {xyy} } + yxx + { underline {yxy}} + { underline {yyx}} + yyy & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + { underline {3xy ^ {2}}} + y ^ {3} end {align}}}$

равно ${ displaystyle { tbinom {3} {2}} = 3}$ потому что есть три Икс,у строки длиной 3 с ровно двумя уs, а именно

${ Displaystyle xyy, ; yxy, ; yyx,}$

соответствующие трем 2-элементным подмножествам {1, 2, 3}, а именно

${ Displaystyle {2,3 }, ; {1,3 }, ; {1,2 },}$

где каждое подмножество определяет позиции у в соответствующей строке.

Общий случай

Расширение (Икс + у)^п дает сумму 2^п продукты формы е₁е₂ ... е_п где каждый е_я является Икс или жеу. Перестановка факторов показывает, что каждый продукт равен Икс^п−kу^k для некоторых k между 0 ип. Для данного k, последовательно оказываются равными:

• количество копий Икс^{п − k}у^k в расширении
• количество п-персонаж Икс,у струны, имеющие у точно k позиции
• количество k-элементные подмножества {1, 2, ..., п}
• ${ displaystyle { tbinom {n} {k}},}$ либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если кто-то определяет ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ в качестве ${ displaystyle { tfrac {n!} {k! (n-k)!}}.}$

Это доказывает биномиальную теорему.

Индуктивное доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда п = 0, обе стороны равны 1, поскольку Икс⁰ = 1 и ${ displaystyle { tbinom {0} {0}} = 1.}$ Теперь предположим, что равенство выполняется для данного п; мы докажем это для п + 1. За j, k ≥ 0, позволять [ж(Икс, у)]_j,k обозначим коэффициент при Икс^jу^k в полиноме ж(Икс, у). По индуктивному предположению (Икс + у)^п является многочленом от Икс и у такой, что [(Икс + у)^п]_j,k является ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ если j + k = п, и 0 иначе. Личность

${ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = x (x + y) ^ {n} + y (x + y) ^ {n}}$

показывает, что (Икс + у)^п+1 также является полиномом от Икс и у, и

${ displaystyle [(x + y) ^ {n + 1}] _ {j, k} = [(x + y) ^ {n}] _ {j-1, k} + [(x + y) ^ {n}] _ {j, k-1},}$

так как если j + k = п + 1, тогда (j − 1) + k = п и j + (k − 1) = п. Теперь правая часть

${ displaystyle { binom {n} {k}} + { binom {n} {k-1}} = { binom {n + 1} {k}},}$

к Личность Паскаля.^[14] С другой стороны, если j + k ≠ п + 1, тогда (j – 1) + k ≠ п и j + (k – 1) ≠ п, так что получаем 0 + 0 = 0. Таким образом

${ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = sum _ {k = 0} ^ {n + 1} { binom {n + 1} {k}} x ^ {n + 1-k} у ^ {к},}$

что является индуктивной гипотезой с п + 1 заменен на п и на этом индуктивный шаг завершен.

Обобщения

Обобщенная биномиальная теорема Ньютона

Около 1665 г. Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, чтобы разрешить действительные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. (Такое же обобщение применимо и к сложный показателей.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечная серия. Для этого нужно придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, чего нельзя сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа р, можно определить

${ displaystyle {r choose k} = { frac {r (r-1) cdots (r-k + 1)} {k!}} = { frac {(r) _ {k}} {k !}},}$

куда ${ Displaystyle ( cdot) _ {к}}$ это Символ Поххаммера, здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями, когда р является целым неотрицательным числом. Тогда, если Икс и у настоящие числа с |Икс| > |у|,^{[Примечание 1]} и р любое комплексное число,

${ displaystyle { begin {align} (x + y) ^ {r} & = sum _ {k = 0} ^ { infty} {r choose k} x ^ {rk} y ^ {k} & = x ^ {r} + rx ^ {r-1} y + { frac {r (r-1)} {2!}} x ^ {r-2} y ^ {2} + { frac { r (r-1) (r-2)} {3!}} x ^ {r-3} y ^ {3} + cdots. end {выравнивается}}}$

Когда р - целое неотрицательное число, биномиальные коэффициенты при k > р равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и существует не более р + 1 ненулевые члены. Для других значений р, ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Например, р = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

${ displaystyle { sqrt {1 + x}} = 1 + { frac {1} {2}} x - { frac {1} {8}} x ^ {2} + { frac {1} { 16}} x ^ {3} - { frac {5} {128}} x ^ {4} + { frac {7} {256}} x ^ {5} - cdots}$

Принимая р = −1, обобщенный биномиальный ряд дает формула геометрического ряда, Годен до |Икс| < 1:

${ displaystyle (1 + x) ^ {- 1} = { frac {1} {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + x ^ {4} -x ^ {5} + cdots}$

В более общем плане с р = −s:

${ displaystyle { frac {1} {(1-x) ^ {s}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} {s + k-1 select k} x ^ {k} .}$

Так, например, когда s = 1/2,

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1 + x}}} = 1 - { frac {1} {2}} x + { frac {3} {8}} x ^ {2} - { frac {5} {16}} x ^ {3} + { frac {35} {128}} x ^ {4} - { frac {63} {256}} x ^ {5} + cdots}$

Дальнейшие обобщения

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда Икс и у - комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить |Икс| > |у|^{[Примечание 1]} и определить полномочия Икс + у и Икс используя голоморфный ветка журнала определяется на открытом диске радиуса |Икс| сосредоточен на Икс. Обобщенная биномиальная теорема верна также для элементов Икс и у из Банахова алгебра так долго как ху = yx, и Икс обратима, и ||у/Икс|| < 1.

Версия биномиальной теоремы верна для следующих Символ Поххаммера -подобное семейство многочленов: для заданной действительной константы c, определять ${ Displaystyle х ^ {(0)} = 1}$ и

${ displaystyle x ^ {(n)} = prod _ {k = 1} ^ {n} [x + (k-1) c]}$

за ${ displaystyle n> 0.}$ потом^[15]

${ displaystyle (a + b) ^ {(n)} = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} a ^ {(nk)} b ^ {(k) }.}$

Дело c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.

В более общем смысле, последовательность ${ displaystyle {p_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ полиномов называется биномиальный если

• ${ displaystyle deg p_ {n} = n}$ для всех ${ displaystyle n}$,
• ${ displaystyle p_ {0} (0) = 1}$, и
• ${ displaystyle p_ {n} (x + y) = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} p_ {k} (x) p_ {n-k} (y)}$ для всех ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, и ${ displaystyle n}$.

Оператор ${ displaystyle Q}$ на пространстве многочленов называется базисный оператор последовательности ${ displaystyle {p_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ если ${ displaystyle Qp_ {0} = 0}$ и ${ displaystyle Qp_ {n} = np_ {n-1}}$ для всех ${ Displaystyle п geqslant 1}$. Последовательность ${ displaystyle {p_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ является биномиальным тогда и только тогда, когда его базисным оператором является Дельта-оператор.^[16] Письмо ${ displaystyle E ^ {a}}$ для смены ${ displaystyle a}$ оператора, дельта-операторы, соответствующие указанным выше семействам многочленов "Поххаммера", являются обратной разностью ${ displaystyle I-E ^ {- c}}$ за ${ displaystyle c> 0}$, обычная производная для ${ displaystyle c = 0}$, а прямая разница ${ displaystyle E ^ {- c} -I}$ за ${ displaystyle c <0}$.

Полиномиальная теорема

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Общая версия

${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} = n } { binom {n} {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} cdots x_ {m} ^ {k_ {m}},}$

где суммирование ведется по всем последовательностям целых неотрицательных индексов k₁ через k_м так что сумма всех k_я являетсяп. (Для каждого члена в расширении показатели должны составлять в сумме доп). Коэффициенты ${ displaystyle { tbinom {n} {k_ {1}, cdots, k_ {m}}}}$ известны как полиномиальные коэффициенты и могут быть вычислены по формуле

${ displaystyle { binom {n} {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}}} = { frac {n!} {k_ {1}! cdot k_ {2}! cdots k_ {m}!}}.}$

Комбинаторно полиномиальный коэффициент ${ displaystyle { tbinom {n} {k_ {1}, cdots, k_ {m}}}}$ подсчитывает количество различных способов раздел ан п-элемент установлен в непересекающийся подмножества размеров k₁, ..., k_м.

Многобиномиальная теорема

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

${ displaystyle (x_ {1} + y_ {1}) ^ {n_ {1}} dotsm (x_ {d} + y_ {d}) ^ {n_ {d}} = sum _ {k_ {1} = 0} ^ {n_ {1}} dotsm sum _ {k_ {d} = 0} ^ {n_ {d}} { binom {n_ {1}} {k_ {1}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {1} ^ {n_ {1} -k_ {1}} dotsc { binom {n_ {d}} {k_ {d}}} x_ {d} ^ {k_ {d) }} y_ {d} ^ {n_ {d} -k_ {d}}.}$

Это может быть записано более кратко: многоиндексная запись, так как

${ displaystyle (x + y) ^ { alpha} = sum _ { nu leq alpha} { binom { alpha} { nu}} x ^ { nu} y ^ { alpha - nu}.}$

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница дает п-я производная произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы:^[17]

${ displaystyle (fg) ^ {(n)} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(nk)} (x) g ^ {(k)} (x).}$

Здесь верхний индекс (п) указывает на п-я производная функции. Если установить ж(Икс) = е^топор и грамм(Икс) = е^bx, а затем отменяет общий множитель е^{(а + б)Икс} с обеих сторон результата восстанавливается обычная биномиальная теорема.^[18]

Приложения

Многоугловые тождества

Для сложные числа биномиальную теорему можно объединить с формула де Муавра уступить многоугольные формулы для синус и косинус. Согласно формуле Де Муавра,

${ displaystyle cos left (nx right) + i sin left (nx right) = left ( cos x + i sin x right) ^ {n}.}$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно расширить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos (nx) и грех (nx). Например, поскольку

${ Displaystyle влево ( соз х + я грех х вправо) ^ {2} = соз ^ {2} х + 2 соз х грех х- грех ^ {2} х,}$

Формула Де Муавра говорит нам, что

${ displaystyle cos (2x) = cos ^ {2} x- sin ^ {2} x quad { text {and}} quad sin (2x) = 2 cos x sin x,}$

которые являются обычными двухугловыми тождествами. Аналогично, поскольку

${ Displaystyle влево ( соз х + я грех х вправо) ^ {3} = соз ^ {3} х + 3i соз ^ {2} х грех х-3 соз х грех ^ { 2} xi sin ^ {3} x,}$

Формула Де Муавра дает

${ displaystyle cos (3x) = cos ^ {3} x-3 cos x sin ^ {2} x quad { text {и}} quad sin (3x) = 3 cos ^ { 2} x sin x- sin ^ {3} x.}$

В целом,

${ displaystyle cos (nx) = sum _ {k { text {even}}} (- 1) ^ {k / 2} {n select k} cos ^ {nk} x sin ^ {k }Икс}$

и

${ displaystyle sin (nx) = sum _ {k { text {odd}}} (- 1) ^ {(k-1) / 2} {n choose k} cos ^ {nk} x грех ^ {к} х.}$

Серия для е

В номер е часто определяется формулой

${ displaystyle e = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n}.}$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению приводит к обычному бесконечная серия за е. Особенно:

${ displaystyle left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n} = 1 + {n choose 1} { frac {1} {n}} + {n choose 2 } { frac {1} {n ^ {2}}} + {n choose 3} { frac {1} {n ^ {3}}} + cdots + {n choose n} { frac { 1} {n ^ {n}}}.}$

В kый член этой суммы

${ displaystyle {n choose k} { frac {1} {n ^ {k}}} = { frac {1} {k!}} cdot { frac {n (n-1) (n- 2) cdots (n-k + 1)} {n ^ {k}}}}$

В качестве п → ∞, рациональное выражение правильных подходов 1, и поэтому

${ displaystyle lim _ {n to infty} {n choose k} { frac {1} {n ^ {k}}} = { frac {1} {k!}}.}$

Это указывает на то, что е можно записать в виде ряда:

${ displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {k!}} = { frac {1} {0!}} + { frac {1} {1 !}} + { frac {1} {2!}} + { frac {1} {3!}} + cdots.}$

В самом деле, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающая функция из п, следует из теорема о монотонной сходимости для рядов сумма этого бесконечного ряда равнае.

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией массы вероятности отрицательное биномиальное распределение. Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t in S}}$ с вероятностью успеха ${ displaystyle p in [0,1]}$ все не происходит

${ displaystyle P left ( bigcap _ {t in S} X_ {t} ^ {C} right) = (1-p) ^ {| S |} = sum _ {n = 0} ^ { | S |} {| S | choose n} (- p) ^ {n}.}$

Полезная верхняя граница для этой величины: ${ displaystyle e ^ {- p | S |}.}$^[19]

В абстрактной алгебре

Биномиальная теорема верна в более общем смысле для любых элементов Икс и у из полукольцо удовлетворение ху = yx. В теорема верно даже в более общем смысле: альтернативность достаточно вместо ассоциативность.

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, Икс, Икс², Икс³, ...} имеет биномиальный тип.

В популярной культуре

• Биномиальная теорема упоминается в Песня генерал-майора в комической опере Пираты Пензанса.
• Профессор Мориарти описывается Шерлоком Холмсом как написавший трактат по биномиальной теореме.
• Португальский поэт Фернандо Песоа, используя гетероним Альваро де Кампос, писал, что «бином Ньютона так же красив, как Венера Милосская. Правда в том, что это мало кто замечает ".^[20]
• В фильме 2014 года Имитационная игра Алан Тьюринг ссылается на работу Исаака Ньютона над теоремой о биномах во время его первой встречи с командующим Деннистоном в Блетчли-парке.

Смотрите также

• Биномиальное приближение
• Биномиальное распределение
• Биномиальная обратная теорема
• Приближение Стирлинга

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Сумка, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Индийский J. History Sci. 1 (1): 68–74.
• Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). «(5) Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр.153 –256. ISBN  978-0-201-55802-9. OCLC  17649857.

внешняя ссылка

• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Бином Ньютона», Энциклопедия математики, EMS Press
• Биномиальная теорема к Стивен Вольфрам, и "Биномиальная теорема (шаг за шагом)" Брюс Коллетти и Джефф Брайант, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007.

В этой статье использован материал индуктивного доказательства биномиальной теоремы о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.