Теория Морса - Morse theory

В математика особенно в дифференциальная топология, Теория Морса позволяет анализировать топология из многообразие изучая дифференцируемые функции на этом коллекторе. Согласно основным идеям Марстон Морс, типичная дифференцируемая функция на многообразии будет напрямую отражать топологию. Теория Морса позволяет найти CW структуры и обрабатывать разложения на многообразиях и получить содержательную информацию об их гомология.

Перед Морсом, Артур Кэли и Джеймс Клерк Максвелл развил некоторые идеи теории Морса в контексте топография. Морс первоначально применил свою теорию к геодезические (критические точки из энергия функциональный по дорожкам). Эти методы использовались в Рауль Ботт доказательство его теорема периодичности.

Аналогом теории Морса для комплексных многообразий является Теория Пикара – Лефшеца.

Базовые концепты

Седловая точка

Для иллюстрации рассмотрим горный пейзаж. M. Если ж это функция ${ Displaystyle M to mathbb {R}}$ отправка каждого точка на его высоту, то обратное изображение точки в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ это контурная линия (в более общем смысле набор уровней ). Каждый компонент связности контурной линии представляет собой либо точку, либо простой замкнутая кривая, или замкнутой кривой с двойная точка. Контурные линии также могут иметь точки более высокого порядка (тройные точки и т. Д.), Но они нестабильны и могут быть удалены при небольшой деформации ландшафта. Двойные точки на контурных линиях встречаются на седловые точки, или проходит. Седловые точки - это точки, в которых окружающий ландшафт изгибается вверх в одном направлении и опускается в другом.

Контурные линии вокруг седловой точки

Представьте себе, что этот пейзаж заливают водой. Затем область, покрытая водой, когда вода достигает отметки а является ${ displaystyle f ^ {- 1} (- infty, a]}$ , или точки с высотой меньше или равной а. Рассмотрим, как меняется топология этой области по мере подъема воды. Интуитивно кажется, что он не меняется, кроме тех случаев, когда а проходит высоту критическая точка; то есть точка, где градиент из ж равно 0 (то есть Матрица якобиана действует как линейная карта из касательного пространства в этой точке к касательному пространству на его изображении под картой ж не имеет максимального ранга). Другими словами, он не меняется, за исключением случаев, когда вода (1) начинает заполнять бассейн, (2) покрывает седло (a горный переход, горный перевал ), или (3) погружает пик.

Тор

Каждой из этих трех типов критических точек - впадин, проходов и пиков (также называемых минимумами, седлами и максимумами) - сопоставляется число, называемое индексом. Интуитивно говоря, индекс критической точки б это количество независимых направлений вокруг б в котором ж уменьшается. Точнее, индекс невырожденной критической точки б из ж - размерность наибольшего подпространства касательного пространства к M в б на котором Гессен из ж отрицательно определенный. Следовательно, индексы бассейнов, переходов и пиков равны 0, 1 и 2 соответственно.

Определять ${ displaystyle M ^ {a}}$ в качестве ${ displaystyle f ^ {- 1} (- infty, a]}$ . Оставляя контекст топографии, можно провести аналогичный анализ того, как топология ${ displaystyle M ^ {a}}$ меняется как а увеличивается, когда M это тор ориентированы как на изображении и ж - проекция на вертикальную ось, взяв точку на ее высоту над плоскостью.

Эти цифры гомотопически эквивалентны.

Эти цифры гомотопически эквивалентны.

Начиная снизу тора, пусть п, q, р, и s - четыре критических точки индекса 0, 1, 1 и 2 соответственно. Когда а меньше чем ж(п) = 0, то ${ displaystyle M ^ {a}}$ это пустое множество. После а проходит уровень п, когда ${ Displaystyle 0 <а <е (д)}$ , тогда ${ displaystyle M ^ {a}}$ это диск, который гомотопический эквивалент в точку (0-ячейку), которая была «привязана» к пустому множеству. Далее, когда а превышает уровень q, и ${ Displaystyle е (д) <а <е (г)}$ , тогда ${ displaystyle M ^ {a}}$ является цилиндром и гомотопически эквивалентен диску с присоединенной 1-ячейкой (изображение слева). Один раз а проходит уровень р, и ж(р) < а < ж(s), тогда M^а - тор с удаленным диском, который гомотопически эквивалентен цилиндр с прикрепленной 1 ячейкой (изображение справа). Наконец, когда а больше критического уровня s, ${ displaystyle M ^ {a}}$ это тор. Тор, конечно, то же самое, что тор с удаленным диском и прикрепленным диском (2-ячейкой).

Таким образом, кажется, что существует следующее правило: топология ${ displaystyle M ^ { alpha}}$ не меняется, кроме случаев, когда ${ displaystyle alpha}$ проходит высоту критической точки, а когда ${ displaystyle alpha}$ проходит высоту критической точки индекса ${ displaystyle gamma}$ , а ${ displaystyle gamma}$ -ячейка прикреплена к ${ displaystyle M ^ { alpha}}$ . Это не решает вопроса о том, что происходит, когда две критические точки находятся на одной высоте. Эта ситуация может быть разрешена небольшим изменением ж. В случае пейзажа (или многообразия встроенный в Евклидово пространство ), это возмущение может быть просто небольшим наклоном ландшафта или поворотом системы координат.

Следует проявлять осторожность и проверять невырожденность критических точек. Чтобы увидеть, что может создать проблему, позвольте M = р и разреши ж(Икс) = Икс³. Тогда 0 - критическая точка ж, но топология ${ displaystyle M ^ { alpha}}$ не меняется, когда α проходит 0. Проблема в том, что вторая производная от ж также 0 в 0, т.е. Гессен функции f обращается в нуль, и эта критическая точка вырождена. Учтите, что эта ситуация нестабильна: слегка деформируя ж, вырожденная критическая точка либо удаляется, либо распадается на две невырожденные критические точки.

Формальное развитие

Для ценной гладкая функция ж : M → р на дифференцируемое многообразие M, точки, где дифференциал из ж исчезают называются критические точки из ж и их изображения под ж называются критические значения. Если в критической точке б, матрица вторых частных производных ( Матрица Гессе ) неособо, то б называется невырожденная критическая точка; если гессиан особый, то б это вырожденная критическая точка.

Для функций

{ displaystyle f (x) = a + bx + cx ^ {2} + dx ^ {3} + cdots}

из р к р, ж имеет критическую точку в начале координат, если б = 0, который невырожден, если c ≠ 0 (т.е. ж имеет форму а + сх² + ...) и вырождаются, если c = 0 (т.е. ж имеет форму а + dx³ + ...). Менее тривиальный пример вырожденной критической точки - это начало седло обезьяны.

В индекс невырожденной критической точки б из ж - размерность наибольшего подпространства касательное пространство к M в б на котором гессен отрицательно определенный. Это соответствует интуитивному представлению о том, что индекс - это количество направлений, в которых ж уменьшается. Вырождение и индекс критической точки не зависят от выбора используемой локальной системы координат, как показано Закон Сильвестра.

Лемма Морса

Позволять б - невырожденная критическая точка ж : M → р. Тогда существует Диаграмма (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) в район U из б такой, что ${ displaystyle x_ {i} (b) = 0}$ для всех я и

{ displaystyle f (x) = f (b) -x_ {1} ^ {2} - cdots -x _ { alpha} ^ {2} + x _ { alpha +1} ^ {2} + cdots + х_ {п} ^ {2}}

на протяжении U. Здесь ${ displaystyle alpha}$ равен индексу ж в б. Как следствие леммы Морса, невырожденные критические точки изолированные. (Относительно расширения сложного домена см. Комплексная лемма Морса. Для обобщения см. Лемма Морса – Пале. ).

Основные теоремы

Гладкая вещественнозначная функция на многообразии M это Функция Морса если у него нет вырожденных критических точек. Основной результат теории Морса гласит, что почти все функции являются функциями Морса. Технически функции Морса образуют открытое плотное подмножество всех гладких функций. M → р в C² топология. Иногда это выражается как «типичная функция Морзе» или « общий функция Морзе ".

Как указывалось ранее, нас интересует вопрос, когда топология M^а = ж⁻¹(−∞, а] изменяется как а меняется. Половину ответа на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Предполагать ж - гладкая вещественнозначная функция на M, а < б, ж⁻¹[а, б] является компактный, а между а и б. потом M^а является диффеоморфный к M^б, и M^б деформация втягивается на M^а.

Также интересно узнать, как топология M^а меняется, когда а проходит критическую точку. Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.

Теорема. Предполагать ж - гладкая вещественнозначная функция на M и п является невырожденной критической точкой ж индекса γ, и что ж(п) = q. Предполагать ж⁻¹[q - ε,q + ε] компактно и не содержит критических точек, кроме п. потом M^{q+ ε} является гомотопический эквивалент к M^q−ε с присоединенной γ-клеткой.

Эти результаты обобщают и формализуют «правило», изложенное в предыдущем разделе.

Используя два предыдущих результата и тот факт, что функция Морса существует на любом дифференцируемом многообразии, можно доказать, что любое дифференцируемое многообразие является CW-комплексом с п-ячейка для каждой критической точки индекса п. Для этого нужен технический факт, что можно организовать одну критическую точку на каждом критическом уровне, что обычно подтверждается с помощью градиентные векторные поля переставить критические точки.

Неравенства Морса

Теория Морса может быть использована для доказательства некоторых сильных результатов о гомологиях многообразий. Число критических точек индекса γ системы ж : M → р равно количеству γ-ячеек в структуре CW на M полученный от "лазания" ж. Используя тот факт, что альтернирующая сумма рангов групп гомологий топологического пространства равна альтернированной сумме рангов цепных групп, из которых вычисляются гомологии, затем используя клеточные цепные группы (см. клеточная гомология ) ясно, что Эйлерова характеристика ${ Displaystyle чи (М)}$ равно сумме

{ Displaystyle сумма (-1) ^ { гамма} С ^ { гамма} , = чи (М)}

куда C^γ - количество критических точек индекса γ. Также по клеточной гомологии ранг п^th группа гомологий CW комплекса M меньше или равно количеству п-ячейки в M. Следовательно, ранг γ^th группа гомологий, т. е. Бетти число ${ displaystyle b _ { gamma} (М)}$ , меньше или равно количеству критических точек индекса γ функции Морса на M. Эти факты можно усилить, чтобы получить Неравенства Морса:

{ Displaystyle C ^ { gamma} -C ^ { gamma -1} pm cdots + (- 1) ^ { gamma} C ^ {0} geq b _ { gamma} (M) -b_ { gamma -1} (M) pm cdots + (- 1) ^ { gamma} b_ {0} (M).}

В частности, для любых

{ Displaystyle гамма в {0, точки, п = тусклый М },}

надо

{ displaystyle C ^ { gamma} geq b _ { gamma} (M).}

Это дает мощный инструмент для изучения топологии многообразий. Предположим, что на замкнутом многообразии существует функция Морса ж : M → р с точно k критические точки. Каким образом существование функции ж ограничивать M? Дело k = 2 был изучен Жорж Риб в 1952 г .; то Теорема Риба о сфере утверждает, что M гомеоморфен сфере ${ Displaystyle S ^ {п}}$ . Дело k = 3 возможно только в небольшом количестве малых размерностей, и M гомеоморфен Многообразие Иллса – Койпера В 1982 г. Эдвард Виттен разработал аналитический подход к неравенствам Морса, рассматривая комплекс де Рама для возмущенного оператора ${ displaystyle d_ {t} = e ^ {- tf} de ^ {tf}.}$ ^[1]^[2]

Приложение к классификации замкнутых двумерных многообразий

Теория Морса использовалась для классификации замкнутых двумерных многообразий с точностью до диффеоморфизма. Если M ориентирован, то M классифицируется по роду грамм и диффеоморфен сфере с грамм обрабатывает: таким образом, если грамм = 0, M диффеоморфен 2-сфере; и если грамм > 0, M диффеоморфен связанная сумма из грамм 2-торы. Если N неориентируемый, классифицируется по номеру грамм > 0 и диффеоморфен связной сумме грамм реальные проективные пространства RP². В частности, два замкнутых 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны.^[3]^[4]^[5]

Гомологии Морса

Гомологии Морса это особенно простой способ понять гомология из гладкие многообразия. Он определяется с использованием общего выбора функции Морса и Риманова метрика. Основная теорема состоит в том, что полученные гомологии являются инвариантом многообразия (т. Е. Не зависят от функции и метрики) и изоморфны сингулярным гомологиям многообразия; отсюда следует, что морсовские и особые Бетти числа соглашается и дает немедленное доказательство неравенств Морса. Бесконечномерный аналог гомологий Морса в симплектическая геометрия известен как Гомология Флоера.

Теория Морса – Ботта

Понятие функции Морса можно обобщить для рассмотрения функций, которые имеют невырожденные многообразия критических точек. А Функция Морса – Ботта - гладкая функция на многообразии, критический набор является замкнутым подмногообразием, гессиан которого невырожден по нормали. (Эквивалентно, ядро гессиана в критической точке равно касательному пространству к критическому подмногообразию.) Функция Морса - это частный случай, когда критические многообразия нульмерны (так что гессиан в критических точках невырожден во всех направление, т.е. не имеет ядра).

Индекс наиболее естественно рассматривать как пару

{ displaystyle (я _ {-}, я _ {+}),}

куда ${ displaystyle i _ {-}}$ - размерность неустойчивого многообразия в данной точке критического многообразия, а ${ displaystyle i _ {+}}$ равно ${ displaystyle i _ {-}}$ плюс размер критического коллектора. Если функция Морса – Ботта возмущается малой функцией на критическом множестве, то индекс всех критических точек возмущенной функции на критическом многообразии невозмущенной функции будет лежать между ${ displaystyle i _ {-}}$ и ${ displaystyle i _ {+}}$ .

Функции Морса – Ботта полезны, потому что с общими функциями Морса трудно работать; функции, которые можно визуализировать и с помощью которых можно легко вычислить, обычно имеют симметрии. Они часто приводят к критическим многообразиям положительной размерности. Рауль Ботт использовал теорию Морса – Ботта в своем первоначальном доказательстве Теорема периодичности Ботта.

Круглые функции являются примерами функций Морса – Ботта, где критические множества представляют собой (непересекающиеся объединения) окружности.

Гомологии Морса можно также сформулировать для функций Морса – Ботта; дифференциал в гомологиях Морса – Ботта вычисляется с помощью спектральная последовательность. Фредерик Буржуа набросал подход в ходе своей работы над версией симплектической теории поля Морса – Ботта, но эта работа так и не была опубликована из-за существенных аналитических трудностей.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Ботт, Рауль (1988). "Неукротимая теория Морса". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 68: 99–114. Дои:10.1007 / bf02698544.
Ботт, Рауль (1982). «Лекции по теории Морса, старые и новые». Бюллетень Американского математического общества. (Н.С.). 7 (2): 331–358. Дои:10.1090 / s0273-0979-1982-15038-8.
Кэли, Артур (1859). «По изолинии и наклонным линиям» (PDF). Философский журнал. 18 (120): 264–268.
Гость, Мартин (2001). «Теория Морса в 1990-е годы». arXiv:математика / 0104155. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
Хирш, М. (1994). Дифференциальная топология (2-е изд.). Springer.
Мацумото, Юкио (2002). Введение в теорию Морса.
Максвелл, Джеймс Клерк (1870). «На холмах и долинах» (PDF). Философский журнал. 40 (269): 421–427.
Милнор, Джон (1963). Теория Морса. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9. Классический справочник по математике и математической физике.
Милнор, Джон (1965). Лекции по теореме о h-кобордизме (PDF).
Морс, Марстон (1934). Вариационное исчисление в целом. Публикация коллоквиума Американского математического общества. 18. Нью-Йорк.
Шварц, Маттиас (1993). Гомологии Морса. Birkhäuser.

[1] Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса». J. Differential Geom. 17 (4): 661–692. Дои:10.4310 / jdg / 1214437492.

[2] Роу, Джон (1998). Эллиптические операторы, топология и асимптотический метод. Pitman Research Notes in Mathematics Series. 395 (2-е изд.). Лонгман. ISBN 0582325021.

[3] Смейл 1994^{[требуется полная цитата ]}

[4] Голд, Дэвид Б. (1982). Дифференциальная топология: введение. Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. 72. Марсель Деккер. ISBN 0824717090.

[5] Шастри, Анант Р. (2011). Элементы дифференциальной топологии. CRC Press. ISBN 9781439831601.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]