Кубические соты Порядка-6 - Википедия - Order-6 cubic honeycomb

Заказать-6 соты куб.
Перспективная проекция Посмотреть в Модель диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	{4,3,6} {4,3[3]}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔
Клетки	{4,3}
Лица	квадрат {4}
Край фигура	шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольная черепица
Группа Кокстера	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Двойной	Гексагональные черепичные соты Order-4
Характеристики	Обычный, квазирегулярный

В порядка-6 кубических сот паракомпакт обычный заполнение пространства мозаика (или же соты ) в гиперболическое 3-пространство. это паракомпакт поскольку она имеет фигуры вершин состоящий из бесконечного числа граней, все вершины которых имеют вид идеальные точки на бесконечности. С Символ Шлефли {4,3,6} в сотах шесть идеальный кубики встречаются по каждому краю. Его вершина фигуры бесконечный треугольная черепица. Его двойной это гексагональные черепичные соты порядка 4.

А геометрические соты это заполнение пространства из многогранник или многомерный клетки, чтобы не было зазоров. Это пример более общего математического черепица или же мозаика в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся из обычных Евклидово ("плоское") пространство, как и выпуклые однородные соты. Они также могут быть построены в неевклидовы пространства, Такие как гиперболические однородные соты. Любой конечный равномерный многогранник можно спроецировать на его окружающая сфера образовывать однородные соты в сферическом пространстве.

Изображений

Одна ячейка вне модели сферы Пуанкаре

Кубические соты порядка 6 аналогичны двумерным гиперболическим сотам. квадратная мозаика бесконечного порядка, {4, ∞} с квадратными гранями. Все вершины лежат на идеальной поверхности.

Симметрия

Полусимметричная конструкция кубических сот порядка 6 существует как {4,3^[3]}, с двумя чередующимися типами (цветами) кубических ячеек. Эта конструкция имеет Диаграмма Кокстера-Дынкина ↔ .

Другая конструкция с более низкой симметрией [4,3^*, 6] индекса 6 существует с несимплексной фундаментальной областью с Диаграмма Кокстера-Дынкина .

Эти соты содержат эта плитка 2-гиперцикл поверхности, похожие на паракомпакт апейрогональная мозаика порядка 3, :

Связанные многогранники и соты

Кубические соты порядка 6 - это обычные гиперболические соты в 3-м пространстве и один из 11 паракомпактных.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Это связано с чередование соты, представленные ↔ . Эта альтернативная форма имеет шестиугольная черепица и тетраэдр клетки.

Есть пятнадцать однородных сот в [6,3,4] Группа Кокстера семья, в том числе порядка -6 соток сама куб.

[6,3,4] семейные соты
{6,3,4}	г {6,3,4}	т {6,3,4}	рр {6,3,4}	т0,3{6,3,4}	tr {6,3,4}	т0,1,3{6,3,4}	т0,1,2,3{6,3,4}
{4,3,6}	г {4,3,6}	т {4,3,6}	рр {4,3,6}	2т {4,3,6}	tr {4,3,6}	т0,1,3{4,3,6}	т0,1,2,3{4,3,6}

Кубические соты порядка 6 являются частью последовательности регулярная полихора и соты с кубический клетки.

{4,3, п} соты обыкновенные
Космос	S3	E3	ЧАС3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3,∞}
Изображение
Вершина фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Он также является частью последовательности сот с треугольная черепица фигуры вершин.

Гиперболические однородные соты: {p, 3,6}

Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Ректифицированный порядок-6 куб. Соты

Ректифицированный порядок-6 куб. Соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	г {4,3,6} или т1{4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	г {3,4} {3,6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Фигура вершины	шестиугольная призма
Группы Кокстера	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$, [3[]×[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный

В выпрямленный порядок-6 кубических сот, г {4,3,6}, имеет кубооктаэдр и треугольная черепица грани, с шестиугольная призма вершина фигуры.

Он похож на двумерный гиперболический тетраапейрогональная мозаика, г {4, ∞}, чередование апейрогональных и квадратных граней:

г {р, 3,6}

• v
• т
• е

Космос	ЧАС3
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	г {3,3,6}	г {4,3,6}	г {5,3,6}	г {6,3,6}	г {7,3,6}	... г {∞, 3,6}
Изображение
Клетки {3,6}	г {3,3}	г {4,3}	г {5,3}	г {6,3}	г {7,3}	г {∞, 3}

Усеченный порядок-6 кубических сот

Усеченный порядок-6 кубических сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	т {4,3,6} или т0,1{4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т {4,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	шестиугольная пирамида
Группы Кокстера	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченный порядок-6 кубических сот, т {4,3,6}, имеет усеченный куб и треугольная черепица грани, с шестиугольная пирамида вершина фигуры.

Он похож на двумерный гиперболический усеченная квадратная мозаика бесконечного порядка, t {4, ∞}, с апейрогональными и восьмиугольными (усеченный квадрат) гранями:

Bitruncated порядка-6 кубических сот

В bitruncated порядка-6 кубических сот такой же, как гексагональные черепичные соты с усеченным битом порядка 4.

Квантовые соты кубические порядка 6

Квантовые соты кубические порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	rr {4,3,6} или t0,2{4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	рр {4,3} г {3,6} {} x {6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	клин
Группы Кокстера	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В скошенный порядок-6 кубические соты, rr {4,3,6}, имеет ромбокубооктаэдр, трехгексагональная черепица, и шестиугольная призма грани, с клин вершина фигуры.

Cantitruncated порядка-6 кубических сот

Cantitruncated порядка-6 кубических сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	tr {4,3,6} или t0,1,2{4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	tr {4,3} т {3,6} {} x {6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченный порядок-6 кубических сот, tr {4,3,6}, имеет усеченный кубооктаэдр, шестиугольная черепица, и шестиугольная призма грани, с зеркальная клиновидная кость вершина фигуры.

Сотовый бункер порядка 6 кубических сот

В runcinated order-6 кубические соты такой же, как гексагональные черепичные соты runcinated order-4.

Runcitruncated порядка-6 кубических сот

Квантовые соты кубические порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	т0,1,3{4,3,6}
Диаграммы Кокстера
Клетки	т {4,3} р-р {3,6} {} x {6} {} x {8}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидный пирамида
Группы Кокстера	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченный порядок-6 кубических сот, rr {4,3,6}, имеет усеченный куб, ромбитогексагональная черепица, шестиугольная призма, и восьмиугольная призма граней, с равнобедренно-трапециевидный пирамида вершина фигуры.

Сотовидные соты типа Runcicantellated порядка 6

В кубические соты порядка 6 такой же, как усеченная гексагональная черепичная сотовая структура порядка 4.

Омнитусеченный порядок-6 кубических сот

В омниусеченные кубические соты порядка 6 такой же, как многослойные шестиугольные мозаичные соты порядка 4.

Чередование порядка-6 кубических сот

Чередование порядка-6 кубических сот
Тип	Паракомпактные однородные соты Полуправильные соты
Символ Шлефли	ч {4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{3,3} {3,6}
Лица	треугольник {3}
Фигура вершины	трехгексагональная черепица
Группа Кокстера	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$, [3[]Икс[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный, квазирегулярный

В трехмерной гиперболической геометрии гексагональные черепичные соты с чередованием порядка 6 равномерное компактное пространство, заполняющее мозаика (или же соты ). Как чередование, с Символ Шлефли h {4,3,6} и Диаграмма Кокстера-Дынкина или же , это можно считать квазирегулярные соты, чередование треугольные мозаики и тетраэдры вокруг каждой вершины в трехгексагональная черепица фигура вершины.

Симметрия

Построение полусимметрии из вида {4,3^[3]} существует с двумя чередующимися типами (цветами) треугольных мозаичных ячеек. Эта форма имеет Диаграмма Кокстера-Дынкина ↔ . Другая форма индекса 6 с более низкой симметрией [4,3^*, 6], существует с не симплексной фундаментальной областью, с Диаграмма Кокстера-Дынкина .

Связанные соты

Чередующиеся кубические соты порядка 6 являются частью серии квазирегулярный полихора и соты.

Квазирегулярные полихоры и соты: h {4, p, q}
Космос	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт
Schläfli символ	ч {4,3,3}	ч {4,3,4}	ч {4,3,5}	ч {4,3,6}	ч {4,4,3}	ч {4,4,4}
	${ Displaystyle влево {3, {3 наверху 3} вправо }}$	${ Displaystyle left {3, {4 наверху 3} right }}$	${ Displaystyle left {3, {5 наверху 3} right }}$	${ Displaystyle left {3, {6 наверху 3} right }}$	${ Displaystyle влево {4, {4 наверху 3} вправо }}$	${ displaystyle left {4, {4 наверху 4} right }}$
Coxeter диаграмма	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Изображение
Вершина фигура г {р, 3}

Он также имеет 3 связанные формы: cantic order-6 кубические соты, ч₂{4,3,6}, ; то runcic order-6 кубические соты, ч₃{4,3,6}, ; и runcicantic order-6 кубические соты, ч_2,3{4,3,6}, .

Cantic order-6 кубические соты

Cantic order-6 кубические соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	час2{4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	т {3,3} г {6,3} т {3,6}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	прямоугольный пирамида
Группа Кокстера	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$, [3[]Икс[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В cantic order-6 кубические соты равномерное компактное пространство, заполняющее мозаика (или же соты ) с Символ Шлефли час₂{4,3,6}. Он состоит из усеченный тетраэдр, трехгексагональная черепица, и шестиугольная черепица грани, с прямоугольный пирамида вершина фигуры.

Runcic order-6 кубические соты

Runcic order-6 кубические соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	час3{4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3,3} {6,3} рр {6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольный купол
Группа Кокстера	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В runcic order-6 кубические соты равномерное компактное пространство, заполняющее мозаика (или же соты ) с Символ Шлефли час₃{4,3,6}. Он состоит из тетраэдр, шестиугольная черепица, и ромбитогексагональная черепица грани, с треугольный купол вершина фигуры.

Runcicantic order-6 кубические соты

Runcicantic order-6 кубические соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	час2,3{4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т {6,3} tr {6,3} т {3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группа Кокстера	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В runcicantic order-6 кубические соты равномерное компактное пространство, заполняющее мозаика (или же соты ), с Символ Шлефли час_2,3{4,3,6}. Он состоит из усеченная шестиугольная мозаика, усеченная трехгексагональная мозаика, и усеченный тетраэдр грани, с зеркальная клиновидная кость вершина фигуры.

Смотрите также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

Рекомендации

• Coxeter, Правильные многогранники, 3-й. изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
• Джеффри Р. Уикс Форма космоса, 2-е издание ISBN  0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
• Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера