Теорема Петре - Peetre theorem

В математика, (линейный) Теорема Петре, названный в честь Яак Питре, является результатом функциональный анализ что дает характеристику дифференциальные операторы с точки зрения их влияния на обобщенные функциональные пространства, и без упоминания дифференциация в явном виде. Теорема Петре является примером теорема конечного порядка в котором функция или функтор, определенный в очень общем виде, на самом деле может быть показан как полином из-за наложенного на него какого-то постороннего условия или симметрии.

В этой статье рассматриваются две формы теоремы Петре. Первая - это оригинальная версия, которая, хотя и весьма полезна сама по себе, на самом деле является слишком общей для большинства приложений.

Оригинальная теорема Петре

Позволять M быть гладкое многообразие и разреши E и F быть двумя векторные пучки на M. Позволять

{ Displaystyle Gamma ^ { infty} (E), { hbox {и}} Gamma ^ { infty} (F)}

быть пространствами гладкие участки из E и F. An оператор

{ Displaystyle D: Gamma ^ { infty} (E) rightarrow Gamma ^ { infty} (F)}

это морфизм пучков линейный на таких участках, что поддерживать из D является невозрастающий: Supp Ds ⊆ Supp s на каждый гладкий участок s из E. Исходная теорема Петре утверждает, что для каждой точки п в M, есть район U из п и целое число k (в зависимости от U) такие, что D это дифференциальный оператор порядка k над U. Это означает, что D факторы через линейное отображение я_D от k-струя секций из E в пространство гладких участков F:

{ displaystyle D = i_ {D} circ j ^ {k}}

куда

{ displaystyle j ^ {k}: Gamma ^ { infty} E rightarrow J ^ {k} E}

это kоператор струи и

{ displaystyle i_ {D}: J ^ {k} E rightarrow F}

является линейным отображением векторных расслоений.

Доказательство

Задача инвариантна относительно локального диффеоморфизма, поэтому достаточно доказать ее, когда M это открытый набор в р^п и E и F являются тривиальными расслоениями. Здесь в основном используются две леммы:

Лемма 1. Если условия теоремы выполнены, то для каждого Икс∈M и C > 0 существует окрестность V из Икс и положительное целое число k такой, что для любого у∈V\{Икс} и для любого раздела s из E чей k-джет исчезает при у (j^ks(у) = 0) имеем |Ds(у) | <С.
Лемма 2. Первой леммы достаточно для доказательства теоремы.

Начнем с доказательства леммы 1.

Предположим, что лемма неверна. Тогда есть последовательность Икс_k стремясь к Икс, и последовательность очень непересекающихся шаров B_k вокруг Икс_k (это означает, что геодезическое расстояние между любыми двумя такими шарами не равно нулю), а сечения s_k из E по каждому B_k такой, что j^ks_k(Икс_k) = 0, но |Ds_k(Икс_k) | ≥C> 0.

Пусть ρ (Икс) обозначают стандарт функция удара для единичного шара в начале координат: гладкая вещественнозначная функция, равная 1 на B_1/2(0), которая обращается в нуль в бесконечном порядке на границе единичного шара.

Рассмотрим все остальные разделы s_2k. В Икс_2kэти удовлетворяют

j^2ks_2k(Икс_2k)=0.

Предположим, что 2k дано. Тогда, поскольку эти функции гладкие и каждая удовлетворяет j^2k(s_2k)(Икс_2k) = 0, можно указать меньший шар B ′_δ(Икс_2k) такие, что производные высших порядков подчиняются следующей оценке:

{ displaystyle sum _ {| alpha | leq k} sup _ {y in B '_ { delta} (x_ {2k})} | nabla ^ { alpha} s_ {k} ( y) | leq { frac {1} {M_ {k}}} left ({ frac { delta} {2}} right) ^ {k}}

куда

{ displaystyle M_ {k} = sum _ {| alpha | leq k} sup | nabla ^ { alpha} rho |.}

Сейчас же

{ displaystyle rho _ {2k} (y): = rho left ({ frac {y-x_ {2k}} { delta}} right)}

стандартная функция удара, поддерживаемая в B ′_δ(Икс_2k), а производная от произведения s_2kρ_2k ограничено таким образом, что

{ displaystyle max _ {| alpha | leq k} sup _ {y in B '_ { delta} (x_ {2k})} | nabla ^ { alpha} ( rho _ { 2k} s_ {2k}) | leq 2 ^ {- k}.}

В результате, поскольку следующий ряд и все частные суммы его производных сходятся равномерно

{ displaystyle q (y) = sum _ {k = 1} ^ { infty} rho _ {2k} (y) s_ {2k} (y),}

q(у) - гладкая функция на всех V.

Заметим, что поскольку s_2k и

{ displaystyle rho}

_2ks_2k равны в окрестности Икс_2k,

{ displaystyle lim _ {k rightarrow infty} | Dq (x_ {2k}) | geq C}

Итак, по преемственности |Dq(Икс) | ≥ C> 0. С другой стороны,

{ Displaystyle lim _ {к rightarrow infty} Dq (x_ {2k + 1}) = 0}

поскольку Dq(Икс_{2к + 1}) = 0, поскольку q тождественно нулю в B_{2к + 1} и D поддержка не увеличивается. Так Dq(Икс) = 0. Получили противоречие.

Докажем лемму 2.

Во-первых, откажемся от постоянной C из первой леммы. Покажем, что при тех же условиях, что и в лемме 1, | Ds (y) | = 0. Выберите у в V\{Икс} так что j^ks(y) = 0, но |Ds(у)|=грамм> 0. Масштабировать s в 2 разаC/грамм. Тогда если грамм отлична от нуля в силу линейности D, |Ds(у)|=2C>C, что невозможно по лемме 1. Это доказывает теорему в проколотой окрестности V\{Икс}.

Теперь мы должны продолжить дифференциальный оператор до центральной точки Икс в проколотом районе. D - линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами. Кроме того, он переводит ростки гладких функций в ростки гладких функций в Икс также. Таким образом, коэффициенты при D также гладкие на Икс.

Специализированное приложение

Позволять M быть компактный гладкое многообразие (возможно, с граница ), и E и F быть конечномерным векторные пучки на M. Позволять

{ Displaystyle Gamma ^ { infty} (E)}

быть собранием гладкие участки из E. An оператор

{ Displaystyle D: Gamma ^ { infty} (E) rightarrow Gamma ^ { infty} (F)}

является гладкой функцией (от Многообразия Фреше ), который является линейным на волокнах и учитывает базовую точку на M:

{ displaystyle pi circ D_ {p} = p.}

Теорема Петре утверждает, что для каждого оператора D, существует целое число k такой, что D это дифференциальный оператор порядка k. В частности, мы можем разложить

{ displaystyle D = i_ {D} circ j ^ {k}}

куда ${ displaystyle i_ {D}}$ отображение из струи разделов E в связку F. Смотрите также внутренние дифференциальные операторы.

Пример: лапласиан

Рассмотрим следующий оператор:

{ displaystyle (Lf) (x_ {0}) = lim _ {r to 0} { frac {2d} {r ^ {2}}} { frac {1} {| S_ {r} |} } int _ {S_ {r}} (f (x) -f (x_ {0})) dx}

куда ${ Displaystyle е в С ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {d})}$ и ${ displaystyle S_ {r}}$ сфера с центром в ${ displaystyle x_ {0}}$ с радиусом ${ displaystyle r}$ . Фактически это лапласиан. Мы покажем покажем ${ displaystyle L}$ является дифференциальным оператором по теореме Петра. Основная идея заключается в том, что поскольку ${ displaystyle Lf (x_ {0})}$ определяется только с точки зрения ${ displaystyle f}$ поведение рядом с ${ displaystyle x_ {0}}$ , носит локальный характер; в частности, если ${ displaystyle f}$ локально нулю, так же ${ displaystyle Lf}$ , а значит, поддержка не может расти.

Техническое доказательство выглядит следующим образом.

Позволять ${ Displaystyle M = mathbb {R} ^ {d}}$ и ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle F}$ быть званием ${ displaystyle 1}$ тривиальные связки.

потом ${ Displaystyle Gamma ^ { infty} (E)}$ и ${ Displaystyle Gamma ^ { infty} (F)}$ просто пространство ${ Displaystyle С ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {d})}$ гладких функций на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ . Как связка, ${ Displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ - множество гладких функций на открытом множестве ${ displaystyle U}$ а ограничение - это ограничение функции.

Чтобы увидеть ${ displaystyle L}$ действительно морфизм, нам нужно проверить ${ Displaystyle (Lu) | V = L (и | V)}$ для открытых наборов ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ такой, что ${ Displaystyle V substeq U}$ и ${ Displaystyle и в С ^ { infty} (U)}$ . Это ясно, потому что для ${ displaystyle x in V}$ , обе ${ Displaystyle [(Лу) | V] (х)}$ и ${ Displaystyle [L (и | V)] (х)}$ просто ${ displaystyle lim _ {r to 0} { frac {2d} {r ^ {2}}} { frac {1} {| S_ {r} |}} int _ {S_ {r}} (u (y) -u (x)) dy}$ , как ${ displaystyle S_ {r}}$ в конце концов сидит внутри обоих ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ так или иначе.

Легко проверить, что ${ displaystyle L}$ линейно:

{ Displaystyle L (е + г) = L (е) + L (г)}

и

{ Displaystyle L (af) = aL (f)}

Наконец, мы проверяем, что ${ displaystyle L}$ является локальным в том смысле, что ${ displaystyle suppLf substeq suppf}$ . Если ${ displaystyle x_ {0} notin supp (f)}$ , тогда ${ Displaystyle существует г> 0}$ такой, что ${ displaystyle f = 0}$ в шаре радиуса ${ displaystyle r}$ сосредоточен на ${ displaystyle x_ {0}}$ . Таким образом, для ${ displaystyle x in B (x_ {0}, r)}$ ,

{ displaystyle int _ {S_ {r '}} (f (y) -f (x)) dy = 0}

за ${ displaystyle r '$ , и поэтому ${ Displaystyle (Lf) (х) = 0}$ .Следовательно, ${ displaystyle x_ {0} notin suppLf}$ .

Итак, по теореме Петре, ${ displaystyle L}$ - дифференциальный оператор.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Теорема Петре - Peetre theorem

Содержание

Оригинальная теорема Петре

Доказательство

Специализированное приложение

Пример: лапласиан

Рекомендации