Матрицы Паули - Pauli matrices

Вольфганг Паули (1900–1958), ок. 1924 г. Паули получил Нобелевская премия по физике в 1945 г. выдвинут Альберт Эйнштейн, для Принцип исключения Паули.

В математическая физика и математика, то Матрицы Паули набор из трех $2 \times 2$ сложный матрицы которые Эрмитский и унитарный.^[1] Обычно обозначается Греческий письмо сигма ( $σ$ ), иногда их обозначают тау ( $τ$ ) при использовании в сочетании с изоспин симметрии. Они есть

{displaystyle {egin {align} sigma _ {1} = sigma _ {x} & = {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}} sigma _ {2} = sigma _ {y} & = {egin {pmatrix } 0 & -i i & 0end {pmatrix}} sigma _ {3} = sigma _ {z} & = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1end {pmatrix}} ,. end {выровнено}}}

Эти матрицы названы в честь физика Вольфганг Паули. В квантовая механика, они встречаются в Уравнение Паули который учитывает взаимодействие вращение частицы с внешним электромагнитное поле.

Каждая матрица Паули Эрмитский, и вместе с единичной матрицей $я$ (иногда рассматривается как нулевая матрица Паули $σ 0$ ) матрицы Паули образуют основа на самом деле векторное пространство из $2 \times 2$ Эрмитовы матрицы. Это означает, что любой $2 \times 2$ Эрмитова матрица может быть записан уникальным способом как линейная комбинация матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.

Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых $2$ -мерный комплекс Гильбертово пространство. В контексте работы Паули $σ k$ представляет собой наблюдаемую, соответствующую спину вдоль $k$ ось координат в трехмерном Евклидово пространство $ℝ 3$ .

Матрицы Паули (после умножения на $я$ сделать их антиэрмитский ) также порождают преобразования в смысле Алгебры Ли: матрицы $я 1, я 2, я 3$ составляют основу действительной алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {su}} (2)}$ , который потенцирует в особую унитарную группу SU (2).^{[nb 1]} В алгебра генерируется тремя матрицами $σ 1, σ 2, σ 3$ является изоморфный к Алгебра Клиффорда из $ℝ 3$ , и (ассоциативная с единицей) алгебра, порожденная $я 1, я 2, я 3$ изоморфен кватернионы.

Алгебраические свойства

Все три матрицы Паули можно сжать в одно выражение:

{displaystyle sigma _ {a} = {egin {pmatrix} delta _ {a3} & delta _ {a1} -idelta _ {a2} delta _ {a1} + idelta _ {a2} & - delta _ {a3} end { pmatrix}}}

куда $я = \sqrt -1$ это мнимая единица, и $δ ab$ это Дельта Кронекера, что равно +1, если $а = б$ и 0 в противном случае. Это выражение полезно для "выбора" любой из матриц численно путем подстановки значений $а = 1, 2, 3$ , что, в свою очередь, полезно, когда любая из матриц (но не конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.

Матрицы инволютивный:

{displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = sigma _ {2} ^ {2} = sigma _ {3} ^ {2} = - isigma _ {1} sigma _ {2} sigma _ {3} = { egin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1end {pmatrix}} = I}

куда $я$ это единичная матрица.

В детерминанты и следы матриц Паули:

{displaystyle {egin {align} det sigma _ {i} & = - 1, operatorname {tr} sigma _ {i} & = 0.end {align}}}

Из чего мы можем сделать вывод, что собственные значения каждого $σ я$ находятся $\pm1$ .

С учетом единичной матрицы $я$ (иногда обозначается $σ 0$ ) матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта-Шмидта ) реальных Гильбертово пространство из $2 \times 2$ комплексные эрмитовы матрицы, ${displaystyle {mathcal {H}} _ {2} (mathbb {C})}$ , а комплексное гильбертово пространство всех $2 \times 2$ матрицы, ${displaystyle {mathcal {M}} _ {2,2} (mathbb {C})}$ .

Собственные векторы и собственные значения

Каждый из (Эрмитский ) Матрицы Паули имеют две собственные значения, $+1$ и $-1$ . Используя соглашение, согласно которому перед нормализацией, 1 помещается в верхнюю и нижнюю позиции волновых функций + и - соответственно, соответствующие нормализованный собственные векторы находятся:

{displaystyle {egin {выравнивается} psi _ {x +} & = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 1end {pmatrix}}, & psi _ {x -} & = {frac { 1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 -1end {pmatrix}}, psi _ {y +} & = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 iend {pmatrix}}, & psi _ {y -} & = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 -iend {pmatrix}}, psi _ {z +} & = {egin {pmatrix} 1 0end {pmatrix}}, & psi _ {z -} & = {egin {pmatrix} 0 1end {pmatrix}}. end {выравнивается}}}

Преимущество использования этого соглашения состоит в том, что волновые функции + и - могут быть связаны друг с другом, используя сами матрицы Паули, посредством ${displaystyle {{psi} _ {x +}} = i {{sigma} _ {y}} {{psi} _ {x-}}}$ , ${displaystyle {{psi} _ {y +}} = {{sigma} _ {z}} {{psi} _ {y-}}}$ и ${displaystyle {{psi} _ {z +}} = {{sigma} _ {x}} {{psi} _ {z-}}}$ .

Вектор Паули

Вектор Паули определяется как^{[nb 2]}

{displaystyle {vec {sigma}} = sigma _ {1} {hat {x}} + sigma _ {2} {hat {y}} + sigma _ {3} {hat {z}}}

и обеспечивает механизм отображения от векторного базиса к матричному базису Паули^[2] следующее,

{displaystyle {egin {align} {vec {a}} cdot {vec {sigma}} & = left (a_ {i} {hat {x}} _ {i} ight) cdot left (sigma _ {j} {hat {x}} _ {j} ight) = a_ {i} sigma _ {j} {hat {x}} _ {i} cdot {hat {x}} _ {j} & = a_ {i} sigma _ {j} delta _ {ij} = a_ {i} sigma _ {i} = {egin {pmatrix} a_ {3} & a_ {1} -ia_ {2} a_ {1} + ia_ {2} & - a_ {3} конец {pmatrix}} конец {выровнено}}}

с использованием соглашение о суммировании. Дальше,

{displaystyle det {vec {a}} cdot {vec {sigma}} = - {vec {a}} cdot {vec {a}} = - left | {vec {a}} ight | ^ {2},}

его собственные значения ${displaystyle pm | {vec {a}} |}$ , и более того (см. полноту ниже)

{displaystyle {frac {1} {2}} operatorname {tr} left (left ({vec {a}} cdot {vec {sigma}} ight) {vec {sigma}} ight) = {vec {a}} ~ .}

Его нормированные собственные векторы:

{displaystyle psi _ {+} = {frac {1} {sqrt {2 | {vec {a}} | (a_ {3} + | {vec {a}} |)}}} {egin {pmatrix} a_ { 3} + | {vec {a}} | a_ {1} + ia_ {2} end {pmatrix}}; qquad psi _ {-} = {frac {1} {sqrt {2 | {vec {a}} | (a_ {3} + | {vec {a}} |)}}} {egin {pmatrix} ia_ {2} -a_ {1} a_ {3} + | {vec {a}} | end {pmatrix }}.}

Коммутационные отношения

Матрицы Паули подчиняются следующему коммутация связи:

{displaystyle [sigma _ {a}, sigma _ {b}] = 2ivarepsilon _ {abc}, sigma _ {c} ,,}

и антикоммутация связи:

{displaystyle {sigma _ {a}, sigma _ {b}} = 2delta _ {ab}, I.}

где структурная постоянная $ε abc$ это Символ Леви-Чивита, Используются обозначения суммирования Эйнштейна, $δ ab$ это Дельта Кронекера, и $я$ это $2 \times 2$ единичная матрица.

Например,

{displaystyle {egin {align} {ext {commutators}} && {ext {anticommutators}} &, left [sigma _ {1}, sigma _ {2} ight] & = 2isigma _ {3}, & left {sigma _ {1}, sigma _ {1} ight} & = 2I, left [sigma _ {2}, sigma _ {3} ight] & = 2isigma _ {1}, & left {sigma _ {1}, sigma _ { 2} ight} & = 0, left [sigma _ {3}, sigma _ {1} ight] & = 2isigma _ {2}, & left {sigma _ {1}, sigma _ {3} ight} & = 0 , left [sigma _ {1}, sigma _ {1} ight] & = 0, & left {sigma _ {2}, sigma _ {2} ight} & = 2I,. end {выровнено}}}

Связь с точечным и кросс-произведением

Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает

{displaystyle {egin {align} left [sigma _ {a}, sigma _ {b} ight] + {sigma _ {a}, sigma _ {b}} & = (sigma _ {a} sigma _ {b} - sigma _ {b} sigma _ {a}) + (sigma _ {a} sigma _ {b} + sigma _ {b} sigma _ {a}) 2ivarepsilon _ {abc}, sigma _ {c} + 2delta _ {ab} I & = 2sigma _ {a} sigma _ {b} конец {выровнено}}}

так что,

${displaystyle sigma _ {a} sigma _ {b} = delta _ {ab} I + ivarepsilon _ {abc}, sigma _ {c} ~.}$

Договор каждая часть уравнения с компонентами двух $3$ -векторы $а п$ и $б q$ (которые коммутируют с матрицами Паули, т. е. $а п σ q = σ q а п)$ для каждой матрицы $σ q$ и компонент вектора $а п$ (и аналогично с $б q$ ) и индексы перемаркировки $а, б, c \to п, q, р$ , чтобы предотвратить конфликты обозначений, дает

{displaystyle {egin {align} a_ {p} b_ {q} sigma _ {p} sigma _ {q} & = a_ {p} b_ {q} left (ivarepsilon _ {pqr}, sigma _ {r} + delta _ {pq} Iight) a_ {p} sigma _ {p} b_ {q} sigma _ {q} & = ivarepsilon _ {pqr}, a_ {p} b_ {q} sigma _ {r} + a_ {p } b_ {q} delta _ {pq} I ~ .end {выровнено}}}

Наконец, перевод обозначения индекса для скалярное произведение и перекрестное произведение приводит к

${displaystyle left ({vec {a}} cdot {vec {sigma}} ight) left ({vec {b}} cdot {vec {sigma}} ight) = left ({vec {a}} cdot {vec {b }} ight), I + ileft ({vec {a}} imes {vec {b}} ight) cdot {vec {sigma}}}$

(1)

Если ${displaystyle i}$ отождествляется с псевдоскалярным ${displaystyle sigma _ {x} sigma _ {y} sigma _ {z}}$ тогда правая часть становится ${displaystyle acdot b + awedge b}$ что также является определением произведения двух векторов в геометрической алгебре.

Некоторые следы отношений

Следующие следы могут быть получены с использованием коммутационных и антикоммутационных соотношений.

{displaystyle {egin {align} operatorname {tr} left (sigma _ {a} ight) & = 0 operatorname {tr} left (sigma _ {a} sigma _ {b} ight) & = 2delta _ {ab} operatorname {tr} left (sigma _ {a} sigma _ {b} sigma _ {c} ight) & = 2ivarepsilon _ {abc} operatorname {tr} left (sigma _ {a} sigma _ {b} sigma _ { c} sigma _ {d} ight) & = 2left (delta _ {ab} delta _ {cd} -delta _ {ac} delta _ {bd} + delta _ {ad} delta _ {bc} ight) конец {выровнено }}}

Если матрица ${displaystyle sigma _ {0} = I}$ бросается в смесь, эти отношения становятся

{displaystyle {egin {align} operatorname {tr} left (sigma _ {alpha} ight) & = 2delta _ {0alpha} operatorname {tr} left (sigma _ {alpha} sigma _ {eta} ight) & = 2delta _ {alpha eta} operatorname {tr} left (sigma _ {alpha} sigma _ {eta} sigma _ {gamma} ight) & = 2sum _ {(alpha eta gamma)} delta _ {alpha eta} delta _ {0gamma} -4delta _ {0alpha} delta _ {0 eta} delta _ {0gamma} + 2ivarepsilon _ {0alpha eta gamma} operatorname {tr} left (sigma _ {alpha} sigma _ {eta} sigma _ {gamma} sigma _ { mu} ight) & = 2left (delta _ {alpha eta} delta _ {gamma mu} -delta _ {alpha gamma} delta _ {eta mu} + delta _ {alpha mu} delta _ {eta gamma} ight) + 4left (delta _ {alpha gamma} delta _ {0 eta} delta _ {0mu} + delta _ {eta mu} delta _ {0alpha} delta _ {0gamma} ight) -8delta _ {0alpha} delta _ {0 eta} delta _ {0gamma} delta _ {0mu} + 2isum _ {(alpha eta gamma mu)} varepsilon _ {0alpha eta gamma} delta _ {0mu} конец {выровнено}}}

где греческие индексы ${displaystyle alpha, eta, gamma}$ и ${displaystyle mu}$ принимать значения из ${displaystyle {0, x, y, z}}$ и обозначение ${displaystyle sum _ {(альфа ...)}}$ используется для обозначения суммы по циклическая перестановка включенных индексов.

Экспонента вектора Паули

За

{displaystyle {vec {a}} = a {hat {n}}, quad | {hat {n}} | = 1,}

у кого-то есть даже силы, ${displaystyle 2p, p = 0,1,2,3, ldots}$

{displaystyle ({hat {n}} cdot {vec {sigma}}) ^ {2p} = I}

который может быть показан первым для ${displaystyle p = 1}$ случай с использованием антикоммутационных соотношений. Для удобства корпус ${displaystyle p = 0}$ считается ${displaystyle I}$ условно.

Для странных способностей, ${displaystyle 2q + 1, q = 0,1,2,3, ldots}$

{displaystyle left ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight) ^ {2q + 1} = {hat {n}} cdot {vec {sigma}} ,.}

Матрица возведение в степень, и используя Ряд Тейлора для синуса и косинуса,

{displaystyle {egin {align} e ^ {ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} & = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {i ^ {k} left [aleft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight) ight] ^ {k}} {k!}} & = sum _ {p = 0} ^ {infty} {frac {(-1 ) ^ {p} (a {hat {n}} cdot {vec {sigma}}) ^ {2p}} {(2p)!}} + isum _ {q = 0} ^ {infty} {frac {(- 1) ^ {q} (a {hat {n}} cdot {vec {sigma}}) ^ {2q + 1}} {(2q + 1)!}} & = Isum _ {p = 0} ^ { infty} {frac {(-1) ^ {p} a ^ {2p}} {(2p)!}} + i ({hat {n}} cdot {vec {sigma}}) сумма _ {q = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {q} a ^ {2q + 1}} {(2q + 1)!}} end {выровнено}}}

.

В последней строке первая сумма - это косинус, а вторая сумма - синус; Итак, наконец,

${displaystyle e ^ {ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} = Icos {a} + i ({hat {n}} cdot {vec {sigma}}) sin {a}}$

(2)

который аналогичный к Формула Эйлера, распространяется на кватернионы.

Обратите внимание, что

{displaystyle det [ia ({hat {n}} cdot {vec {sigma}})] = a ^ {2}}

,

в то время как определитель самой экспоненты просто $1$ , что делает его общий групповой элемент SU (2).

Более абстрактная версия формулы (2) для генерала $2 \times 2$ матрицу можно найти в статье о матричные экспоненты. Общая версия (2) для аналитика (при а и -а) функция обеспечивается применением Формула Сильвестра,^[3]

{displaystyle f (a ({hat {n}} cdot {vec {sigma}})) = I {frac {f (a) + f (-a)} {2}} + {hat {n}} cdot { vec {сигма}} {гидроразрыв {f (a) -f (-a)} {2}} ~.}

Закон группового состава $SU (2)$

Простое применение формулы (2) обеспечивает параметризацию закона состава группы $SU (2)$ .^{[№ 3]} Можно напрямую решить для $c$ в

{displaystyle {egin {align} e ^ {ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} e ^ {ibleft ({hat {m}} cdot {vec {sigma}} ight)} & = I (cos acos b- {hat {n}} cdot {hat {m}} sin asin b) + i ({hat {n}} sin acos b + {hat {m}} sin bcos a- {hat {n }} imes {hat {m}} ~ sin asin b) cdot {vec {sigma}} & = Icos {c} + i ({hat {k}} cdot {vec {sigma}}) sin {c} & = e ^ {icleft ({шляпа {k}} cdot {vec {sigma}} ight)}, конец {выровнен}}}

который задает типовое групповое умножение, где, очевидно,

{displaystyle cos c = cos acos b- {hat {n}} cdot {hat {m}} sin asin b ~,}

то сферический закон косинусов. Данный $c$ , тогда,

{displaystyle {hat {k}} = {frac {1} {sin c}} left ({hat {n}} sin acos b + {hat {m}} sin bcos a- {hat {n}} imes {hat { m}} sin asin bight) ~.}

Следовательно, составные параметры вращения в этом групповом элементе (замкнутая форма соответствующих Расширение BCH в этом случае) просто составляют^[4]

{displaystyle e ^ {ic {hat {k}} cdot {vec {sigma}}} = exp left (i {frac {c} {sin c}} ({hat {n}} sin acos b + {hat {m}) } sin bcos a- {hat {n}} imes {hat {m}} ~ sin asin b) cdot {vec {sigma}} ight) ~.}

(Конечно, когда $n$ параллельно $м̂$ , так это $k̂$ , и $c = а + б$ .)

Сопутствующее действие

Также просто вычислить сопряженное действие на вектор Паули, а именно эффективное вращение на удвоенный угол $а$ ,

{displaystyle e ^ {ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}} ight)} ~ {vec {sigma}} ~ e ^ {- ialeft ({hat {n}} cdot {vec {sigma}}) ight)} = {vec {sigma}} cos (2a) + {hat {n}} imes {vec {sigma}} ~ sin (2a) + {hat {n}} ~ {hat {n}} cdot {vec {сигма}} ~ (1-cos (2a)) ~.}

Отношение полноты

Альтернативное обозначение, которое обычно используется для матриц Паули, заключается в записи векторного индекса $я$ в верхнем индексе, а индексы матрицы в нижнем индексе, так что элемент в строке $α$ и столбец $β$ из $я$ -я матрица Паули $σ я αβ$ .

В этих обозначениях отношение полноты для матриц Паули можно записать

{displaystyle {vec {sigma}} _ {alpha eta} cdot {vec {sigma}} _ {gamma delta} Equiv sum _ {i = 1} ^ {3} sigma _ {alpha eta} ^ {i} sigma _ { gamma delta} ^ {i} = 2delta _ {alpha delta} delta _ {eta gamma} -delta _ {alpha eta} delta _ {gamma delta}.}

Доказательство: Тот факт, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей я, образуют ортогональный базис для комплексного гильбертова пространства всех матриц 2 × 2 означает, что мы можем выразить любую матрицу M в качестве

{displaystyle M = cI + sum _ {i} a_ {i} sigma ^ {i}}

куда c комплексное число, и а - 3-компонентный комплексный вектор. Используя перечисленные выше свойства, несложно показать, что

{displaystyle operatorname {tr}, sigma ^ {i} sigma ^ {j} = 2delta _ {ij}}

где "tr" обозначает след, а значит,

{displaystyle {egin {align} c & = {frac {1} {2}} operatorname {tr}, M, a_ {i} = {frac {1} {2}} operatorname {tr}, sigma ^ {i} M ~. [3pt] поэтому ~~ 2M & = Ioperatorname {tr}, M + sum _ {i} sigma ^ {i} operatorname {tr}, sigma ^ {i} M ~, end {выровнено}}}

который можно переписать в терминах матричных индексов как

{displaystyle 2M_ {alpha eta} = delta _ {alpha eta} M_ {gamma gamma} + sum _ {i} sigma _ {alpha eta} ^ {i} sigma _ {gamma delta} ^ {i} M_ {delta gamma} ~,}

куда подразумевается суммирование по повторяющимся индексам γ и δ. Поскольку это верно при любом выборе матрицы M, соотношение полноты следует из изложенного выше.

Как отмечалось выше, единичную матрицу 2 × 2 принято обозначать как σ₀, так σ⁰_αβ = δ_αβ. Отношение полноты можно также выразить как

{displaystyle sum _ {i = 0} ^ {3} sigma _ {alpha eta} ^ {i} sigma _ {gamma delta} ^ {i} = 2delta _ {alpha delta} delta _ {eta gamma} ~.}

Тот факт, что любые комплексные эрмитовы матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к Сфера Блоха представление 2 × 2 смешанные государства 'матрица плотности, (положительные полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом. Это можно увидеть, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как вещественную линейную комбинацию ${σ 0, σ 1, σ 2, σ 3}$ как указано выше, а затем наложение положительно-полуопределенного и след $1$ условия.

Для чистого состояния в полярных координатах ${displaystyle {vec {a}} = {egin {pmatrix} sin heta cos phi, & sin heta sin phi, & cos heta end {pmatrix}}}$ , идемпотентная матрица плотности

{displaystyle {frac {1} {2}} (1 !! 1+ {vec {a}} cdot {vec {sigma}}) = {egin {pmatrix} cos ^ {2} left ({frac {heta} { 2}} ight) & e ^ {- iphi} sin left ({frac {heta} {2}} ight) cos left ({frac {heta} {2}} ight) e ^ {iphi} sin left ({frac {heta} {2}} ight) cos left ({frac {heta} {2}} ight) & sin ^ {2} left ({frac {heta} {2}} ight) end {pmatrix}}}

действует на собственный вектор состояния ${displaystyle {egin {pmatrix} cos left ({frac {heta} {2}} ight), & e ^ {iphi} sin left ({frac {heta} {2}} ight) end {pmatrix}}})$ с собственным значением 1, следовательно, как a оператор проекции для этого.

Связь с оператором перестановки

Позволять $п ij$ быть транспозиция (также известная как перестановка) между двумя спинами $σ я$ и $σ j$ живущий в тензорное произведение Космос $ℂ 2 \otimes ℂ 2$ ,

{displaystyle P_ {ij} | sigma _ {i} sigma _ {j} angle = | sigma _ {j} sigma _ {i} angle,.}

Этот оператор также может быть записан более явно как Оператор спинового обмена Дирака,

{displaystyle P_ {ij} = {frac {1} {2}} ({vec {sigma}} _ {i} cdot {vec {sigma}} _ {j} +1) ,.}

Следовательно, его собственные значения равны^[5] 1 или -1. Таким образом, его можно использовать в качестве члена взаимодействия в гамильтониане, разделяя собственные значения энергии его симметричных и антисимметричных собственных состояний.

SU (2)

Группа SU (2) это Группа Ли из унитарный $2 \times 2$ матрицы с единичным определителем; это Алгебра Ли это набор всех $2 \times 2$ антиэрмитовы матрицы со следом 0. Прямое вычисление, как и выше, показывает, что Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {su}} _ {2}}$ - трехмерная вещественная алгебра охватывал по набору ${я j$ }. В компактных обозначениях

{displaystyle {mathfrak {su}} (2) = operatorname {span} {isigma _ {1}, isigma _ {2}, isigma _ {3}}.}

В результате каждый $я j$ можно рассматривать как бесконечно малый генератор из SU (2). Элементы SU (2) являются экспонентами линейных комбинаций этих трех образующих и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU (2), это не правильный представление $вс (2)$ , поскольку собственные значения Паули масштабируются нестандартно. Обычная нормализация $λ =$ 1/2, так что

{displaystyle {mathfrak {su}} (2) = operatorname {span} left {{frac {isigma _ {1}} {2}}, {frac {isigma _ {2}} {2}}, {frac {isigma] _ {3}} {2}} ight}.}

Поскольку SU (2) компактная группа, ее Картановское разложение тривиально.

ТАК (3)

Алгебра Ли $вс (2)$ является изоморфный к алгебре Ли $так (3)$ , что соответствует группе Ли ТАК (3), то группа из вращения в трехмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что $я j$ являются реализацией (и, по сути, реализацией низшей размерности) бесконечно малый вращения в трехмерном пространстве. Однако, хотя $вс (2)$ и $так (3)$ изоморфны как алгебры Ли, $SU (2)$ и $ТАК (3)$ не изоморфны как группы Ли. $SU (2)$ на самом деле двойная крышка из $ТАК (3)$ , что означает, что существует гомоморфизм групп два к одному из $SU (2)$ к $ТАК (3)$ , видеть связь между SO (3) и SU (2).

Кватернионы

Реальная линейная оболочка ${я, я 1, я 2, я 3}$ изоморфна вещественной алгебре кватернионы $ℍ$ . Изоморфизм из $ℍ$ к этому набору дает следующая карта (обратите внимание на перевернутые знаки для матриц Паули):

{displaystyle 1mapsto I, quad mathbf {i} mapsto -sigma _ {2} sigma _ {3} = - isigma _ {1}, quad mathbf {j} mapsto -sigma _ {3} sigma _ {1} = - isigma _ {2}, quad mathbf {k} mapsto -sigma _ {1} sigma _ {2} = - isigma _ {3}.}

В качестве альтернативы изоморфизм может быть достигнут с помощью карты с использованием матриц Паули в обратном порядке,^[6]

{displaystyle 1mapsto I, quad mathbf {i} mapsto isigma _ {3}, quad mathbf {j} mapsto isigma _ {2}, quad mathbf {k} mapsto isigma _ {1}.}

Как набор версоры U ⊂ ℍ образует группу, изоморфную $SU (2)$ , U дает еще один способ описания $SU (2)$ . Гомоморфизм два к одному из $SU (2)$ к $ТАК (3)$ могут быть заданы в терминах матриц Паули в этой формулировке.

Физика

Классическая механика

В классическая механика, Матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна.^[7] Матрица п соответствующая должности ${displaystyle {vec {x}}}$ точки в пространстве определяется в терминах указанной выше векторной матрицы Паули,

{displaystyle P = {vec {x}} cdot {vec {sigma}} = xsigma _ {x} + ysigma _ {y} + zsigma _ {z} ~.}

Следовательно, матрица преобразования ${displaystyle Q_ {heta}}$ для вращений вокруг Икс-ось под углом θ можно записать в терминах матриц Паули и единичной матрицы как^[7]

{displaystyle Q_ {heta} = 1 !! 1cos {frac {heta} {2}} + isigma _ {x} sin {frac {heta} {2}} ~.}

Аналогичные выражения следуют для общих вращений вектора Паули, как описано выше.

Квантовая механика

В квантовая механика, каждая матрица Паули связана с оператор углового момента что соответствует наблюдаемый описывая вращение из отжим ½ частицы в каждом из трех пространственных направлений. Как непосредственное следствие упомянутого выше разложения Картана, $я j$ являются генераторами проективное представление (представление вращения) из группа вращения SO (3) действующий на нерелятивистский частицы со спином ½. В состояния частиц представлены как двухкомпонентные спиноры. Таким же образом матрицы Паули связаны с оператор изоспина.

Интересное свойство частиц со спином 1/2 заключается в том, что они должны вращаться на угол 4 $π$ чтобы вернуться к исходной конфигурации. Это происходит из-за соответствия два к одному между SU (2) и SO (3), упомянутых выше, и того факта, что, хотя каждый визуализирует вращение вверх / вниз как северный / южный полюс на 2-сфера $S$ ², они фактически представлены ортогональный векторы в двумерном комплексе Гильбертово пространство.

Для частицы со спином 1/2 оператор спина имеет вид $J = час / 2 σ$ , то фундаментальное представление из SU (2). Принимая Продукция Kronecker этого представления с самим собой многократно, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть в результате операторы вращения для систем высших спинов в трех пространственных измерениях, для сколь угодно больших j, можно рассчитать с помощью этого оператор вращения и операторы лестницы. Их можно найти в Группа вращений SO (3) # Замечание по алгебре Ли. Формула-аналог вышеприведенного обобщения формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, понятна, но менее проста.^[8]

Также полезно в квантовая механика многочастичных систем, общая Группа Паули $грамм п$ определяется как состоящий из всех $п$ -складывать тензор произведения матриц Паули.

Релятивистская квантовая механика

В релятивистская квантовая механика, спиноры в четырех измерениях представляют собой матрицы размером 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или сигма-матрицы, работающие на этих спинорах, должны быть матрицами 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как

{displaystyle {mathsf {Sigma}} _ {i} = {egin {pmatrix} {mathsf {sigma}} _ {i} & 0 0 & {mathsf {sigma}} _ {i} end {pmatrix}}.}

Из этого определения следует, что ${displaystyle {mathsf {Sigma}} _ {i}}$ матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что и ${displaystyle {mathsf {sigma}} _ {i}}$ матрицы.

Тем не мение, релятивистский угловой момент не трёхвектор, а второй порядок четырехтензорный. Следовательно ${displaystyle {mathsf {Sigma}} _ {i}}$ необходимо заменить на ${displaystyle Sigma _ {mu u}}$ , генератор Преобразования Лоренца на спинорах. Из-за антисимметрии углового момента ${displaystyle Sigma _ {mu u}}$ также антисимметричны. Следовательно, есть только шесть независимых матриц.

Первые три - это ${displaystyle Sigma _ {jk} Equiv epsilon _ {ijk} {mathsf {Sigma}} _ {i}.}$ Остальные три, ${displaystyle -iSigma _ {0i} Equiv {mathsf {alpha}} _ {i}}$ , где Дирак ${displaystyle {mathsf {alpha}} _ {i}}$ матрицы определены как

{displaystyle {mathsf {alpha}} _ {i} = {egin {pmatrix} 0 & {mathsf {sigma}} _ {i} {mathsf {sigma}} _ {i} & 0end {pmatrix}}.}

Релятивистские спиновые матрицы ${displaystyle Sigma _ {mu u}}$ записаны в компактном виде в терминах коммутатора гамма-матрицы в качестве

{displaystyle Sigma _ {mu u} = {frac {i} {2}} left [gamma _ {mu}, gamma _ {u} ight]}

.

Квантовая информация

В квантовая информация, Один-кубит квантовые ворота находятся 2 × 2 унитарные матрицы. Матрицы Паули - одни из самых важных операций с одним кубитом. В этом контексте приведенное выше разложение Картана называется Z – Y разложение однокубитового вентиля. Выбор другой пары Картана дает аналогичный X – Y разложение однокубитового вентиля.

Смотрите также

Спиноры в трех измерениях
Гамма-матрицы
- § Базис Дирака
Угловой момент
Матрицы Гелл-Манна
Группа Пуанкаре
Обобщения матриц Паули
Сфера Блоха
Тождество Эйлера с четырьмя квадратами
Об обобщениях матриц Паули высших спинов см. спин (физика) § Высшие спины
Матрица обмена (вторая матрица Паули - это матрица обмена второго порядка)

Замечания

^ Это соответствует математика конвенция для матричная экспонента, $я \mapsto ехр (я)$ . в физика соглашение, $σ \mapsto ехр (- я)$ , следовательно, в нем нет предварительного умножения на $я$ необходимо приземлиться в $SU (2)$ .
^ Вектор Паули - формальный прием. Его можно рассматривать как элемент $M 2 (ℂ) \otimes ℝ 3$ , где тензорное пространство произведения наделен отображением $\cdot: ℝ 3 \times M 2 (ℂ) \otimes ℝ 3 \to M 2 (ℂ)$ вызванный скалярное произведение на $ℝ 3$ .
^ N.B. Отношения между $а, б, в, п, м, к$ полученный здесь в $2 \times 2$ представление справедливо для все представления из $SU (2)$ , быть групповая идентичность. Обратите внимание, что в силу стандартной нормализации генераторов этой группы как половина матрицы Паули, параметры а, б, в соответствуют половина углы поворота группы вращения.

Примечания

^ «Матрицы Паули». Сайт Planetmath. 28 марта 2008 г.. Получено 28 мая 2013.
^ Увидеть спинорная карта.
^ Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333.
^ ср. Дж. В. Гиббс (1884). Элементы векторного анализа, Нью-Хейвен, 1884, стр. 67. На самом деле, однако, формула восходит к Олинде Родригес, 1840, изобилует половинным углом: «Des lois géometriques qui regissent les déplacements d 'un systéme solide dans l' espace, et de la вариации координат происхождения de ces déplacement considérées, независимых от причин qui peuvent les produire», J. Math. Pures Appl. 5 (1840), 380–440;
^ В явном виде, согласно соглашению «матрицы правого пространства в элементы матриц левого пространства», это ${displaystyle quad left ({egin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1end {smallmatrix}} ight) ~.}$
^ Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0-7503-0606-5., стр. xxii.
^ ^а ^б Гольдштейн, Герберт (1959). Классическая механика. Эддисон-Уэсли. С. 109–118.
^ Кертрайт, Т.; Фэрли, D B; Захос, К. К. (2014). «Компактная формула для вращений как спиновых матричных многочленов». СИГМА. 10: 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. Дои:10.3842 / SIGMA.2014.084. S2CID 18776942.

Матрицы Паули - Pauli matrices

Содержание

Алгебраические свойства

Собственные векторы и собственные значения

Вектор Паули

Коммутационные отношения

Связь с точечным и кросс-произведением

Некоторые следы отношений

Экспонента вектора Паули

Закон группового состава $SU (2)$

Сопутствующее действие

Отношение полноты

Связь с оператором перестановки

SU (2)

ТАК (3)

Кватернионы

Физика

Классическая механика

Квантовая механика

Релятивистская квантовая механика

Квантовая информация

Смотрите также

Замечания

Примечания

Рекомендации

Матрицы Паули - Pauli matrices

Алгебраические свойства

Собственные векторы и собственные значения

Вектор Паули

Коммутационные отношения

Связь с точечным и кросс-произведением

Некоторые следы отношений

Экспонента вектора Паули

Закон группового состава SU (2)

Сопутствующее действие

Отношение полноты

Связь с оператором перестановки

SU (2)

ТАК (3)

Кватернионы

Физика

Классическая механика

Квантовая механика

Релятивистская квантовая механика

Квантовая информация

Смотрите также

Замечания

Примечания

Рекомендации

Закон группового состава $SU (2)$