Векторное поле - Vector field

Часть векторного поля (sinугрехИкс)

В векторное исчисление и физика, векторное поле это задание вектор к каждой точке в подмножестве Космос.^[1] Например, векторное поле на плоскости можно визуализировать как набор стрелок с заданной величиной и направлением, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторых сила, такой как магнитный или гравитационный силы, поскольку она изменяется от одной точки к другой.

Элементы дифференциальное и интегральное исчисление естественным образом распространяется на векторные поля. Когда векторное поле представляет сила, то линейный интеграл векторного поля представляет собой Работа совершается силой, движущейся по пути, и согласно этой интерпретации сохранение энергии выставляется как частный случай основная теорема исчисления. Векторные поля можно с пользой рассматривать как представление скорости движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к таким понятиям, как расхождение (который представляет собой скорость изменения объема потока) и завиток (что представляет собой вращение потока).

В координатах векторное поле в области в п-размерный Евклидово пространство можно представить как вектор-функция который связывает п-набор действительных чисел для каждой точки домена. Это представление векторного поля зависит от системы координат, и существует четко определенный закон трансформации при переходе от одной системы координат к другой. Векторные поля часто обсуждаются на открытые подмножества евклидова пространства, но имеет смысл и для других подмножеств, таких как поверхности, где они связывают касательную к поверхности стрелку в каждой точке ( касательный вектор ).

В более общем смысле векторные поля определяются на дифференцируемые многообразия, которые представляют собой пространства, которые выглядят как евклидово пространство в малых масштабах, но могут иметь более сложную структуру в больших масштабах. В этом случае векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть раздел из касательный пучок к коллектору). Векторные поля - это один из видов тензорное поле.

Определение

Векторные поля на подмножествах евклидова пространства

Два представления одного и того же векторного поля: v(Икс, у) = −р. Стрелки изображают поле в дискретных точках, однако поле существует везде.

Учитывая подмножество $S$ в $р п$ , а векторное поле представлен вектор-функция $V : S \to р п$ в стандартных декартовых координатах $(Икс 1, \dots, Икс п)$ . Если каждый компонент $V$ непрерывно, то $V$ является непрерывным векторным полем, и в более общем смысле $V$ это $C k$ векторное поле, если каждый компонент $V$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемый.

Векторное поле можно визуализировать как присвоение вектора отдельным точкам в пределах п-мерное пространство.^[1]

Учитывая два $C k$ -векторные поля $V$ , $W$ определено на $S$ и настоящий ценный $C k$ -функция $ж$ определено на $S$ , две операции скалярного умножения и сложения векторов

{ Displaystyle (fV) (p): = f (p) V (p)}

{ Displaystyle (V + W) (p): = V (p) + W (p)}

определить модуль из $C k$ -векторные поля над кольцо из $C k$ -функции, в которых умножение функций определено поточечно (следовательно, оно коммутативно с мультипликативным тождеством $ж мне бы (п) := 1$ ).

Закон преобразования координат

В физике вектор дополнительно отличается тем, как меняются его координаты, когда один и тот же вектор измеряется относительно другой системы координат фона. В трансформационные свойства векторов отличить вектор как геометрически отличную сущность от простого списка скаляров или от ковектор.

Итак, предположим, что $(Икс 1, \dots, Икс п)$ - выбор декартовых координат, в терминах которых компоненты вектора $V$ находятся

{ Displaystyle V_ {x} = (V_ {1, x}, точки, V_ {n, x})}

и предположим, что $(у 1, \dots, у п)$ находятся $п$ функции $Икс я$ определение другой системы координат. Тогда компоненты вектора $V$ в новых координатах требуется выполнение закона преобразования

{ displaystyle V_ {i, y} = sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial y_ {i}} { partial x_ {j}}} V_ {j, x}.}

(1)

Такой закон преобразования называется контравариантный. Аналогичный закон преобразования характерен для векторных полей в физике: в частности, векторное поле представляет собой спецификацию $п$ функции в каждой системе координат подчиняются закону преобразования (1), связывающие разные системы координат.

Таким образом, векторные поля контрастируют с скалярные поля, которые связывают число или скаляр к каждой точке пространства, а также противопоставляются простым спискам скалярных полей, которые не трансформируются при изменении координат.

Векторные поля на многообразиях

Векторное поле на сфера

Учитывая дифференцируемое многообразие ${ displaystyle M}$ , а векторное поле на ${ displaystyle M}$ это задание касательный вектор к каждой точке в ${ displaystyle M}$ .^[2] Точнее, векторное поле ${ displaystyle F}$ это отображение от ${ displaystyle M}$ в касательный пучок ${ displaystyle TM}$ так что ${ displaystyle p circ F}$ тождественное отображение, где ${ displaystyle p}$ обозначает проекцию из ${ displaystyle TM}$ к ${ displaystyle M}$ . Другими словами, векторное поле - это раздел из касательный пучок.

Альтернативное определение: гладкое векторное поле ${ displaystyle X}$ на коллекторе ${ displaystyle M}$ линейная карта ${ Displaystyle X: C ^ { infty} (M) rightarrow C ^ { infty} (M)}$ такой, что ${ displaystyle X}$ это происхождение: ${ Displaystyle X (fg) = fX (g) + X (f) g}$ для всех ${ Displaystyle е, г в С ^ { infty} (М)}$ .^[3]

Если коллектор ${ displaystyle M}$ является гладким или аналитическим, т. е. изменение координат является плавным (аналитическим), тогда можно понять понятие гладких (аналитических) векторных полей. Совокупность всех гладких векторных полей на гладком многообразии ${ displaystyle M}$ часто обозначается как ${ Displaystyle Gamma (TM)}$ или ${ Displaystyle С ^ { infty} (М, ТМ)}$ (особенно если рассматривать векторные поля как разделы ); совокупность всех гладких векторных полей также обозначается ${ Displaystyle textstyle { mathfrak {X}} (М)}$ (а фрактур "ИКС").

Примеры

Поле обтекания самолета - это векторное поле в р³, здесь визуализированы пузырьками, которые следуют за рационализирует показывая кончик крыла вихрь.

Векторные поля обычно используются для создания паттернов в компьютерная графика. Здесь: абстрактная композиция кривых, следующих за векторным полем, созданным с помощью OpenSimplex шум.

Векторное поле для движения воздуха на Земле будет связывать для каждой точки на поверхности Земли вектор со скоростью и направлением ветра для этой точки. Его можно нарисовать стрелками, чтобы обозначить ветер; длина (величина ) стрелки будет показывать скорость ветра. "Кайф" от обычного барометрическое давление Тогда карта будет действовать как источник (стрелки указывают в сторону), а «низкий» будет стоком (стрелки указывают в сторону), поскольку воздух имеет тенденцию перемещаться из областей высокого давления в области низкого давления.
Скорость поле подвижного жидкость. В этом случае скорость вектор связан с каждой точкой в жидкости.
Линии обтекания, полосы и траектории это 3 типа линий, которые могут быть построены из (зависящих от времени) векторных полей. Они есть :

streaklines - линия, образованная частицами, проходящими через определенную фиксированную точку за разное время

pathlines - показывает путь, по которому будет следовать данная частица (нулевой массы).

линии тока (или линии поля) - путь частицы, на которую влияет мгновенное поле (то есть путь частицы, если поле удерживается фиксированным).

Магнитные поля. Линии поля могут быть обнаружены с помощью небольших утюг документы.
Уравнения Максвелла позволяют нам использовать заданный набор начальных и граничных условий для вывода для каждой точки в Евклидово пространство, величина и направление для сила испытанная заряженной пробной частицей в этот момент; результирующее векторное поле - это электромагнитное поле.
А гравитационное поле порожденный любым массивным объектом также является векторным полем. Например, все векторы гравитационного поля для сферически-симметричного тела будут указывать в сторону центра сферы, причем величина векторов будет уменьшаться по мере увеличения радиального расстояния от тела.

Градиентное поле в евклидовых пространствах

Векторное поле, циркулирующее вокруг точки, не может быть записано как градиент функции.

Векторные поля могут быть построены из скалярные поля с использованием градиент оператор (обозначается дель: ∇).^[4]

Векторное поле V определено на открытом множестве S называется поле градиента или консервативное поле если существует действительная функция (скалярное поле) ж на S такой, что

{ displaystyle V = nabla f = { bigg (} { frac { partial f} { partial x_ {1}}}, { frac { partial f} { partial x_ {2}}}, { frac { partial f} { partial x_ {3}}}, dots, { frac { partial f} { partial x_ {n}}} { bigg)}.}

Связанный течь называется градиентный поток, и используется в методе градиентный спуск.

В интеграл по путям вдоль любого замкнутая кривая γ (γ(0) = γ(1)) в консервативном поле равен нулю:

{ displaystyle oint _ { gamma} V ({ boldsymbol {x}}) cdot mathrm {d} { boldsymbol {x}} = oint _ { gamma} nabla f ({ boldsymbol { x}}) cdot mathrm {d} { boldsymbol {x}} = f ( gamma (1)) - f ( gamma (0)).}

Центральное поле в евклидовых пространствах

А C^∞-векторное поле над р^п {0} называется центральное поле если

{ Displaystyle V (T (p)) = T (V (p)) qquad (T in mathrm {O} (п, mathbf {R}))}

где O (п, р) это ортогональная группа. Мы говорим, что центральные поля инвариантный под ортогональные преобразования около 0.

Точка 0 называется центр поля.

Поскольку ортогональные преобразования на самом деле являются вращениями и отражениями, условия инвариантности означают, что векторы центрального поля всегда направлены к 0 или от него; это альтернативное (и более простое) определение. Центральное поле всегда является полем градиента, поскольку его определение на одной полуоси и интегрирование дает антиградиент.

Операции над векторными полями

Линейный интеграл

Обычный метод в физике - интегрировать векторное поле вдоль кривая, также называемый определением его линейный интеграл. Интуитивно это суммирует все компоненты вектора по касательным к кривой, выраженные как их скалярные произведения. Например, для частицы в силовом поле (например, гравитации), где каждый вектор в некоторой точке пространства представляет силу, действующую там на частицу, линейный интеграл вдоль определенного пути представляет собой работу, совершаемую частицей, когда она движется. по этому пути. Интуитивно это сумма скалярных произведений вектора силы и малого касательного вектора в каждой точке кривой.

Линейный интеграл строится аналогично Интеграл Римана и существует, если кривая спрямляема (имеет конечную длину) и векторное поле непрерывно.

Учитывая векторное поле $V$ и кривая $γ$ , параметризованный от $т$ в $[а, б]$ (где $а$ и $б$ находятся действительные числа ) линейный интеграл определяется как

{ displaystyle int _ { gamma} V ( mathbf {r}) cdot mathrm {d} mathbf {r} = int _ {a} ^ {b} V ( gamma (t)) ; gamma , '(t) ; mathrm {d} t.}

Расхождение

В расхождение векторного поля в евклидовом пространстве является функцией (или скалярным полем). В трех измерениях расхождение определяется

{ displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = nabla cdot mathbf {F} = { frac { partial F_ {1}} { partial x}} + { frac { partial F_ { 2}} { partial y}} + { frac { partial F_ {3}} { partial z}},}

с очевидным обобщением на произвольные измерения. Дивергенция в точке представляет собой степень, в которой небольшой объем вокруг точки является источником или стоком для векторного потока, результат, который уточняется теорема расходимости.

Дивергенцию также можно определить на Риманово многообразие, т. е. многообразие с Риманова метрика который измеряет длину векторов.

Завиток в трех измерениях

В завиток это операция, которая берет векторное поле и создает другое векторное поле. Завиток определяется только в трех измерениях, но некоторые свойства завитка могут быть зафиксированы в более высоких измерениях с помощью внешняя производная. В трех измерениях это определяется

{ displaystyle operatorname {curl} , mathbf {F} = nabla times mathbf {F} = left ({ frac { partial F_ {3}} { partial y}} - { frac { partial F_ {2}} { partial z}} right) mathbf {e} _ {1} - left ({ frac { partial F_ {3}} { partial x}} - { frac { partial F_ {1}} { partial z}} right) mathbf {e} _ {2} + left ({ frac { partial F_ {2}} { partial x}} - { frac { partial F_ {1}} { partial y}} right) mathbf {e} _ {3}.}

Завиток измеряет плотность угловой момент вектора потока в точке, то есть степень, до которой поток циркулирует вокруг фиксированной оси. Это интуитивно понятное описание уточняется Теорема Стокса.

Индекс векторного поля

Индекс векторного поля - это целое число, которое помогает описать поведение векторного поля вокруг изолированного нуля (то есть изолированной особенности поля). На плоскости индекс принимает значение -1 в сингулярности седла, но +1 в сингулярности источника или стока.

Пусть размерность многообразия, на котором задано векторное поле, равна п. Возьмите небольшую сферу S вокруг нуля так, чтобы никакие другие нули не лежали внутри S. Отображение этой сферы на единичную сферу измерений п -1 можно построить, разделив каждый вектор на этой сфере на его длину, чтобы сформировать вектор единичной длины, который является точкой на единичной сфере S^п-1. Это определяет непрерывное отображение из S в S^п-1. Индекс векторного поля в точке - это степень этой карты. Можно показать, что это целое число не зависит от выбора S, а значит, зависит только от самого векторного поля.

Индекс векторного поля в целом определяется, когда у него есть только конечное число нулей. В этом случае все нули изолированы, а индекс векторного поля определяется как сумма индексов во всех нулях.

Индекс не определен ни в одной неособой точке (т. Е. В точке, где вектор не равен нулю). он равен +1 вокруг источника и, в более общем смысле, равен (-1)^k вокруг седла, которое имеет k сжимающихся размеров и n-k расширяющихся размеров. Для обычной (2-мерной) сферы в трехмерном пространстве можно показать, что индекс любого векторного поля на сфере должен быть 2. Это показывает, что каждое такое векторное поле должно иметь нуль. Отсюда следует теорема о волосатом шарике, который утверждает, что если вектор в R³ каждой точке единичной сферы S² непрерывным образом, то невозможно «причесать волосы», т. е. выбрать векторы непрерывным образом так, чтобы все они были ненулевыми и касались S².

Для векторного поля на компактном многообразии с конечным числом нулей Теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что индекс векторного поля равен Эйлерова характеристика коллектора.

Физическая интуиция

Магнитный силовые линии железного стержня (магнитный диполь )

Майкл Фарадей в его концепции силовые линии, подчеркнул, что поле сам должен быть объектом изучения, которым он стал во всей физике в виде теория поля.

Помимо магнитного поля, другие явления, которые моделировал Фарадей, включают электрическое поле и световое поле.

Кривые потока

Рассмотрим поток жидкости через область пространства. В любой момент времени с любой точкой жидкости связана определенная скорость; таким образом, с любым потоком связано векторное поле. Верно и обратное: поток можно связать с векторным полем, имеющим это векторное поле в качестве скорости.

Учитывая векторное поле V определено на S, определяются кривые γ (т) на S так что для каждого т в промежутке я

{ Displaystyle гамма '(т) = В ( гамма (т)) ,.}

Посредством Теорема Пикара – Линделёфа, если V является Липшицева непрерывная Существует уникальный C¹-кривая γ_Икс за каждую точку Икс в S так что для некоторого ε> 0

{ Displaystyle гамма _ {х} (0) = х ,}

{ displaystyle gamma '_ {x} (t) = V ( gamma _ {x} (t)) qquad forall t in (- varepsilon, + varepsilon) subset mathbf {R}. }

Кривые γ_Икс называются интегральные кривые или траектории (или, реже, линии тока) векторного поля V и раздел S в классы эквивалентности. Не всегда удается расширить интервал (−ε, + ε) на все действительная числовая линия. Например, поток может достигать края S в конечном времени. В двух или трех измерениях можно визуализировать векторное поле как порождающее течь на S. Если мы уроним частицу в этот поток в точке п он будет двигаться по кривой γ_п в потоке в зависимости от начальной точки п. Если п стационарная точка V (т.е. векторное поле равно нулевому вектору в точке п), то частица останется на п.

Типичные приложения: линия пути в жидкость, геодезический поток, и однопараметрические подгруппы и экспоненциальная карта в Группы Ли.

Полные векторные поля

По определению векторное поле называется полный если каждая из его кривых потока существует всегда.^[5] Особенно, компактно поддерживается векторные поля на многообразии полны. Если ${ displaystyle X}$ полное векторное поле на ${ displaystyle M}$ , то однопараметрическая группа из диффеоморфизмы порожденный потоком по ${ displaystyle X}$ существует на все времена. На компактном многообразии без края любое гладкое векторное поле полно. Пример неполный векторное поле ${ displaystyle V}$ на реальной линии ${ Displaystyle mathbb {R}}$ дан кем-то ${ Displaystyle V (х) = х ^ {2}}$ . При дифференциальное уравнение ${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = x ^ {2}}$ , с начальным условием ${ Displaystyle х (0) = х_ {0}}$ , имеет в качестве уникального решения ${ displaystyle x (t) = { frac {x_ {0}} {1-tx_ {0}}}}$ если ${ displaystyle x_ {0} neq 0}$ (и ${ Displaystyle х (т) = 0}$ для всех ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$ если ${ displaystyle x_ {0} = 0}$ ). Следовательно, для ${ displaystyle x_ {0} neq 0}$ , ${ Displaystyle х (т)}$ не определено в ${ displaystyle t = { frac {1} {x_ {0}}}}$ поэтому не может быть определен для всех значений ${ displaystyle t}$ .

f-родство

Учитывая гладкая функция между коллекторами, ж : M → N, то производная является индуцированным отображением на касательные пучки, ж_* : TM → TN. Данные векторные поля V : M → TM и W : N → TNмы говорим, что W является ж-относится к V если уравнение W ∘ ж = ж_∗ ∘ V держит.

Если V_я является ж-относится к W_я, я = 1, 2, то Кронштейн лжи [V₁, V₂] является ж-относится к [W₁, W₂].

Обобщения

Замена векторов на п-векторы (пth внешняя степень векторов) дает п-векторные поля; принимая двойное пространство и внешние силы дают дифференциал k-формы, и объединяя эти выходы, общие тензорные поля.

Алгебраически векторные поля можно охарактеризовать как производные алгебры гладких функций на многообразии, что приводит к определению векторного поля на коммутативной алгебре как дифференцирования на алгебре, развиваемого в теории дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б Гальбис, Антонио и Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления. Springer. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка на сайт)
^ Ту, Лоринг В. (2010). «Векторные поля». Введение в многообразия. Springer. п. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.
^ Лерман, Евгений (19 августа 2011 г.). «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF). Определение 3.23.
^ Даубер, П. (1987). Векторы и векторные операторы. CRC Press. п. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.
^ Шарп, Р. (1997). Дифференциальная геометрия. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

Список используемой литературы

Хаббард, Дж. Х.; Хаббард, Б. Б. (1999). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы. Единый подход. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
Уорнер, Франк (1983) [1971]. Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
Бутби, Уильям (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию. Чистая и прикладная математика, том 120 (второе изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

внешние ссылки

Онлайн-редактор векторных полей
«Векторное поле», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Векторное поле — Mathworld
Векторное поле — PlanetMath
3D-просмотрщик магнитного поля
Векторные поля и линии поля
Моделирование векторного поля Интерактивное приложение для демонстрации эффектов векторных полей

[Galbis-2012-p12-1] а ^б Гальбис, Антонио и Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления. Springer. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка на сайт)

[2] Ту, Лоринг В. (2010). «Векторные поля». Введение в многообразия. Springer. п. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.

[3] Лерман, Евгений (19 августа 2011 г.). «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF). Определение 3.23.

[4] Даубер, П. (1987). Векторы и векторные операторы. CRC Press. п. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.

[5] Шарп, Р. (1997). Дифференциальная геометрия. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]